徐景碩, 王勇軍, 劉 亞

(1.海軍航空大學(xué)青島校區(qū)，山東 青島 266041； 2.中國人民解放軍92514部隊(duì)，山東 煙臺 264007； 3.山東省產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)研究院，濟(jì)南 250102)

大失準(zhǔn)角情形下UKF與CKF的比較研究

徐景碩1, 王勇軍2, 劉 亞3

(1.海軍航空大學(xué)青島校區(qū)，山東 青島 266041； 2.中國人民解放軍92514部隊(duì)，山東 煙臺 264007； 3.山東省產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)研究院，濟(jì)南 250102)

扼要介紹了UKF和CKF濾波算法，分析總結(jié)了兩種濾波算法的異同，并基于蒙特卡羅仿真試驗(yàn)，對大方位失準(zhǔn)角情形下UKF濾波算法和CKF濾波算法的應(yīng)用特性進(jìn)行了對比、分析和總結(jié)，指出了UKF濾波算法對角運(yùn)動和線運(yùn)動均敏感，角運(yùn)動和線運(yùn)動方向的激勵均可以加速其收斂，而CKF濾波算法對角運(yùn)動不敏感，但對線運(yùn)動敏感，角運(yùn)動方向的激勵無助于其對準(zhǔn)精度的提高，而線運(yùn)動方向的激勵可加速其收斂，且收斂精度隨激勵效果的加強(qiáng)而提高的特性，為該種情形下對準(zhǔn)技術(shù)的工程化實(shí)現(xiàn)提供了針對性建議。

UKF； CKF； 傳遞對準(zhǔn)； 大方位失準(zhǔn)角； 比較

0 引言

大方位失準(zhǔn)角傳遞對準(zhǔn)技術(shù)一直是慣性技術(shù)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)。由于大方位失準(zhǔn)角條件下的傳遞對準(zhǔn)模型是非線性的，從而非線性濾波算法的選取是實(shí)現(xiàn)傳遞對準(zhǔn)技術(shù)的關(guān)鍵。理論上講，非線性系統(tǒng)很難獲得嚴(yán)格意義上的遞推濾波算法。目前大都采用近似的研究手段，普遍采用的算法是高階近似，涌現(xiàn)的濾波算法[1-5]主要集中在EKF，UKF和CKF上。由于EKF濾波算法是基于解析近似的方法近似非線性函數(shù)，一般適用于弱線性系統(tǒng)，而對強(qiáng)非線性系統(tǒng)，主要采取UKF濾波算法和CKF濾波算法，這兩種算法是基于確定性采樣來近似非線性系統(tǒng)的概率密度，通過不同的數(shù)學(xué)變換方法獲得一定數(shù)量的采樣點(diǎn)來逼近高斯分布的均值和方差。當(dāng)然，粒子濾波(PF)也是不錯(cuò)的非線性濾波算法，但計(jì)算量大且存在粒子退化現(xiàn)象的不足在一定程度上限制了其在傳遞對準(zhǔn)技術(shù)中的應(yīng)用。

理論上看，UKF濾波算法和CKF濾波算法均是高斯假設(shè)條件下的貝葉斯估計(jì)，且從它們的泰勒展開式[4,6-8]中可知，UKF濾波算法具備泰勒級數(shù)展開二階精度，而CKF濾波算法具備泰勒級數(shù)展開三階精度。但在具體的實(shí)踐應(yīng)用上，尤其是在既有角運(yùn)動又有線運(yùn)動的搖擺基座情形下，UKF濾波算法和CKF濾波算法各自具備什么樣的應(yīng)用特性，對于選擇哪種濾波算法實(shí)現(xiàn)大方位失準(zhǔn)角傳遞對準(zhǔn)而言至關(guān)重要。本文以大方位失準(zhǔn)角條件下的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)為研究對象，對比介紹UKF濾波算法和CKF濾波算法的實(shí)現(xiàn)原理，歸納總結(jié)兩者的異同，并基于蒙特卡羅樣本試驗(yàn)，對大方位失準(zhǔn)角情形下UKF濾波算法和CKF濾波算法的應(yīng)用特性進(jìn)行對比、歸納，為此種情形下對準(zhǔn)技術(shù)的工程化實(shí)現(xiàn)提供選擇建議。

