廣東省東莞市大嶺山中學(xué)(523820) 張全超

教師被定義為專業(yè)技術(shù)人員,因此自身的專業(yè)發(fā)展就是應(yīng)有之義.大部分中學(xué)數(shù)學(xué)教師當(dāng)年都從自己的高中或大學(xué)的數(shù)學(xué)教師那里學(xué)到了不少專業(yè)知識(shí),因此執(zhí)教中學(xué)時(shí)已有了相當(dāng)?shù)幕A(chǔ).筆者也不例外,在執(zhí)教高中的前幾年,啃著老本,講著當(dāng)年高中數(shù)學(xué)教師的方法.但慢慢發(fā)現(xiàn),有時(shí)自己對(duì)某些知識(shí)僅僅是知其然,并沒有做到知其所以然.于是,如何超越當(dāng)年的老師、如何在自身專業(yè)發(fā)展之路上有所突破便成了筆者思考的問題.

一般來說,數(shù)學(xué)青年教師在專業(yè)發(fā)展道路上突破瓶頸的有效途徑有：一、多鉆研思考,產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力;二、多訂閱專業(yè)雜志,向書籍取經(jīng);三、多參加研討會(huì),向?qū)＜覍W(xué)習(xí);四、多利用網(wǎng)絡(luò),借力信息技術(shù).

一、多鉆研思考,產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力

由雙根法[2],可令

再令(*)中的x=a,可得

由(x1-a)(x2-a)＞0,可知b2-k2a2＜0.再由(x1-a)+(x2-a)＞0可得2kma2＜0,從而x1+x2＞0,x1x2＞0.因此,由條件1能夠得到條件2.

綜上,條件1能夠用條件2來代替,二者是等價(jià)的.

通過上面的分析,我們對(duì)“直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨設(shè)x2＞x1,且x1＞a)的充要條件”不僅做到了知其然(條件2能夠代替條件1),而且做到了知其所以然(條件2與條件1等價(jià)).觸類旁通,若直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn),在聯(lián)立直線與橢圓方程得到一個(gè)一元二次方程后,我們一般只強(qiáng)調(diào)Δ＞0,根據(jù)幾何圖形不需要去特別強(qiáng)調(diào)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的取值范圍.

做到了知其然且知其所以然,就可以在應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題時(shí)避免“負(fù)遷移”.

例1已知兩點(diǎn)A(3,0),B(0,3),拋物線C的方程是y=-x2+mx+1,拋物線C與線段AB有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

錯(cuò)解聯(lián)立y=3-x與y=-x2+mx+1,消去y,化簡得x2-(m+1)x+2=0.由Δ =0,得.

二、多訂閱專業(yè)雜志,向書籍取經(jīng)

書籍是人類進(jìn)步的階梯,數(shù)學(xué)專業(yè)雜志的內(nèi)容大多是本學(xué)科最新的解題研究與發(fā)展動(dòng)向等.數(shù)學(xué)青年教師多閱讀專業(yè)雜志和書籍,能夠開闊視野,不斷自我充電,落實(shí)活到老學(xué)到老的終身學(xué)習(xí)理念.

例如,在前面直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的問題中,對(duì)代數(shù)式(x1-a)(x2-a)的處理,常規(guī)的做法是展開后利用韋達(dá)定理,計(jì)算量較大.但如果利用雙根法[2],就會(huì)幾乎沒有計(jì)算量.

例2(2014年遼寧卷 理10)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,過點(diǎn)A的直線l與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為___.

解法1(通法)易知p=4,拋物線C的方程為y2=8x.直線l的斜率顯然存在,設(shè)為k,則直線l的方程為y-3=k(x+2).由于直線l與拋物線C相切,所以聯(lián)立y-3=k(x+2)與y2=8x,消去y后化簡得

本題也可以利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來求解,計(jì)算量也較大.

文獻(xiàn)[3]里有利用拋物線光學(xué)性質(zhì)解題的例子,如法炮制,本題也可以利用拋物線光學(xué)性質(zhì)巧妙解決.

解法2利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后,反射光線平行于拋物線的軸.

圖1

解法2利用拋物線的光學(xué)性質(zhì),從幾何角度發(fā)現(xiàn)AF⊥BF,“秒殺”該題.

