楊一麗+孔懿娜

摘 要：課題學(xué)習(xí)追求的目標(biāo)不僅是知識(shí)的獲得和問題的解決，更重要的是使學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.課堂是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的主陣地，合理的素材是落實(shí)核心素養(yǎng)的前提，適切的問題是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，科學(xué)的評(píng)價(jià)是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的保障.

關(guān)鍵詞：課題學(xué)習(xí)；核心素養(yǎng)；學(xué)習(xí)能力；探究活動(dòng)

作為初中數(shù)學(xué)四大板塊內(nèi)容之一的課題學(xué)習(xí)，目的是讓學(xué)生經(jīng)過自主探索和合作交流，解決一些具有挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，使得數(shù)學(xué)教學(xué)過程成為一個(gè)課題研究的過程.因此，課題學(xué)習(xí)追求的目標(biāo)不僅是知識(shí)的獲得和問題的解決，更重要的是使學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)獲得創(chuàng)造性活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維，掌握數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).這與我國目前基礎(chǔ)教育的新熱點(diǎn)——核心素養(yǎng)的要求極其吻合.

課堂是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的主陣地. 筆者對(duì)課題學(xué)習(xí)“格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算”一課進(jìn)行二度教學(xué)實(shí)踐，兩次實(shí)踐都引起了教師們廣泛的討論和持續(xù)的關(guān)注.現(xiàn)以修正后的這節(jié)課為例，談?wù)剬?duì)這節(jié)課的教學(xué)分析與思考，希望能對(duì)讀者有所啟發(fā).

一、教材分析

（一）教學(xué)目標(biāo)分析

理解格點(diǎn)多邊形的定義，掌握求格點(diǎn)多邊形面積的一般方法；學(xué)生通過畫圖、列表、分析數(shù)據(jù)、尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證皮克定理；通過動(dòng)手操作、觀察類比、分析歸納、合作交流等一系列探究活動(dòng)，了解解決問題的過程和方法，體驗(yàn)“在解決多變量問題中采用變量逐步控制”的科學(xué)思維方法；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（二）教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課主要探索多邊形面積計(jì)算公式（皮克定理），該公式在數(shù)學(xué)學(xué)科及實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)課中計(jì)算不規(guī)則多邊形面積是推導(dǎo)公式的關(guān)鍵步驟，是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來計(jì)算；同時(shí)又為后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法、體會(huì)類比思想奠定了良好的基礎(chǔ).因此本節(jié)課是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好素材.

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）畫圖操作 喚醒學(xué)生的探究意識(shí)

教師：（幻燈片展示從生活中抽象出的幾何圖形）在日常生活中我們經(jīng)常會(huì)遇到需要計(jì)算這些不規(guī)則圖形的面積，你知道怎么來求這些不規(guī)則圖形的面積呢？

學(xué)生1：可以將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來計(jì)算.

教師：在小學(xué)里我們已經(jīng)接觸過將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來計(jì)算面積，但這樣往往會(huì)受到具體條件的限制，為了更好地解決這一類問題，今天這節(jié)課我們把圖形放到格點(diǎn)多邊形中來探索求解面積的方法.

教師：如果一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn)）上，那么這樣的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形.PPT展示格點(diǎn)多邊形的概念）

教師：你會(huì)求圖1中的格點(diǎn)多邊形的面積嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉?

學(xué)生：先求出長、寬（或底與高）后再用面積計(jì)算公式計(jì)算.

教師：怎么求長、寬（或底與高）？

學(xué)生：觀察格點(diǎn)多邊形上的格點(diǎn)數(shù)就可以知道格子數(shù)目，從而求出長、寬（或底與高）了.

教師：回答得很好！事實(shí)上，長、寬與格點(diǎn)多邊形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)和邊界上的格點(diǎn)數(shù)均有關(guān).

教師：那如何來求圖2的面積呢？

學(xué)生：分割或補(bǔ)形成規(guī)則圖形.

教師根據(jù)學(xué)生的回答展示主要的割補(bǔ)方案（見圖3）.

說明：設(shè)置環(huán)環(huán)相扣的問題，引領(lǐng)學(xué)生的思維進(jìn)入有序思考的狀態(tài)，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)到“學(xué)習(xí)的內(nèi)容源于解決問題的需要”，激發(fā)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力.在求解長、寬（或底與高）的過程中，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

（二）探究活動(dòng) 促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的根植

教師：結(jié)合剛才求格點(diǎn)多邊形的面積的方法，接下來我們一起來探究格點(diǎn)多邊形的面積與其覆蓋的格點(diǎn)數(shù)究竟具有怎樣的關(guān)系呢？

【探究】設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)為[a]，邊界上的格點(diǎn)數(shù)為[b]，請(qǐng)寫出圖4中格點(diǎn)多邊形的[a，b]的值.