1 UKF濾波算法和CKF濾波算法

UKF濾波算法于1995年首次問世，通過對非線性函數(shù)的UT變換選取采樣點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)對該非線性函數(shù)概率分布的近似。CKF(Cubature Kalman Filter)濾波算法于2009年由ARASARATNAM I和HAYKIN S提出，其主要思想是通過Spherical Radial 變換選取采樣點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)對該非線性函數(shù)概率分布的近似。為便于比較分析，考慮以下離散非線性系統(tǒng)

(1)

式中：f和h為非線性向量函數(shù)；Wk，Vk均為不相關(guān)的零均值高斯白噪聲，其方差陣分別為Qk和Rk。

關(guān)于UKF濾波算法和CKF濾波算法的具體流程，文獻(xiàn)[6-8]已有詳細(xì)介紹，此處不再贅述。

1.1 UKF濾波算法和CKF濾波算法的相同點(diǎn)

針對同樣的離散系統(tǒng)，根據(jù)UKF濾波算法和CKF濾波算法的工作原理和算法結(jié)構(gòu)，兩者具備以下幾個(gè)相同點(diǎn)。

1) 從濾波方程看，兩者均是高斯假設(shè)條件下的貝葉斯估計(jì)。

在假設(shè)系統(tǒng)噪聲和量測噪聲滿足高斯分布的前提下，貝葉斯估計(jì)可簡化為“非線性函數(shù)×高斯密度”形式的多維積分[9-10]求解問題，即

(2)

式中，f′(·)為被積函數(shù)。

上述積分很難解析求得，一般采取近似計(jì)算方法，即

(3)

式中：wi為權(quán)重系數(shù)；(wi,ξi)為權(quán)重點(diǎn)集。

非線性系統(tǒng)高斯假設(shè)條件下貝葉斯濾波方程的一般表達(dá)形式[11]為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

將UKF濾波算法和CKF濾波算法與式(4)～式(11)相比較可以看出，三者具備相同的表現(xiàn)形式，這說明UKF濾波算法和CKF濾波算法均是高斯假設(shè)條件下的貝葉斯估計(jì)。

2) 從點(diǎn)集上看，兩者均是權(quán)重點(diǎn)集。

UKF濾波算法是通過UT變換的確定性采樣產(chǎn)生Sigma權(quán)重點(diǎn)集，而CKF濾波算法是通過Spherical Cubature變換產(chǎn)生Cubature權(quán)重點(diǎn)集。

1.2 UKF濾波算法和CKF濾波算法的不同點(diǎn)

根據(jù)兩者的運(yùn)行機(jī)理，可得出UKF濾波算法與CKF濾波算法具有以下不同點(diǎn)。

1) 從計(jì)算量上看，UKF濾波算法計(jì)算量比CKF濾波算法的大。

每個(gè)濾波周期UKF濾波算法產(chǎn)生2n+1個(gè)Sigma點(diǎn)，而CKF濾波算法產(chǎn)生2n個(gè)Cubature點(diǎn)。

2) 從權(quán)重系數(shù)上看，CKF濾波算法的權(quán)重系數(shù)相同而UKF濾波算法的不同。

3) 從濾波精度上看，根據(jù)兩者的泰勒展開式可知，UKF濾波算法具備泰勒級數(shù)展開二階精度，而CKF濾波算法具備泰勒級數(shù)展開三階精度，從而CKF濾波算法的濾波精度大多數(shù)比UKF濾波算法要高。文獻(xiàn)[8]從理論上對UKF濾波算法和CKF濾波算法在使用場合上進(jìn)行了研究，指出對三階以下的低維非線性系統(tǒng)，由于UKF濾波算法精度比CKF濾波算法要高，一般選用UKF濾波算法。對于三階非線性系統(tǒng)，兩者的精度相當(dāng)，但因?yàn)镃KF濾波算法的計(jì)算量小，一般選用CKF濾波算法。對于三階以上的非線性系統(tǒng)，由于CKF濾波算法的精度較UKF濾波算法要高，一般選用CKF濾波算法。

