(上海同豐工程咨詢有限公司，上海 200444)

0 引言

梁拱組合體系橋成橋狀態(tài)包括成橋內力狀態(tài)和成橋位移狀態(tài)，合理的成橋內力狀態(tài)要求吊桿受力均勻，并充分發(fā)揮拱的受壓特性及梁的受彎特性；合理的成橋位移狀態(tài)要求成橋線形平順，達到設計要求。吊桿力作為設計變量，決定著拱梁結構的成橋狀態(tài)。梁拱組合體系橋吊桿力確定的方法與斜拉橋合理索力確定的方法是相似的[1,2]，目前，確定梁拱組合體系橋合理成橋吊桿力的目標函數大多選擇彎曲能量，而衡量結構受力性能的好壞不能用單一的目標來表示，需要綜合考慮多種目標。文獻[3]以彎曲能量最小來初定成橋狀態(tài),再以主梁成橋恒載彎矩可行域作為約束,綜合考慮索力的均勻性以及拱梁的受力情況，適當調整索力，得到合理成橋狀態(tài)。文獻[4]中運用無約束優(yōu)化法最小化彎曲能量，得出一組不均勻的吊桿力，再通過最小二乘法均勻化這組吊桿力。文獻[5]是以極小化結構的彎曲能量為目標，考慮彎矩、位移、吊桿內力的約束條件，得到合理成橋狀態(tài)的吊桿力。一般來說，系桿拱橋(柔梁剛拱)基本上是以主梁的線形或彎矩為目標，對于剛梁剛拱、剛梁柔拱體系而言，主梁承擔彎矩的能量較強，如果僅僅以主梁的彎矩或彎曲能量為優(yōu)化目標顯然不是那么合理的[6]。但是對于剛拱剛梁來說，如果主梁、拱肋承擔彎矩的能力都比較強，這時目標函數中梁拱彎曲能量比重的確定可根據相應工程的實際情況具體分析。

本文以長沙市福元路湘江大橋主橋(提籃式鋼拱-結合梁組合體系橋)為工程背景來說明目標函數中梁拱彎曲能量所占比重的選擇原則，并且在考慮成橋預抬值的基礎上，通過約束吊桿力的上下限，并以彎曲能量和吊桿力的均勻性為目標函數，運用多目標非線性規(guī)劃法中的模糊數學求解法，確定成橋狀態(tài)下吊桿力。

1 工程概況

長沙市福元路湘江大橋主橋為提籃式鋼拱-結合梁組合體系橋，主梁連續(xù)，3跨(東跨、中跨、西跨)支承于V墩上，支承跨徑組合為188 m+22 m+188 m+22 m+188 m，橋面縱面設計線形為半徑110 000 m的圓曲線。單跨主拱計算跨徑188 m，內傾12°，立面矢高43.784 m，拱軸線在立面內和平面內的投影均為拋物線；拱肋截面為矩形，寬2.2 m，高3.2 m；兩肢拱肋之間每跨設7 道矩形風撐。主梁為等高截面鋼-混凝土結合梁，全寬38.5 m，全高4.5 m。主梁鋼結構部分為主縱梁、中橫梁、端橫梁、小縱梁組成的雙主梁梁格體系；主縱梁截面形狀接近平行四邊形，中心高3.944 m，腹板間距2.2 m，兩肢頂板中心距28.6 m；橋縱向每間隔4.25 m設置一道橫梁，每兩道橫梁之間設置兩道小縱梁。主梁混凝土結構部分含預制橋面板及其縱、橫向濕接縫。主梁鋼結構部分施工完成后鋪設預制橋面板，現(xiàn)澆縱、橫向濕接縫形成結合主梁。鋼拱梁材料主要采用Q345qD。吊桿每跨19對，每跨吊桿自西向東依次編號為：HW9、HW8、…、HW1、H0、HE1、HE2、…、HE9。水平系桿每肢主縱梁箱內各布置6根。主橋橋型布置見圖1。

主橋總體施工方案為：首先，采用頂推法將鋼拱-鋼梁組合結構(含前后導梁、臨時撐桿，無吊桿)頂推到位。其次，進行體系轉換，即落梁、安裝并張拉吊桿、拆除臨時撐桿。隨后，安裝預制混凝土橋面板、澆注橋面板濕接縫，安裝并張拉水平系桿。最后，進行附屬結構施工。

圖1 主橋橋型布置圖(單位：m)