操作1：請(qǐng)同學(xué)在網(wǎng)格紙上畫出與圖4的[a，b]的值對(duì)應(yīng)相等但又不同于圖4的三個(gè)格點(diǎn)多邊形.（此環(huán)節(jié)教師用投影儀展示學(xué)生作品，學(xué)生評(píng)析，教師修正）

操作2：請(qǐng)同學(xué)在網(wǎng)格紙上畫出3個(gè)滿足條件[a=0]的格點(diǎn)多邊形，圖形序號(hào)分別用①②③標(biāo)志，并分別求出它們的面積S.

活動(dòng)一 探究[a=0]的格點(diǎn)多邊形中S與[b]之間的關(guān)系.

教師：當(dāng)[a=0]時(shí)，格點(diǎn)多邊形中的S，[b]之間存在一個(gè)什么樣的關(guān)系，你能表示出來嗎？

（為了幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，教師引導(dǎo)學(xué)生填好圖5的表格，啟發(fā)學(xué)生嘗試應(yīng)用函數(shù)圖象分析）

學(xué)生（部分）：能.（這時(shí)有部分學(xué)生在坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)點(diǎn)并連線分析趨勢(shì)，見圖6）

教師：能說說具體解決方法嗎？

學(xué)生：因?yàn)轱@示的圖象是直線，所以應(yīng)用點(diǎn)的坐標(biāo)帶入來求解.

學(xué)生：可以設(shè)[S=mb+n]，將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)[（b，S）]代入，解一個(gè)關(guān)于[m，n]的二元一次方程組，得到[S=12b-1].

說明：此環(huán)節(jié)啟發(fā)學(xué)生探究[a=0]的情況下S與[b]之間的關(guān)系，為得到一般情況下面積公式設(shè)置階梯，并讓學(xué)生初步體會(huì)解決多變量問題時(shí)采用變量逐步控制的方法；另一方面，學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算和驗(yàn)證的過程中，促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

（隨后，教師分別呈現(xiàn)如圖7中的三幅圖，讓學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行探究）

活動(dòng)二 探究[a]=1時(shí)的格點(diǎn)多邊形中S與[b]之間的關(guān)系.

活動(dòng)三 探究[a=2]時(shí)格點(diǎn)多邊形中[S與b]之間的關(guān)系.

活動(dòng)四 探究[a=3]時(shí)格點(diǎn)多邊形中[S與b]之間的關(guān)系.

（三個(gè)活動(dòng)，學(xué)生根據(jù)活動(dòng)一積累的經(jīng)驗(yàn)，不難求出[a=1]時(shí)，[S=12b+0]；[a=2]時(shí) ，[S=12b+1]；[a=3]時(shí)，[S=12b+2]）endprint

說明：設(shè)置[a]=1，2，3的情況下，推導(dǎo)S與[b]的關(guān)系，意在先控制變量[a]，把它賦成常數(shù)，得出S與[b]的關(guān)系；另一方面，學(xué)生經(jīng)過計(jì)算、猜想逐步向結(jié)論靠近的過程中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、類比推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

（三）猜想規(guī)律 激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

教師：如果[b=0]，請(qǐng)同學(xué)們猜想S與[a]應(yīng)該是怎樣的關(guān)系？

學(xué)生：[S]是關(guān)于[a]為一次函數(shù)，圖象上體現(xiàn)為一條直線.

教師：那么在一般情況時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們猜想S與[a]，[b]應(yīng)該是怎樣的關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的數(shù)據(jù)和S與[b]的關(guān)系式進(jìn)行思考）

學(xué)生：一次函數(shù)關(guān)系.

教師：同學(xué)的回答有道理但不科學(xué)，在數(shù)學(xué)上我們稱S與[a]，[b]具有線性關(guān)系，所以 [可設(shè)S=ma+nb+c]，請(qǐng)同學(xué)們求出[m，n，c]的值.

學(xué)生：根據(jù)前面的環(huán)節(jié)可得[c=-1，]由表格中的數(shù)據(jù)通過解方程組可得[m=1，n=12].

教師： [S=a+12b-1]，這就是著名的皮克公式.（PPT展示皮克定理相關(guān)資料）

說明：本環(huán)節(jié)讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般及由歸納獲得的猜想，再結(jié)合具體的數(shù)據(jù)通過解方程組獲得結(jié)論.在思維的碰撞中提升對(duì)歸納猜想、合情推理的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)；在猜想、計(jì)算和建模的過程中，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

（四）驗(yàn)證規(guī)律 培養(yǎng)學(xué)生的理性精神

教師：至此，我們通過討論格點(diǎn)多邊形內(nèi)部及邊界上的格點(diǎn)數(shù)推出了格點(diǎn)多邊形的面積公式，這個(gè)公式是否具有一般性，你如何驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論？

學(xué)生：可以通過畫一般的格點(diǎn)多邊形來驗(yàn)證.（學(xué)生開始嘗試畫圖驗(yàn)證）

這時(shí)教師通過幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證，并讓學(xué)生上臺(tái)演示.學(xué)生拖動(dòng)格點(diǎn)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，使得多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)[a]不變，S隨著邊界點(diǎn)[b]的個(gè)數(shù)變化而變化；再控制邊界點(diǎn)格點(diǎn)數(shù)[b]不變，S隨著多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)[a]的變化而變化.當(dāng)[a=4，5]時(shí)，分別驗(yàn)證了[S=a+12b-1]正確.