1.3 UKF濾波算法和CKF濾波算法的普適性

UKF濾波算法與CKF濾波算法均不具備普適性，即并不適用于所有的非線性系統(tǒng)。尤其當(dāng)非線性系統(tǒng)中的量測方程在某個(gè)時(shí)刻關(guān)于狀態(tài)估計(jì)值偶對稱時(shí)，該系統(tǒng)無論是采用UKF濾波算法還是CKF濾波算法，均無法完成對系統(tǒng)被估計(jì)量的估計(jì)。下面具體說明。

假設(shè)一維非線性系統(tǒng)為

(12)

式中，系統(tǒng)噪聲Wk-1和Vk量測噪聲服從高斯分布。

通過對UKF濾波算法和CKF濾波算法結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析可知，之所以兩者不能估計(jì)上述系統(tǒng)，原因在于該系統(tǒng)的量測方程關(guān)于狀態(tài)初值偶對稱。根據(jù)線性回歸理論，若輸入量關(guān)于初值偶對稱，則會導(dǎo)致輸入和輸出不相關(guān)，繼而導(dǎo)致相關(guān)系數(shù)為0，等同于濾波方程中的協(xié)方差陣為0，從而使得濾波增益為0，無法有效利用量測的修正作用實(shí)現(xiàn)對狀態(tài)的正確估計(jì)。

2 大方位失準(zhǔn)角非線性對準(zhǔn)簡化模型

2.1 坐標(biāo)系定義

1) 載體坐標(biāo)系(b系)，方向?yàn)橛仪吧希?) 導(dǎo)航坐標(biāo)系(n系)，采用東北天地理坐標(biāo)系；3) 計(jì)算導(dǎo)航坐標(biāo)系(n′系)。

2.2 大方位失準(zhǔn)角非線性對準(zhǔn)模型

根據(jù)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差傳播機(jī)理，結(jié)合文獻(xiàn)[12]可推導(dǎo)出大方位失準(zhǔn)角條件下捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)非線性姿態(tài)誤差方程和速度誤差方程分別為

(13)

(14)

式中:

(15)

(16)

2.3 大方位失準(zhǔn)角非線性對準(zhǔn)模型簡化

考慮到傳遞對準(zhǔn)時(shí)間短，而短時(shí)間內(nèi)是無法完成對陀螺零偏和加速度計(jì)零偏估計(jì)的，加之陀螺零偏和加速度計(jì)零偏量值小，對對準(zhǔn)的影響小，且對準(zhǔn)的核心是姿態(tài)失準(zhǔn)角估計(jì)，為減少計(jì)算量，提高運(yùn)算速度，在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)可不必將其列入狀態(tài)。

(17)

式中：

(18)

(19)

3 UKF濾波算法與CKF濾波算法在大方位失準(zhǔn)角對準(zhǔn)下的應(yīng)用特性

線性的情況，一般采用UKF濾波算法和CKF濾波算法。下面以速度觀測下姿態(tài)誤差角的估計(jì)為例，通過蒙特卡羅仿真試驗(yàn)，研究這兩種濾波算法在既有角運(yùn)動又有線運(yùn)動的搖擺環(huán)境下的應(yīng)用特點(diǎn)。

搖擺環(huán)境選取平靜、中等和惡劣3類海況，其參數(shù)設(shè)置[13]如表1所示。

表1 不同海況參數(shù)設(shè)置

考慮以下9種仿真情形：情形1，靜基座(無角運(yùn)動，無線運(yùn)動)；情形2，平靜海況，無線運(yùn)動；情形3，中等海況，無線運(yùn)動；情形4，惡劣海況，無線運(yùn)動；情形5，無角運(yùn)動，有線運(yùn)動(線加速度為0.5 m/s2)；情形6，無角運(yùn)動，有線運(yùn)動(線加速度為1 m/s2)；情形7，平靜海況，有線運(yùn)動(線加速度為1 m/s2)；情形8，中等海況，有線運(yùn)動(線加速度為1 m/s2)；情形9，惡劣海況，有線運(yùn)動(線加速度為1 m/s2)。

