■高金花

空間直角坐標(biāo)系學(xué)習(xí)指導(dǎo)

■高金花

空間直角坐標(biāo)系是平面直角坐標(biāo)系的推廣，它為我們研究數(shù)學(xué)問題提供了更廣闊的途徑。學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系，同學(xué)們應(yīng)掌握以下三類主要問題。

一、求空間點(diǎn)的坐標(biāo)

例1 在棱長(zhǎng)為l的正方體ABCDAlBlClDl中，E，F(xiàn) 分別是DlD，BD 的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱CD 上，且CG=CD，H 為ClG的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H 的坐標(biāo)。

分析：求空間直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般先找出所求點(diǎn)在xOy平面上射影的坐標(biāo)，再找該點(diǎn)與射影間的距離以確定豎坐標(biāo)。

解：建立如圖l所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz。

圖l

點(diǎn)E在z軸上，E為DDl的中點(diǎn)，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為

過點(diǎn)F作FM⊥AD于點(diǎn)M，作FN⊥DC于點(diǎn)N。由平面幾何知識(shí)可得，故點(diǎn)F的坐標(biāo)為

過點(diǎn)H作HK⊥CD于K。由H是ClG的中點(diǎn)，可知K為CG的中點(diǎn)，可得DK故點(diǎn)H 的坐標(biāo)為

評(píng)注：建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循以下原則：讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)；充分利用幾何圖形的對(duì)稱性。求某點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般先找這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個(gè)坐標(biāo)，再找出它在另一軸上的射影（或者通過它到這個(gè)坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號(hào)）確定第三個(gè)坐標(biāo)。

二、求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

例2 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)P（—2，l，4）。

（l）求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。

（3）求點(diǎn)P 關(guān)于點(diǎn)M（2，—l，—4）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析：求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，可以過該點(diǎn)向?qū)ΨQ平面或?qū)ΨQ軸作垂線并延長(zhǎng)使得垂足為所作線段的中點(diǎn)，再根據(jù)有關(guān)性質(zhì)即可寫出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：（l）由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Pl（—2，—l，—4）。

（2）由于點(diǎn)P 關(guān)于xOy平面對(duì)稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)為P2（—2，l，—4）。

（3）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M 的對(duì)稱點(diǎn)為P3（x，y，z），則點(diǎn)M 為線段PP3的中點(diǎn)。

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x=2×2—（—2）=6，y=2×（—l）—l=—3，z=2×（—4）—4=—l2，所以P3（6，—3，—l2）。

評(píng)注：求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)遵循“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變，其余的符號(hào)均相反”的規(guī)則。如關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)；關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)。在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A（xl，yl，zl），B（x2，y2，z2），則線段AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為

三、空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

例 3 （l）已知點(diǎn)A（l，2，—l），點(diǎn)B（2，0，2）。①在x軸上求一點(diǎn)P，使|PA|=|PB|。②在xOz平面內(nèi)的點(diǎn)M到點(diǎn)A與到點(diǎn)B等距離，求點(diǎn)M的軌跡。

（2）在xOy平面內(nèi)的直線x+y=l上確定一點(diǎn)M，使它到點(diǎn)N（6，5，l）的距離最小。

分析：根據(jù)點(diǎn)P，M 的位置，設(shè)出它們的坐標(biāo)，根據(jù)條件列出關(guān)系式，再化簡(jiǎn)求解。

②設(shè)點(diǎn)M（x，0，z），則由點(diǎn)M 到點(diǎn)A與到點(diǎn)B 等距離得，兩邊平方整理得2x+6z—2=0，即x+3z—l=0。

由上可知，點(diǎn)M的軌跡是xOz平面內(nèi)的一條直線。

（2）由已知可設(shè)點(diǎn) M 坐標(biāo)為（x，l—x，0），所以|MN|=

評(píng)注：空間兩點(diǎn)間的距離公式是平面上兩點(diǎn)間距離公式的推廣。對(duì)于平面上的解題思想和方法，有時(shí)在空間幾何里也可使用。

江蘇太倉(cāng)市高級(jí)中學(xué)

（責(zé)任編輯 郭正華）