2 合理成橋狀態(tài)的確定

2.1 確定的思路

設計者在確定合理成橋狀態(tài)一般是以成橋階段的橋梁結構為研究對象，這時合理的恒載成橋內力狀態(tài)可以按照一次成橋的方法來確定。本文所研究的梁拱組合體系橋，基本參數(如梁拱吊桿的幾何尺寸，材料參數等)都已確定，只需在此基礎上研究吊桿力對成橋狀態(tài)的影響。在前一節(jié)中以提到整體的施工方案中，吊桿的張拉是在體系轉換過程中(只包括鋼結構部分)完成的，并且吊桿的張拉與水平系桿的張拉是不在同一階段進行的，期間又有預制橋面板的鋪設和濕接縫的澆筑，水平系桿張拉時橋面板及濕接縫已參與受力，如果按照一次成橋的方法來確定成橋狀態(tài)的吊桿力，必定會不合理。這是因為如果橋面板及濕接縫作為結構來考慮時與實際不符(吊桿的張拉是在橋面板安裝之前)，如果作為荷載施加卻又沒考慮系桿張拉時橋面板及濕接縫的作用。所以本文合理成橋狀態(tài)的成橋階段模型是以體系轉換完成到最終的附屬結構施工完成這個過程作為成橋階段的研究對象。

2.2 模型的建立

采用MIDAS/CIVIL建立施工階段仿真分析有限元模型。主拱、風撐、主縱梁、橫梁采用空間梁單元模擬，其中結合主縱梁采用聯(lián)合截面，吊桿、系桿采用桁架單元模擬。橋面板采用板單元模擬，其有限元計算模型如圖2所示。

圖2 空間有限元分析模型

模型的邊界條件：各拱跨拱腳處(即V形墩各支腿頂部)均設置豎向約束，橫橋向單側設橫向約束，縱向限位支座設在PM21墩西側支腿上，其余均為縱向活動支座。

模型的計算荷載：自重、二期恒載、汽車荷載(六車道，考慮橫向布置以及縱、橫向折減)、人群荷載，溫度荷載(整體升降溫按混凝土+28.2 ℃，-32.5 ℃，鋼+38.2 ℃，-42.5 ℃取值；梯度溫差按照《公路橋涵設計通用規(guī)范》(JTG D60-2004)相關規(guī)定取值)。

在考慮上述荷載基礎上，合理成橋狀態(tài)優(yōu)化計算目標為：

1)成橋時彎曲應變能盡可能??；

2)吊桿力均勻；

3)成橋狀態(tài)恒載+1/2不利活載作用下各跨主縱梁關鍵點(各吊桿位置對應的主縱梁節(jié)點)位置達到設計成橋線形。

根據大橋的施工特點，在忽略頂推結構無應力線形成形誤差的情況下，結構的最終受力可以從頂推架設完成開始計算直到最終成橋而得，而不考慮頂推完成前的施工過程。其主要模擬過程如表1。

表1 施工階段的劃分施工階段施工內容CS1頂推完成CS2體系轉換(含落梁、撐壓桿拆除及吊桿的張拉)CS3吊桿力的調整(該階段又分為多個工序，每個工序僅調整一根吊桿的吊桿力，Xi為這根吊桿力的調整量)CS4預制橋面板安裝，只施加預制橋面板荷載CS5橋面板濕接縫澆筑，只施加濕接縫的荷載CS6形成結合梁CS7水平系桿安裝并張拉CS8附屬結構施工，施加橋面鋪裝、欄桿等構件的荷載CS9成橋，施加1/2不利活載

2.3 以彎曲能量為目標的吊桿力優(yōu)化

由于吊桿力的張拉是在安裝預制橋面板之前完成的，因此本文所有影響矩陣是在CS3階段(見表1)提取的，并以CS9階段的內力、線形狀態(tài)作為目標來確定合理的成橋狀態(tài)。CS9階段結構的彎曲應變能[7]可以寫成：

U=C0+{LM0}T[B][CL]{X}+

{X}T[CL]T[B]{LM0}+

{X}T[CL]T[B][CL]{X}+

{RM0}T[B][CR]{X}+

{X}T[CR]T[B]{RM0}+

{X}T[CR]T[B][CR]{X}=

C0+2{LM0}T[B][CL]{X}+

2{RM0}T[B][CR]{X}+

{X}T[CR]T[B][CR]{X}=

(1)

