巧用延伸性知識(shí) 代數(shù)法妙解幾何題

浙江省寧?？h星海中學(xué)(315600) 李咪麗

在近幾年的中考試題中,經(jīng)常會(huì)涉及延伸性知識(shí).這里的延伸性知識(shí)是指現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒有直接出現(xiàn)的知識(shí),包括公式和結(jié)論.本文將結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐闡述一些較實(shí)用的延伸性知識(shí)以期用代數(shù)法快捷、高效地解決幾何問題.

一、巧用“平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式”妙解平行四邊形存在性問題

1.公式闡述

(1)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式

圖1

證明如圖1所示,設(shè)線段AB的中點(diǎn)P坐標(biāo)為(xP,yP).易構(gòu)造得△APC～=△PBD,

則AC=PD,PC=BD

即xP-x1=x2-xP,yP-y1=y2-yP.

(2)平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式

圖2

證明如圖2,設(shè)平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD).連結(jié)AC,BD交于點(diǎn)E,由平行四邊形性質(zhì)可得對角線AC,BD互相平分,即點(diǎn)E既是線段AC的中點(diǎn)也是線段BD的中點(diǎn).由線段中點(diǎn)公式可得E點(diǎn)坐標(biāo)為

故有結(jié)論：xA+xC=xB+xD,yA+yC=yB+yD.即平行四邊形對角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等.

2.實(shí)例解析

例1如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)M在這條拋物線上,點(diǎn)P在y軸上,如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

圖3

分析平行四邊形的存在性問題,常規(guī)解法是先畫出平行四邊形,再依據(jù)“平行四邊形的一組對邊平行且相等”或“平行四邊形的對角線互相平分”來解決.由于先畫出草圖,若考慮不周,很容易漏解.而利用“平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式”就無需畫出平行四邊形草圖,只要合理分類、有序組合,從對角線入手就不會(huì)漏解.這種方法條理清晰,而且適用范圍廣.解答過程如下：

解易得A(-1,0),B(3,0).

由題意可設(shè)P(0,m),M(x,-x2+2x+3).

①當(dāng)AM,PB為對角線時(shí),根據(jù)公式可得點(diǎn)A、M與點(diǎn)P、B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等.

故M1(4,-5).

②當(dāng)AP,MB為對角線時(shí),根據(jù)公式可得點(diǎn)A、P與點(diǎn)M、B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等.

故M2(-4,-21).

③當(dāng)AB,PM為對角線時(shí),根據(jù)公式可得點(diǎn)A、B與點(diǎn)P、M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等.

故M3(2,-3).

綜上所述,點(diǎn)M坐標(biāo)分別為M1(4,-5),M2(-4,-21),M3(2,-3).

二、巧用“k1·k2=-1”妙解兩直線垂直問題

1.結(jié)論(公式)闡述

(1)結(jié)論：已知直線y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,若兩直線互相垂直,則k1·k2=-1.

(2)k的計(jì)算公式

證明將點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)代入y=kx+b

兩式作差得y1-y2=kx1-kx2,

2.實(shí)例解析

例2如圖4,已知直線m:y=2x+1,分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn).作點(diǎn)P(1,2)作關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)Q,求Q點(diǎn)坐標(biāo).

圖4

不難發(fā)現(xiàn),常規(guī)解法雖然計(jì)算簡單,但是構(gòu)造相似這個(gè)思路學(xué)生很難想到,無形中加大了本題難度.而利用結(jié)論：兩直線互相垂直,則k1·k2=-1則可快速、巧妙地解決該難點(diǎn).

解設(shè)P、Q所在直線為直線n,直線n與x軸交于點(diǎn)C,兩直線交點(diǎn)為M點(diǎn).由對稱性可得直線m⊥n,且點(diǎn)M為線段PQ中點(diǎn).設(shè)直線n的解析式為y=kx+b.

由直線n⊥m得k1·k2=-1,即2·k=-1,

因?yàn)镸是線段PQ的中點(diǎn),且P(1,2),設(shè)Q(xQ,yQ)

例3如圖5,拋物線y=-x2+4x-3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左邊),與y軸交于點(diǎn)D.在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得△BDP是直角三角形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

圖5

分析以二次函數(shù)為載體的直角三角形存在性問題,因其圖形復(fù)雜、知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng),近幾年成為中考熱點(diǎn).此類題常規(guī)解法有兩種：一是構(gòu)造“雙垂直”模型,再利用相似求解.這種方法難點(diǎn)在于構(gòu)造“雙垂直”模型,優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單.二是先利用兩點(diǎn)距離公式表述出三條邊,再利用勾股定理求解.這種方法是思路簡單好想,但計(jì)算復(fù)雜,很容易出現(xiàn)四次項(xiàng)、三次項(xiàng).而利用“兩直線互相垂直,則k1·k2=-1”可以規(guī)避這些難點(diǎn).