三、多參加研討會(huì),向?qū)＜覍W(xué)習(xí)

分析本題的常規(guī)解法是對(duì)直線y=a(x-3)的斜率a進(jìn)行分類討論,較為繁瑣.

有一次筆者參加高考備考研討會(huì),一位特級(jí)教師的發(fā)言中提到了該題,只不過他對(duì)該題輕描淡寫：“該題是比較簡單的”.他的的話引發(fā)了筆者的思考：本題用分類討論的方法明明是較為繁瑣的,為何卻說該題是比較簡單的呢?莫非還有其它妙解?事后,筆者借助網(wǎng)絡(luò)發(fā)現(xiàn)：利用“線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一定是在三線共點(diǎn)的地方”這個(gè)結(jié)論,可以有效避免分類討論.

筆者在2016至2017學(xué)年參加了東莞市教研室組織的為期一年的高中數(shù)學(xué)青年教師培訓(xùn)班,從講座的專家那里學(xué)到了很多寶貴的東西,在此表示感謝!2017年6月份筆者將參加在西安舉行的東莞市骨干教師培訓(xùn)班,期望能學(xué)到更多的東西為教學(xué)服務(wù).

四、多利用網(wǎng)絡(luò),借力信息技術(shù)

一個(gè)人大腦里儲(chǔ)存的信息量再大,也不可能有網(wǎng)絡(luò)儲(chǔ)存的信息量大.遇到解決不了的問題,我們可以利用網(wǎng)絡(luò)來搜索相關(guān)問題及答案.

例如,高中數(shù)學(xué)最早所接觸的幾個(gè)符號(hào)應(yīng)該說是幾個(gè)常用數(shù)集的符號(hào),,和,其中N是英文中自然數(shù)natural number大寫形式的首字母;是英文中商quotient(有理數(shù)可以寫成兩個(gè)整數(shù)的商的形式)大寫形式的首字母;是英文中實(shí)數(shù)realnumber大寫形式的首字母.整數(shù)在英文中為integer,其大寫形式的首字母是,那么為什么整數(shù)集不用I來表示呢?筆者利用網(wǎng)絡(luò)搜索發(fā)現(xiàn),Z是德語中整數(shù)zahlen大寫形式的首字母,用來表示整數(shù)集是為了紀(jì)念德國女?dāng)?shù)學(xué)家諾特在整環(huán)方面所做出的偉大貢獻(xiàn),她是第一個(gè)用來表示整數(shù)的人.

為了表示對(duì)諾特的紀(jì)念,筆者把人教A版《數(shù)學(xué)·必修1》第7頁練習(xí)第3題的第(2)小題經(jīng)過改頭換面,在一次數(shù)學(xué)周測(cè)中命制了這樣一道試題(答案為B,其中理想與整環(huán)有一定的關(guān)系)：

對(duì)于整數(shù)n,我們定義＜n＞={x|x=kn,k∈}為由整數(shù)n生成的理想.據(jù)此定義,理想＜3＞與＜6＞的關(guān)系為___.

A.＜3＞＞＜6＞B.＜3＞＜＜6＞

C.＜3＞=＜6＞D. 大小關(guān)系不確定

此外,網(wǎng)絡(luò)上有很多教學(xué)視頻我們可以觀看.例如,筆者在觀看騰訊教育高考頻道藍(lán)和平的講座時(shí)發(fā)現(xiàn),聯(lián)立直線與拋物線方程時(shí)消去拋物線方程中的一次項(xiàng)比消去二次項(xiàng)計(jì)算量要小很多,于是我們可以改進(jìn)例2中的解法1：聯(lián)立y-3=k(x+2)與y2=8x時(shí),

再比如,我們可以加入一些QQ群或微信群,向解題高手學(xué)習(xí).

有的文獻(xiàn)把像例4中函數(shù)f(x)的零點(diǎn)這樣的零點(diǎn)稱為隱性零點(diǎn),隱性零點(diǎn)是近幾年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的熱點(diǎn)問題之一.

[1]張楊文.高考數(shù)學(xué)你真的掌握了嗎(圓錐曲線)[M].北京：清華大學(xué)出版社,2014年8月.

[2]藍(lán)云波.雙根法是優(yōu)化解析幾何運(yùn)算的又一利器[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2015,9：30-32.

[3]蘭琦.高中數(shù)學(xué)進(jìn)階教程[M].杭州：浙江大學(xué)出版社,2016年8月.