分式及分式方程計算中常見的錯誤與應(yīng)對策略

廣東省佛山市順德區(qū)沙滘初級中學(xué)(528316) 王彬

北師大新版《數(shù)學(xué)》八年級下冊第五章《分式與分式方程》的主要內(nèi)容是分式和分式方程.本章內(nèi)容是在學(xué)生掌握了整式的四則運(yùn)算和因式分解的基礎(chǔ)上,類比已經(jīng)掌握的分?jǐn)?shù)概念,得出分式的概念;類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和四則運(yùn)算,得出分式的基本性質(zhì)和四則運(yùn)算法則;類比有分?jǐn)?shù)的整式方程的解法和步驟,得出分式方程的解法和步驟.通過分式的學(xué)習(xí)把學(xué)生對“式”的認(rèn)識從整式擴(kuò)充到了分式范圍,提高了學(xué)生的運(yùn)算能力、代數(shù)式變形能力,培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力.同時,掌握好本章知識也為以后學(xué)習(xí)函數(shù)和方程等知識做好充分準(zhǔn)備,打下扎實(shí)的基礎(chǔ).本章知識學(xué)習(xí)過程中所用的類比、轉(zhuǎn)化的研究方法對學(xué)生獨(dú)立開展研究問題產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響.

對部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來說,小學(xué)的分?jǐn)?shù)已經(jīng)把他們難住了,在分?jǐn)?shù)的運(yùn)算上他們是不過關(guān)的,所以在學(xué)習(xí)分式時,他們需要彌補(bǔ)知識的缺陷,需要突破巨大的心理障礙.筆者認(rèn)為在針對這部分學(xué)生的教學(xué),需要更多一些的方法和技巧.針對分式及分式方程運(yùn)算中的常見錯誤,筆者提出以下的應(yīng)對策略.

一、分式乘法亂約分.

學(xué)生的典型錯誤：

解

學(xué)生的典型錯誤：

解

錯誤分析：例(1)的錯誤是分子的xy與分母的xy相約,忽視了分子中的xy并不是一個因式(即xy和分子中的其它項(xiàng)并不是乘法關(guān)系),違反了分式的基本性質(zhì).例(2)的錯誤是學(xué)生將一個整體分拆成一個個體來約分,分子的a與分母的a2相約,分子的2與分母的2a相約.

北師大新版數(shù)學(xué)八年級下冊第111頁對分式約分法則有規(guī)定：把一個分式的分子和分母的公因式約去,這種變形稱為分式的約分.

在教學(xué)過程中,教師可能為了語言表達(dá)上的方便,又或者是為了讓學(xué)生能更容易找到公因式,在教學(xué)時往往只教學(xué)生找相同的數(shù)字或字母,然后把它們約去,忽視了法則中對公因式的要求.當(dāng)練習(xí)題中的分子和分母都是單項(xiàng)式時,這樣做的確能讓學(xué)生迅速完成約分,當(dāng)練習(xí)題中的分子和分母都是多項(xiàng)式時,找“相同”的方法就不完全適用了,還得回頭尋找公因式.所以貪一時的方便,留下一串串的問題,教師得花幾倍的力氣一個個輔導(dǎo),完全是得不償失.

上述學(xué)生所犯的錯便是出自教師教學(xué)時表達(dá)語言的不規(guī)范,所以解決這個問題首先是改變教師這種不科學(xué)不規(guī)范的教學(xué)方式,其次是對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分類整理,形成一般的計算過程,通過多次的練習(xí)強(qiáng)化,達(dá)到對知識的真正掌握.

通常,對于分式相乘,可以分成兩類.

1.分子分母都是單項(xiàng)式.

這種情況直接約分,系數(shù)和系數(shù)約,相同的字母相約(即找“相同”).這種類型的題結(jié)構(gòu)簡單,涉及的知識少,學(xué)生很快就可以掌握了.

2.分子或分母中有多項(xiàng)式.

這種情況就不能簡單的找“相同”了,否則就會出現(xiàn)上述兩位學(xué)生的錯誤.根據(jù)約分定義中“公因式”的要求,首先要將多項(xiàng)式變成“因式”,即是要分解因式.所以,可以用三個步驟解決這個問題.

第一步：分解因式.

對分子或分母是多項(xiàng)式的必須要分解因式,不能分解的添括號視作一個整體.目的是向?qū)W生強(qiáng)調(diào),多項(xiàng)式不分解因式不能約分,杜絕上述錯誤的約分.

第二點(diǎn)：約分.

找相同的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式約分,即找“相同”.因?yàn)橛辛饲耙徊椒纸庖蚴阶鞅Ｕ?這里的找“相同”就是找相同的公因式.