教師：剛才是一個(gè)驗(yàn)證的過程，并不是證明的過程.奧地利數(shù)學(xué)家皮克證明了格點(diǎn)多邊形的面積公式，所以這個(gè)公式叫作皮克定理.如果有興趣，請(qǐng)同學(xué)課外可查找皮克定理的證明資料，并和你探索的結(jié)果作比較.

說明：本環(huán)節(jié)讓學(xué)生明白驗(yàn)證與證明的區(qū)別，事實(shí)上數(shù)學(xué)定理要經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明才行，而要說明結(jié)論錯(cuò)誤只需舉出反例，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣和驗(yàn)證猜想的能力及科學(xué)理性的精神.

（五）學(xué)以致用 內(nèi)化學(xué)生的核心素養(yǎng)

①請(qǐng)同桌合作用兩種方法計(jì)算圖8中多邊形的面積.

②請(qǐng)你計(jì)算圖9中格點(diǎn)△FGH的面積.并求△FGH的邊GF上的高.

說明：第①題既是皮克公式的應(yīng)用，也驗(yàn)證了皮克公式可應(yīng)用于凹多邊形. 第②題是中考原題，若直接求△FGH的邊GF上的高會(huì)較煩瑣.若應(yīng)用皮克公式，再利用△GFH的面積即可得h=[95][10].習(xí)題的設(shè)置意在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，通過問題的解決促進(jìn)核心素養(yǎng)的內(nèi)化和根植.

三、思考

（一）合理的素材是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的前提

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的.”這說明了教學(xué)中合理取材的重要性.那么，怎樣的素材才是合理的？筆者以為，首先要看該素材是否在學(xué)生認(rèn)知領(lǐng)域內(nèi)，適合學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化的活動(dòng)， 再者探究活動(dòng)是否能體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而真正地成為研究問題的載體.課題學(xué)習(xí)一般是選取可以深入探究的問題建立數(shù)學(xué)模型，通過學(xué)生主動(dòng)地觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)使問題得以解決，并進(jìn)行深度挖掘.在本節(jié)案例中，以“皮克公式的推導(dǎo)”為核心，在解決多變量問題時(shí)采用變量逐步控制的方法進(jìn)行探究，不僅內(nèi)容新穎富有挑戰(zhàn)性，而且符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，這樣的數(shù)學(xué)素材與活動(dòng)使得學(xué)生有了探究的基礎(chǔ)和條件，使學(xué)生自然將新的知識(shí)內(nèi)化到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.

（二）適切的問題是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵

問題是探究的核心，是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.如何科學(xué)地設(shè)計(jì)問題至關(guān)重要.筆者以為，首先要使設(shè)計(jì)的問題適合學(xué)生認(rèn)知水平，能揭示教材和學(xué)習(xí)活動(dòng)中的實(shí)質(zhì)矛盾，難易適度，為在教學(xué)過程中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)創(chuàng)造基本條件.在本節(jié)案例中，問題鏈的設(shè)置從[a=0]時(shí)探究格點(diǎn)多邊形的S與[b]的關(guān)系， 再深入到[a=1，2，3]時(shí)，探究格點(diǎn)多邊形S與[b]的關(guān)系，始終圍繞著“皮克定理的推導(dǎo)”展開.根據(jù)設(shè)計(jì)的系列化問題，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、畫圖、計(jì)算、猜想、驗(yàn)證等手段逐步逼近本質(zhì)，既解決了問題又在問題解決的過程中促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

（三）科學(xué)的評(píng)價(jià)是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的保障

長期以來，學(xué)校、社會(huì)過于關(guān)注終結(jié)性評(píng)價(jià)，教學(xué)成了以“結(jié)果制約過程”為特征的教學(xué).在核心素養(yǎng)成為我國基礎(chǔ)教育新熱點(diǎn)的形勢(shì)下，從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)實(shí)施到教學(xué)評(píng)價(jià)都應(yīng)有科學(xué)的措施.特別是對(duì)核心素養(yǎng)發(fā)展水平的評(píng)價(jià)，不可僅依靠測(cè)試學(xué)生對(duì)知識(shí)與技能的掌握程度來體現(xiàn)，要表現(xiàn)出對(duì)各種能力和綜合品格的重視，如思維能力、創(chuàng)新能力、學(xué)習(xí)能力、合作能力等.因此，課堂教學(xué)中的評(píng)價(jià)，更多的功能是“改進(jìn)”和“表現(xiàn)”，不宜過多強(qiáng)調(diào)評(píng)價(jià)的甄別功能，通過過程性的評(píng)價(jià)來保障學(xué)科核心素養(yǎng)的落地.作為學(xué)業(yè)測(cè)試的評(píng)價(jià)部分，紙筆評(píng)價(jià)的內(nèi)容也應(yīng)聚焦于學(xué)生的核心素養(yǎng)，包括關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)能力、鉆研精神及學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的科學(xué)態(tài)度和理性精神等，從評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)來引導(dǎo)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).[□][◢]endprint