上述9種情形，每種情形進(jìn)行20次仿真，并對姿態(tài)角誤差取平均值繪制曲線，如圖1所示。

圖1 9種情形下姿態(tài)角估計(jì)誤差Fig.1 Estimated attitude errors of 9 cases

匯總上述9種情形的仿真結(jié)果，如表2所示。

表2 9種情形的仿真結(jié)果

根據(jù)圖1和表2歸納得出如下結(jié)論。

1) CKF濾波算法對角運(yùn)動不敏感，但對線運(yùn)動敏感，載體有線加速度時(shí)會加速CKF濾波算法的收斂，估計(jì)精度也會迅速提高。因此，利用CKF濾波算法實(shí)現(xiàn)大方位失準(zhǔn)角對準(zhǔn)只需載體具有線加速度即可，無需載體作角運(yùn)動方向的激勵。

2) 靜基座或系泊狀態(tài)因無線加速度，所以此時(shí)采用速度匹配利用CKF濾波算法雖能估計(jì)出姿態(tài)誤差角誤差，但因估計(jì)誤差過大而無法實(shí)現(xiàn)大方位失準(zhǔn)角對準(zhǔn)。

3) UKF濾波算法對角運(yùn)動和線運(yùn)動都敏感，角運(yùn)動或線運(yùn)動方向激勵的加強(qiáng)，有助其收斂，因此，無論是系泊還是航行狀態(tài)，利用UKF濾波算法均可以較高精度估計(jì)出姿態(tài)誤差角估計(jì)誤差，實(shí)現(xiàn)大方位失準(zhǔn)角對準(zhǔn)。

4) 當(dāng)載體有線加速度時(shí)，CKF濾波算法的估計(jì)精度會隨線加速度變化的增加而提高，最終相當(dāng)或略高于UKF濾波算法。

5) CKF濾波算法之所以對角運(yùn)動不敏感，而對線運(yùn)動敏感，原因在于其球形等權(quán)值采樣策略，角運(yùn)動的變化對球形的均勻分布改變不大，加之等權(quán)值的信息利用策略，不能加大對有效信息利用的權(quán)重，從而使得濾波效果不佳。

6) UKF濾波算法之所以對角運(yùn)動和線運(yùn)動均敏感，原因在于其UT變換確定性采樣，按照不同權(quán)值進(jìn)行信息分配，類似加權(quán)最小二乘估計(jì)，能有效完成對非線性函數(shù)的概率密度逼近，達(dá)到較好的濾波效果。

4 結(jié)論

UKF和CKF兩種非線性濾波算法，主要通過確定性采樣實(shí)現(xiàn)對非線性系統(tǒng)的概率密度的近似和逼近，從而實(shí)現(xiàn)對被估計(jì)量的估計(jì)。但兩者均不具有普適性，不適用于所有的非線性系統(tǒng)，尤其是對于量測方程關(guān)于狀態(tài)初值偶對稱的非線性系統(tǒng)，故需根據(jù)系統(tǒng)非線性模型的實(shí)際情況進(jìn)行選擇。此外，由于UKF濾波算法與CKF濾波算法在構(gòu)造采樣點(diǎn)時(shí)采取的映射方法不同，決定其對角運(yùn)動與線運(yùn)動的敏感程度的不同。蒙特卡羅仿真驗(yàn)證結(jié)果表明，UKF濾波算法對角運(yùn)動和線運(yùn)動都敏感，角運(yùn)動和線運(yùn)動方向的激勵均可加速其收斂，而CKF濾波算法對角運(yùn)動不敏感，但對線運(yùn)動敏感，角運(yùn)動方向的激勵無助于其對準(zhǔn)精度的提高，而線運(yùn)動方向的激勵可加速其收斂，且收斂精度隨激勵效果的加強(qiáng)而提高，這個(gè)特性，對于大方位失準(zhǔn)角條件下非線性濾波方法的選擇和對準(zhǔn)技術(shù)的工程化實(shí)現(xiàn)提出針對性建議。

[1] REID J G,TUCKER M,DAYAN R.An extended Kalman filter for the estimation of transfer alignment errors to an airborne vehicle[C]//AIAA Guidance Navigation and Control Conference，1980:54-61.