解易求得A(1,0),B(3,0),D(0,-3)

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y=-x2+4x-3上,故設(shè)點(diǎn)P(m,-m2+4m-3).則

分三種情況討論：

①以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),即BD⊥BP,

故有kBD·kBP=-1.

化簡得m2-5m+6=0,

解得m1=2,m2=3(與B重合,舍去),

故P1(2,1).

②以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn),即BD⊥DP,

故有kBD·kDP=-1.

化簡得m2-5m=0,

解得m1=5,m2=0(與D重合,舍去),

故P2(5,-8).

③以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),即BP⊥DP,

故有kBP·kDP=-1.

因?yàn)閙-3/=0,m/=0,

所以(-m+1)(-m+4)=-1,

化簡得m2-5m+5=0,

三、巧用“兩點(diǎn)距離公式”和“點(diǎn)到直線距離公式”,妙解距離問題

1.公式闡述

(1)兩點(diǎn)距離公式

已知A(x1,y1),B(x2,y2),如圖6,則有AC=|x1-x2|,BC=|y1-y2|,,由勾股定理得.

圖6

(2)點(diǎn)到直線距離公式

圖7

證明由題意得CD⊥AB,則根據(jù)公式k1·k2=-1

因?yàn)辄c(diǎn)D是直線AB與CD的交點(diǎn),

最后由兩點(diǎn)距離公式可求得

2.實(shí)例解析

例4如圖8,平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,3),B(3,5),C(5,4),求△ABC的面積.

圖8

解若以AC為底,則

則點(diǎn)B(3,5)到直線AC的距離即AC邊上的高為

例5如圖9,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A(-1,0),B(2,0),交y軸于C(0,-2),過A,C畫直線.

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)點(diǎn)P在x軸正半軸上,且PA=PC,求OP的長;

(3)點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上,以M為圓心的圓與直線AC相切,切點(diǎn)為H.

①若M在y軸右側(cè),且△CHM～△AOC(點(diǎn)C與點(diǎn)A對應(yīng)),求點(diǎn)M的坐標(biāo);

圖9

解(1)拋物線的解析式為y=(x+1)(x-2),即y=x2-x-2

(2)OP=1.5

因?yàn)?∠COA= ∠DEA=90°,∠OAC= ∠EAD,

所以△AED～△AOC,

解得AD=2,

所以D(1,0)或D(-3,0).

過點(diǎn)D作DM//AC,交拋物線于M,如圖10(備用圖)則直線DM的解析式為：y=-2x+2或y=-2x-6,

當(dāng)-2x-6=x2-x-2時(shí),即x2+x+4=0,方程無實(shí)數(shù)根,

圖10

分析本題是2012年寧波市中考?jí)狠S題,是一道考查二次函數(shù)、一元二次方程、勾股定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形和圓等有關(guān)知識(shí)的綜合題.第(3)②題要求學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造的思想,利用“平行線間的距離處處相等”找到坐標(biāo)軸特殊的點(diǎn),再運(yùn)用函數(shù)與方程組的聯(lián)系解決問題.問題的完美解決需要學(xué)生具備創(chuàng)造精神和質(zhì)疑反思能力.而這恰恰是考生最不容易具備的,因此本小題成了眾多考生失分的關(guān)鍵.而利用“點(diǎn)到直線距離公式”解答,過程將直觀明了、快捷高效.

設(shè)點(diǎn)M(x,x2-x-2),根據(jù)“點(diǎn)到直線距離公式”得

整理得|x2+x|=4,

即x2+x=4或x2+x=-4,

每年的中考題中都有一定數(shù)量的試題改編自課本或是課本習(xí)題.延伸性知識(shí)究其本質(zhì)亦來源于教材,經(jīng)過研究、拓展和提煉又以公式或結(jié)論的形式應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題中,這與現(xiàn)今的中考理念是一致的.延伸性知識(shí)的獲得需要教師在課堂教學(xué)中不斷引導(dǎo)學(xué)生深入淺出、舉一反三地對教材內(nèi)容加以推敲、延伸和變形.學(xué)生通過對延伸性知識(shí)的內(nèi)化,以提升自己的解題能力.