式中：[B]為對角矩陣，其對角線元素bii=li/4EiIi;li、Ei、Ii分別表示第i號單元的桿件長度、材料彈性模量和截面慣性矩；LM0、RM0分別表示CS7階段調索前單元左、右端彎矩向量；{X}為索力改變量的向量，即CS3階段吊桿力的調整量；[CL]、[CR]分別為索力對左、右端彎矩的影響矩陣；C0是與{X}無關的常數。

(2)

式中：{Tu}、{TL}分別為索力上、下限；{T0}為CS6階段調索前的索力向量；[CT]為索力的影響矩陣。

于是，彎曲能量的最小化問題式(3)就可轉化為一個二次規(guī)劃問題的標準形式來求解。

(3)

運用MALAB優(yōu)化工具箱求解以上最小值問題即得到最優(yōu)解f1及所對應的{X1}。

2.4 雙目標吊桿力的模糊優(yōu)化

2.4.1 吊桿力均勻性的目標函數

成橋狀態(tài)是否合理的目標之一就是看索力是否均勻，對于索力不均勻的情況，通常使用最小二乘法來均勻索力[8]，以下確定吊桿力均勻性目標函數的過程。

恒載工況(CS8階段，見表1)下成橋狀態(tài)的吊桿力表示為：

{T}={T0}+[CT]{X}

按照索力均勻性的優(yōu)化目標，單跨優(yōu)化的目標函數可以寫成：

令T0i、T0j為{T0}向量的第i行和第j行，CTi、CTj為索力影響矩陣[CT]的第i行和第j行，則:

令{P}=(P1，P2，…，Pm)T為{T0}向量各行相減所得的向量;{Q}=(Q1，Q2，…，Qm)T為索力影響矩陣[CT]各行相減所得的矩陣，m=n×n=19×19=361。P0是與{X}無關的常數:

于是，對索力上下限也進行約束，索力均勻的優(yōu)化問題式(4)就可轉化為一個二次規(guī)劃問題的標準形式來求解。

(4)

運用MALAB優(yōu)化工具箱求解以上最小值問題即得到最優(yōu)解f2，如果只均勻化吊桿力，并且只考慮吊桿力上下限的約束條件，就會得出最優(yōu)解f2=0，即每根吊桿的力都相等，并且成橋狀態(tài)吊桿力與調索前的吊桿力有關，得到成橋狀態(tài)的受力情況也不是很合理。一般而言，不能單以均勻化吊桿力為目標來確定成橋狀態(tài)。

2.4.2 雙目標函數吊桿力確定的模糊數學解法

多目標非線性規(guī)劃是多目標最優(yōu)化理論的重要組成部分，由于多個目標之間的矛盾性和不可公度性，要求使所有目標均達到最優(yōu)解是不可能的，它的最優(yōu)解不唯一，是由有效解集合給出的，需要建立一個準則，才能評價解的最優(yōu)性。本文以2個目標函數為例采用模糊數學求解法求解。

在各約束條件下，目標模糊優(yōu)化考慮了決策者對各目標趨于合理的滿意程度的主觀意愿，以及從絕對滿足到絕對不滿足之間存在中間過渡等模糊因素，可使設計更加合理和符合實際。合理成橋狀態(tài)的優(yōu)化具有多目標、多參數的特點，通過對合理成橋狀態(tài)的總體性能進行模糊優(yōu)化，使各目標協(xié)調統(tǒng)一起來，求解多目標的“滿意解”。以彎曲能量最小確定出來的吊桿力一般都不均勻，所以在極小化彎曲能量的同時，要兼顧吊桿力的均勻性，雙目標非線性規(guī)劃的數學模型可表示為M1：

多目標模糊數學求解方法建模的關鍵在于隸屬函數確定，在滿足所有約束條件的前提下，考慮吊桿力相對均勻，彎曲能量越小越好，可選擇梯形隸屬函數(降半直線形作為隸屬函數，見圖3)，目標隸屬函數可分別用式(5)、式(6)表示。

(5)

(6)

圖3 彎曲能量最小和均勻化吊桿力隸屬函數曲線

式(5)、式(6)中f1、f2分別為在彎曲能量單目標優(yōu)化和吊桿力均勻性單目標優(yōu)化的目標值，在此基礎上確定目標函數論域；d1、d2為縮放因子，根據實際情況來取值，本文中偏重彎曲應變能，d1就盡量取小，當d1=0時就退化為以彎曲應變能最小為目標的求解。優(yōu)化目標是彎曲能量盡量小的條件下考慮吊桿力的均勻性，d1可先取50%f1，d2可根據當{X}={X1}的f2(X1)值適當地減小來確定。