[2] HAO Y L，XIONG Z L,WANG W,et al.Rapid transfer alignment based on unscented Kalman filter[C]//Procee-dings of the American Control Conference,Minneapolis,2006:2215-2220.

[3] WANG Q,RIZOS C,LI Y,et al.Application of a Sigma-point Kalman filter for alignment of MEMS-IMU[C]//IEEE Position,Location and Navigation Symposium,2008:44-52.

[4] ARASARATNAM I.Cubature Kalman filtering:theory & applications[D].Hamilton:Mcmaster University,2009.

[5] ARASARATNAM I,HAYKIN S.Cubature Kalman filters [J].IEEE Transactions on Automatic Control,2009,54(6):1254-1269.

[6] 秦永元,張洪鉞,汪叔華.卡爾曼濾波與組合導(dǎo)航原理 [M].2版.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2012.

[7] 孫楓,唐李軍.Cubature卡爾曼濾波-卡爾曼濾波算法[J].控制與決策,2012,27(10):1561-1565.

[8] 孫楓,唐李軍.Cubature卡爾曼濾波與Unscented卡爾曼濾波估計(jì)精度比較[J].控制與決策,2013,28(2):303-312.

[9] ITO K,XIONG K Q.Gaussian filters for nonlinear filtering problems[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 2000,45(5):910-927.

[10] 伍宗偉,姚敏立,馬紅光，等.稀疏網(wǎng)格平方根求積分非線性濾波器[J].電子學(xué)報(bào),2012,40(7):1298-1303.

[11] WU Y X,HU D,WU M P,et al.An numerical-integration perspective on Guassian filters[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2006,54(8)：2910-2921.

[12] 嚴(yán)恭敏,嚴(yán)衛(wèi)生,徐德民.簡化UKF濾波在SINS大失準(zhǔn)角初始對準(zhǔn)中的應(yīng)用[J].中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào),2008,16(3):253-264.

[13] 朱新穎,秦永元,楊鵬翔.艦載條件下一種新的傳遞對準(zhǔn)方案與仿真研究[J].計(jì)算機(jī)測量與控制,2008,16(4):518-520.

Comparative Study on UKF and CKF in Large Azimuth Misalignment for SINS

XU Jing-shuo1, WANG Yong-jun2, LIU Ya3

(1.Qingdao Campus of Naval Aeronautical and Astronautical University,Qingdao 266041,China; 2.No.92514 Unit of PLA,Yantai 264007,China; 3.Shandong Institute for Product Quality Inspect,Ji’nan 250102,China)

The Unscented Kalman Filter (UKF) and Cubature Kalman Filter (CKF) are introduced,and ananalysis is made to their similarities and differences.Through Monte-Carlo simulation tests,the characteristics of UKF and CKF under large azimuth misalignment are studied,and the following conclusions are obtained:1) UKF is sensitive to both angular motion and linear motion,while CKF is only sensitive to linear motion;2) Both the incentive of angular motion and linear motion can speed up the convergence of UKF algorithm,but as to the CKF,the incentive of angular motion makes no contribution to the alignment accuracy while the incentive of linear motion can speed up the algorithm convergence;and 3) The CKF algorithm accuracy can be gradually increased with the improvement of the incentive of linear motion.The unique characteristics are helpful for the engineering realization of alignment technology.

Unscented Kalman Filter (UKF); Cubature Kalman Filter (CKF); transfer alignment; large azimuth misalignment; comparison

徐景碩,王勇軍,劉亞.大失準(zhǔn)角情形下UKF與CKF的比較研究[J].電光與控制，2017，24(9)：42-46,99.XU J S,WANG Y J,LIU Y.Comparative study on UKF and CKF in large azimuth misalignment for SINS [J].Electronics Optics & Control,2017,24(9):42-46,99.

2016-09-19

2017-06-25

徐景碩(1965 —),男，山東五蓮人，博士，教授，博導(dǎo)，研究方向?yàn)閼T性技術(shù)。

U666.1

A

10.3969/j.issn.1671-637X.2017.09.009