李福祥+黃佳玥

摘 要：提出了一種改進(jìn)的布洛依登算法，證明了新方法的收斂性，通過(guò)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)布洛依登算法的收斂階數(shù)及有效性，并通過(guò)與牛頓法以及擬牛頓法的比較體現(xiàn)了改進(jìn)的布洛依登算法的優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：

非線性方程組；擬牛頓迭代法；改進(jìn)擬牛頓迭代法

DOI：10.15938/j.jhust.2017.06.024

中圖分類號(hào)： O22

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2017）06-0127-04

Abstract：A Modified Broyden algorithm is presented to solve nonlinear equations in this paper. The convergence of the new algorithml is proved. The convergent order and effectiveness of improved Broyden method can be verified by numerical experiments. Through comparing with Newton′s method and quasinewton method， the advantages of the improvement Broyden method are showed.

Keywords：nonlinear equations； quasi Newton iteration method； improved quasi newton iteration method

0 引 言

求解非線性方程組的牛頓法是一個(gè)最基本而且十分重要的方法，目前很多有效的迭代法都是以牛頓法為基礎(chǔ)改進(jìn)的。求解非線性方程組的牛頓法是求解非線性方程的牛頓法的推廣[1-7]。

擬牛頓算法與牛頓法相比，擬牛頓法降低了導(dǎo)數(shù)值的運(yùn)算量，收斂速度比牛頓法快，但每一步迭代都要計(jì)算新的矩陣的逆矩陣，在一定程度上也會(huì)增加計(jì)算的難度，改進(jìn)擬牛頓算法就是基于這個(gè)缺點(diǎn)改進(jìn)的，通過(guò)改進(jìn)布洛依登秩1校正公式，降低逆矩陣的計(jì)算量。

3 改進(jìn)的布洛依登算法

利用Mathematica軟件進(jìn)行編程計(jì)算，分別用牛頓法、擬牛頓法和改進(jìn)擬牛頓法對(duì)上面的六個(gè)方程組進(jìn)行迭代求解，以真解X與最后一次迭代得到的X-之間的差（ε=X-X-）為指標(biāo)進(jìn)行比較。

由于計(jì)算機(jī)不能顯示出過(guò)小的數(shù)，因此分別選取迭代次數(shù)為2、3、4。為了使表格簡(jiǎn)潔明了，在不影響結(jié)果真實(shí)性、準(zhǔn)確性的前提下，表格中只記錄了ε的指數(shù)。

計(jì)算例1可得比較結(jié)果如表1；例2的結(jié)果比較見(jiàn)表2；例3的結(jié)果比較見(jiàn)表3。

由表1、表2、表3可以看出，在收斂階數(shù)方面：牛頓迭代法為2階收斂；擬牛頓迭代法與改擬牛頓迭代法均為3階收斂。從效率指數(shù)方面看：牛頓迭代法的效率指數(shù)為212n，擬牛頓迭代法的效率指數(shù)為313n，改擬牛頓迭代法的效率指數(shù)均為313n，即擬牛頓迭代法與改擬牛頓迭代法的計(jì)算效率高于牛頓迭代法，而改擬牛頓迭代法的計(jì)算效率與擬牛頓迭代法的計(jì)算效率是一樣的。但是，改進(jìn)擬牛頓算法比擬牛頓算法少算了一個(gè)矩陣的逆，因此對(duì)擬牛頓迭代法的修改是有一定意義的。

6 結(jié) 論

本文主要介紹了改進(jìn)擬牛頓迭代法的形式，證明了該方法的收斂性，利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明了改進(jìn)擬牛頓迭代法的收斂階數(shù)為3階，進(jìn)行了三種迭代法的比較，說(shuō)明了改進(jìn)擬牛頓迭代法的有效性。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1] HALLEY E. A New. Exact and Easy Method for Finding the Roots of Equations Generally and without Any Previous Reduction[J]. Philos. Trans. R. Soc.Lond.， 1694（18）： 136-148.

[2] KOU J， LI Y. Modified Chebyshev′s Method Free from Second Derivative for Nonlinear Equations[J]. J. Appl. Math. Comput.， 2007， 187（2）： 1027-1032.

[3] GUTIERREZ J M， HERNANDEZ M A. An Acceleration of Newton′s Method： Super Halley Method[J]. J. Appl. Math. Comput.， 2001， 117（2）： 223-239.

[4] KING R F. A Family of Fourth Order Methods for Nonlinear Equations[J]. SI AMJ. Numer. Anal.， 1973（10）： 876-879.

[5] LIU Z， ZHENG Q， ZHAO P. A Variant of Ste Ensens Method of Fourthorder Convergence and Its Applications[J]. Applied Mathematics and Computation， 2010， 216（7）： 1978-1983.

[6] OSTROWSKI A M. Solutions of Equations and Systems of Equations[M]. New York： Academic Press， 1966.

[7] KUNG H T， TRAUB J F. Optimal Order of Onepoint and Multipoint Iteration[J]. J. Assoc. Comput. Mach.， 1974（21）： 643-651.

[8] 黃象鼎， 曾鐘鋼， 馬亞南. 非線性數(shù)值分析的理論與方法[M]. 武漢： 武漢大學(xué)出版社， 2004.

[9] 李慶楊， 莫孜中， 祁力群. 非線性方程組的數(shù)值解法[M]. 北京： 科學(xué)出版社，1999.

（編輯：關(guān) 毅）endprint