M1問題可轉化為滿足2個目標及所有約束條件的隸屬度問題即滿意度λ最大化問題，確定吊桿力雙目標模糊優(yōu)化模型M2為：

maxλ

s.t.λ≤u(f1(X))

λ≤u(f2(X))

0≤λ≤1

將式(5)、式(6)分別代入模型M2，可把M2問題轉化為下述單目標問題M3：

min -λ

s.t.f1(X)+d1λ≤f1+d1

f2(X)+d2λ≤f2+d2

0≤λ≤1

此問題就轉化為求解一般有約束非線性規(guī)劃的最優(yōu)解問題，可以借助MATLAB中的fmincon函數進行求解。

2.5 計算結果

2.5.1 目標函數中梁拱彎曲能量比重的確定

福元路湘江大橋平均拱梁剛度比E拱I拱/E梁I梁≈1/2，屬于剛拱剛梁。本文選取吊桿力的均勻性和彎曲能量作為目標函數，前面已經提到對于剛拱剛梁一般是選取主拱和主梁的彎曲能量作為目標函數，下面根據本文的工程背景、以中跨彎曲能量最小為目標來說明目標函數中梁拱彎曲能量比重的確定。

由式(3)可確定以不同構件的彎曲能量最小時成橋狀態(tài)吊桿力，可分別得到此成橋狀態(tài)下主拱、主梁的彎曲能量及主梁跨中節(jié)點位移(相對于設計線形)。主拱彎曲能量用UG表示，主梁的彎曲能量用UL表示，ζ表示加權系數，式ζUG+UL表示以ζ倍主拱彎曲能量與主梁彎曲能量之和為目標函數。不同加權系數下彎曲能量最小時的成橋狀態(tài)如表2所示。

表2 不同加權系數的成橋狀態(tài)目標函數加權系數ζ主拱的彎曲能量/J主梁的彎曲能量/J彎曲能量之和/J主梁跨中節(jié)點位移/mmUG╲1045698457108913-2072 5198361592235758-592 0215241215133665-461 523713833632049-31ζUG+UL1 324775685131626-251 026624473331357-130 53062217903241290 33266397833641190 1350755043557931UL╲364904343692437

本文1/2不利活載所引起的中跨主梁跨中節(jié)點預抬值為37 mm，即在恒載+1/2不利活載作用下主梁的線形趨近于無應力線形。從表2可知，加權系數ζ越大相應的拱的彎曲能量就越小，反之就越大。單從彎曲能量而言，可以認為拱、梁分配的彎曲能量接近1∶1比較合適，即彎曲能量在各構件之間分配均勻，ζ<2.5時拱、梁彎曲能量之和變化不大，在12%以內。主梁線形則可以通過拼裝過程中設置預拱度來實現(xiàn)，這樣不管是成橋受力狀態(tài)還是成橋線形狀態(tài)都會比較合理，而且如果拱肋的彎曲能量所占比重越大，設置的拼裝預拱度就會越大。

根據設計的要求，主拱、主梁都不設置預拱度。由于本橋采用頂推架設方法，主梁的設計線形和頂推路徑均為110 000 m的圓曲線，設置拼裝預拱度會對頂推過程中的受力產生不利影響，并且不管是從施工的角度還是從施工控制的角度來看，拼裝預拱度的設置會加大工作量、影響工期、控制起來更加復雜。再者主拱、主梁的安全系數都較大，所以本文選擇主梁的彎曲能量作為目標函數進行優(yōu)化分析。