第三步：相乘.

把分式乘法規(guī)范成三步走有積極作用.一是固定步驟,有利于學(xué)生做題有依據(jù),每步做什么心里有底有自信,不會迷茫不安,遇到困難也能知道該做什么.二是強(qiáng)調(diào)過分解因式,強(qiáng)化因式和公因式的概念,保證約分遵守法則.三是簡化運(yùn)算,先約分再相乘可以降低計算難度,提高準(zhǔn)確率.

二、分式加減時公分母取值過大.

學(xué)生的典型錯誤：

解

筆者認(rèn)為,異分母分式加減運(yùn)算同樣可以采用分類分步的方法進(jìn)行教學(xué).

第一步：對分母分解因式,然后按照“沒有的要送,不夠的要補(bǔ)”的原則寫出最簡公分母.

我們來對比一下課本對尋找公分母的方法的描述：

①如果各分母都是單項(xiàng)式,那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù),相同字母的最高次冪,所有不同字母都寫在積里.

②如果各分母都是多項(xiàng)式,就可以將各個分母因式分解,取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù),凡出現(xiàn)的字母(或含字母的整式)為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪.

這樣的描述太過于呆板,枯燥無味,而口訣“沒有的要送,不夠的要補(bǔ)”就顯得朗朗上口,目標(biāo)更加明確,學(xué)生更易操作.這一切都是建立熟練掌握在上一章《分解因式》的基礎(chǔ)上,印證了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個環(huán)環(huán)相扣,循序漸進(jìn)的過程,誰都不能厚此薄彼,掉以輕心.

第二步：通分.

第三步：加減.

分式的加減核心問題就在通分,通分這關(guān)過了,分式加減也就過關(guān)了,所以在尋找最簡公分母的時候切不可貪圖方便,直接把分母相乘作公分母,而不考究最簡公分母.其實(shí)我們只用一個口訣就使得一個難點(diǎn)變得不那么難了.

三、分式與整式加減添括號不變號.

學(xué)生的典型錯誤：

解

錯誤分析：學(xué)生在進(jìn)行運(yùn)算時利用了整體思想,對x+1添加了括號看作一個整體,卻忘記了添括號和去括號一樣,要遵守去括號法則的.

筆者對本例題的做了對比教學(xué)：

解法一對x+1添加括號看作一個整體,并按去括號法則變號,解題過程如下：

解

解法二將x+1看作兩個整式,分別通分：

解

筆者在A、B兩個班都講授了兩種方法,并在黑板上特意用紅色粉筆寫上大大的“注意變號”,還讓學(xué)生點(diǎn)評了兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn).課后作業(yè)時,對A班要求他們選擇自己喜歡的方法做,對B班要求他們只能用第二種方法做.

第二天,課前小測：

A班49人有31人選擇第一種方法,其中27人錯在沒變號,僅僅只有4人做對;有18人選擇第二種方法,做對15人(有3人基礎(chǔ)實(shí)在太差,已經(jīng)完全跟不上了).

B班50人有49人都是用第二種方法,其中做對41人;有1人選擇了第一種方法,同樣錯在沒變號.

兩個班的比較或者存在片面性,當(dāng)筆者與同年級的數(shù)學(xué)教師溝通時,他們的學(xué)生出現(xiàn)的問題和A班是一樣的.所以建議在教學(xué)上,教師應(yīng)該向?qū)W生顯現(xiàn)兩種方法并引導(dǎo)學(xué)生比較優(yōu)劣,最后要求學(xué)生采取更少出錯的第二種方法.

四、分式與分式方程計算步驟混淆.

解

解

經(jīng)檢驗(yàn),x=1是原分式方程的增根.

錯誤分析：學(xué)生在計算例(1)異分母加減通分時,思路串到解分式方程的去分母,在計算例(2)解分式方程去分母時,思路串到異分母加減的通分.

當(dāng)學(xué)生學(xué)完解分式方程之后,經(jīng)常將解分式方程和前面的分式加減運(yùn)算混淆,根本的原因是計算步驟和對應(yīng)運(yùn)算法則不熟練.前期可以通過一段時間的強(qiáng)化訓(xùn)練,天天做對比題;后期滾動練習(xí)加強(qiáng)記憶,化解串解問題.

一個方法不可能解決所有的問題.同樣在分式的運(yùn)算以及以后的運(yùn)算中,還會出現(xiàn)這樣的問題那樣的問題.教學(xué)的魅力就是在發(fā)現(xiàn)問題,分析問題,解決問題,總結(jié)經(jīng)驗(yàn)的過程中不斷提高自己,升華自己.