2.5.2 合理的吊桿力分析

以主梁彎曲能量最小為目標和以雙目標優(yōu)化分析的吊桿力結果見圖4(限于篇幅以中跨為例)。

圖4 中跨恒載狀態(tài)下成橋吊桿力

比較2次優(yōu)化后的主梁、主拱彎矩結果、主梁彎曲能量及位移結果如圖5～圖8所示。

圖5 中跨恒載狀態(tài)下成橋主梁彎矩

圖6 中跨恒載狀態(tài)下成橋主拱彎矩

圖7 主縱梁彎曲能量

圖8 中跨恒載狀態(tài)下成橋預抬值

由以上結果可知，以主梁彎曲能量最小為目標優(yōu)化分析時，雖然主梁彎曲能量比較小，但是吊桿力分布卻不均勻，且邊吊桿的吊桿力過大。而以雙目標優(yōu)化時吊桿力均勻性得到了顯著改善，主梁預抬值變化很小，主拱、主梁彎矩分布都比較均勻，除靠近拱腳處的彎矩(其彎矩值相對于跨中彎矩的差值都很小)變化較大外，其他截面的彎矩變化值都比較小，說明吊桿力均勻化及約束條件使得全橋能量在各構件之間的分配有所改變，總體來說，雙目標優(yōu)化對主縱梁的彎曲能量有一定的劣化，增大約17%，但是對結構的受力影響很小。由圖7可以看出通過考慮恒載+1/2最不利活載引起的彎曲應變能，最終成橋時主縱梁預拱度都基本達到了目標值，且雙目標模糊優(yōu)化后主梁關鍵位置位移值的變化較小。

3 成橋狀態(tài)的檢驗

在吊桿力確定之后，要檢驗在該吊桿力作用下橋梁結構的整體受力情況。除考慮了恒載作用外，還考慮了收縮徐變、溫度荷載、汽車荷載、人群荷載、基礎變位對結構的影響，相關荷載組合及其組合系數參照《公路橋涵設計通用規(guī)范》(JTG D60-2004)。其計算結果如圖9、圖10。

從圖9、圖10中可以看出，主縱梁截面最大拉應力154 MPa，最大壓應力249 MPa，都是出現(xiàn)在與拱腳相接位置；除拱腳局部出現(xiàn)較大的壓應力外，其他截面的壓應力都比較小，最大為34 MPa，至于梁拱結合段受力情況，需進一步借助細部分析。主拱以受壓為主，無拉應力區(qū)域出現(xiàn)，其最大壓應力為239 MPa，主拱、主梁的最大應力均未超出鋼材容許應力。

圖9 主拱應力包絡圖

圖10 主梁應力包絡圖

4 結論

1)本章以體系轉換完成后到最終成橋作為成橋階段的計算模型，基于雙目標模糊優(yōu)化模型解法，同時以彎曲能量和吊桿力的均勻性為目標函數，建立梁拱組合體系橋吊桿力優(yōu)化的模型，并運用MATLAB對該模型進行求解，得出了吊桿力優(yōu)化結果。其結果顯示結構的受力、線形都趨于合理，滿足設計規(guī)范要求。

2)單以彎曲能量或者吊桿力的均勻性作為目標得到的成橋狀態(tài)并不很合理，用單一的目標控制都有其局限性，往往并不能得到滿意結果，需要多次優(yōu)化。而根據橋型自身的特點合理選擇多個需要優(yōu)化的目標和約束條件，運用多目標的規(guī)劃算法可以求得合理、有效的結果。

3)通過成橋狀態(tài)的檢驗可以看出確定出的吊桿力是合理的，因此本文選取的目標函數是合理的，并且為了降低施工難度和施工控制的難度，主梁和主拱不設置拼裝預拱度是可行的。同時對于拱梁剛度都較大的結構，目標函數中梁拱彎曲能量比重應根據相應工程的實際情況來確定。

[1] 肖汝誠,項海帆.斜拉橋索力優(yōu)化及其工程應用[J].計算力學學報,1998,15(1): 118-126.

[2] 楊俊.基于影響矩陣的大跨橋梁合理成橋狀態(tài)與施工控制研究[D].武漢:武漢理工大學,2008.

[3] 朱穎,李傳習.紅港大橋合理成橋狀態(tài)及吊桿索力的確定[J].長沙理工大學學報(自然科學版)，2010(3):31-35,84.

[4] 于洋.斜跨拱橋合理成橋索力的優(yōu)化方法[D].大連:大連理工大學,2009.

[5] 劉釗.基于能量法的系桿拱橋最優(yōu)吊桿內力的確定[J].工程力學,2009(8):168-173.

[6] 易云餛.梁拱組合體系設計理論關鍵問題研究[D].上海:同濟大學，2007.

[7] 項海帆,姚玲森.高等橋梁結構理論[M].北京：人民交通出版社,2010.

[8] 周炎新.確定斜拉橋合理成橋狀態(tài)的綜合方法研究[D].西安:長安大學，2002.