陳煥瓊

[摘 要] 數(shù)學(xué)學(xué)科中的變式往往通過(guò)問(wèn)題情境或思維角度的不斷變化使得事物的非本質(zhì)屬性不斷遷移與變化，但其本質(zhì)屬性保持不變. 暴露過(guò)程與啟迪思維是數(shù)學(xué)教學(xué)中尤為重要的環(huán)節(jié)，教師在這一過(guò)程中應(yīng)遵循學(xué)生的參與性原則，將學(xué)生真正引入探尋數(shù)學(xué)奧妙的殿堂，通過(guò)教師的“變”引導(dǎo)與啟發(fā)學(xué)生的“變”.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；過(guò)程性思考；變式教學(xué)；三角形三邊關(guān)系

作為我國(guó)傳統(tǒng)教學(xué)精華的變式教學(xué)概括了中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要特征，通過(guò)變化使題中的不變因素更為突出是變式教學(xué)的核心，學(xué)生也因此得以更好地掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)與解題的思想方法. 課程標(biāo)準(zhǔn)在知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決以及情感態(tài)度各方面所闡述的課程目標(biāo)都給變式教學(xué)賦予了新的內(nèi)涵，目標(biāo)達(dá)成的同時(shí)也創(chuàng)造了新的可能. “過(guò)程性”是初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容呈現(xiàn)時(shí)所具備的最大特征，過(guò)程性變式也正因此成為課程目標(biāo)實(shí)施與達(dá)成的有效途徑之一.

數(shù)學(xué)變式教學(xué)

從心理學(xué)的角度來(lái)看，變式是一個(gè)揭示事物本質(zhì)屬性的過(guò)程，其本質(zhì)屬性往往依賴非本質(zhì)屬性因不同角度、方面以及方式變化而達(dá)成. 數(shù)學(xué)學(xué)科中的變式往往通過(guò)問(wèn)題情境或思維角度的不斷變化使得事物的非本質(zhì)屬性不斷遷移與變化，但其本質(zhì)屬性保持不變.

數(shù)學(xué)教學(xué)包含陳述性知識(shí)與程序性知識(shí)這兩部分內(nèi)容的教學(xué)，前者指概念，后者指的是過(guò)程. 靜止的概念性變式對(duì)于程序性知識(shí)的形成、發(fā)生與發(fā)展是無(wú)法真正起到積極作用的. 概念性變式指的是數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的揭示，過(guò)程性變式則是知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過(guò)程的揭示.

變式教學(xué)是教師引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)、探索，并因此總結(jié)出事物“不變”本質(zhì)的過(guò)程，此過(guò)程中一般會(huì)有所改變的是概念的非本質(zhì)特征、問(wèn)題的條件或結(jié)論，以及轉(zhuǎn)換問(wèn)題的形式或內(nèi)容等. 傳統(tǒng)意義上的變式雖然對(duì)學(xué)生主動(dòng)性學(xué)習(xí)的引導(dǎo)以及科學(xué)思維的構(gòu)建能夠產(chǎn)生積極的意義，但是很多時(shí)候?qū)τ谧兪街小白儭钡钠鹨蛞约啊白儭钡倪^(guò)程往往都沒(méi)有加以足夠的重視. 事實(shí)上，“變”的起因、“變”的方法以及“變”的方向這三大內(nèi)容都是數(shù)學(xué)課程理念下變式教學(xué)的核心，過(guò)程性的變式只有這樣才能真正促使課程目標(biāo)的順利達(dá)成.

數(shù)學(xué)變式的過(guò)程性思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》早就明確提出了重視數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象、模型構(gòu)建、結(jié)果探尋以及問(wèn)題解決全過(guò)程的要求. “過(guò)程性變式”正是在這一過(guò)程中所采用的策略. 教師在開(kāi)放度較大的“過(guò)程性變式”中可以將相互聯(lián)系的素材不斷進(jìn)行組合變式并引導(dǎo)學(xué)生解決，使得知識(shí)發(fā)生、生成與發(fā)展在縱橫交錯(cuò)的聯(lián)系中形成. 學(xué)生在參與和體驗(yàn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)以及變化的過(guò)程中自然興趣倍增，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)在不斷的鍛煉與刺激中得到優(yōu)化. 由此可見(jiàn)，暴露過(guò)程與啟迪思維是數(shù)學(xué)教學(xué)中尤為重要的環(huán)節(jié)，教師在這一過(guò)程中應(yīng)遵循學(xué)生的參與性原則將學(xué)生真正引入探尋數(shù)學(xué)奧妙的殿堂. 通過(guò)教師的“變”引導(dǎo)與啟發(fā)學(xué)生的“變”，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)鍛煉出一定的變式技巧與解題技巧，順應(yīng)“應(yīng)用——理解——形成技能——培養(yǎng)能力”的認(rèn)知過(guò)程與客觀規(guī)律并最終使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與創(chuàng)新能力不斷攀升.

學(xué)生在過(guò)程性變式的學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠比較清晰地理順不同概念之間的層次關(guān)系，獨(dú)立解題能力也會(huì)因?yàn)樽兪接?xùn)練的推進(jìn)而提高. 教師與學(xué)生的互動(dòng)隨著變式教學(xué)的推進(jìn)也越發(fā)顯得親密，學(xué)生在積極參與各個(gè)變式的整個(gè)過(guò)程中不斷探索并逐步構(gòu)建起豐滿的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng). 其具體應(yīng)用環(huán)節(jié)如下：①概念的形成過(guò)程，②數(shù)學(xué)對(duì)象與背景的轉(zhuǎn)換過(guò)程，③數(shù)學(xué)命題的形成過(guò)程，④數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程.

著名數(shù)學(xué)教育家顧憐沉先生曾經(jīng)圍繞“除法就是分豆子”“等腰三角形的判定”“勾股定理能被學(xué)生探究出來(lái)嗎”這三個(gè)課題進(jìn)行逐層深入的教學(xué)設(shè)計(jì)與研學(xué)推進(jìn)，學(xué)生也因此獲得了脈絡(luò)分明的層次性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，過(guò)程性變式的功能在此過(guò)程中也得到充分凸顯.

蘇聯(lián)教育家加里寧很早就說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維的體操”這句話. 事實(shí)上，學(xué)生思維素質(zhì)的培養(yǎng)確實(shí)離不開(kāi)解題這一智力活動(dòng)的有效實(shí)施，知識(shí)的起源、形成、發(fā)展以及過(guò)程中所包含的推理等都是通過(guò)解題一步一步、一個(gè)一個(gè)實(shí)現(xiàn)的. 接下來(lái)以具體的案例來(lái)說(shuō)明過(guò)程性變式教學(xué)對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)優(yōu)化所起的獨(dú)特作用.

案例研究

案例：三角形三邊關(guān)系定理

教師可以圍繞此定理進(jìn)行一系列三角形問(wèn)題的設(shè)計(jì)，在引導(dǎo)學(xué)生變式與解決中達(dá)到鞏固知識(shí)點(diǎn)以及加深概念理解的目的.

問(wèn)題如下：一等腰三角形中腰長(zhǎng)是5，底邊長(zhǎng)是6，求周長(zhǎng).

學(xué)生很快獲解，周長(zhǎng)為16.

教師適時(shí)提出變更概念非本質(zhì)特征的要求，引導(dǎo)學(xué)生嘗試改變問(wèn)題的條件與結(jié)論，學(xué)生思考如下：

變式1：一等腰三角形中腰長(zhǎng)是5，周長(zhǎng)是16，求底邊長(zhǎng).

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)是否可以置換，由此得到變式2：一等腰三角形的一邊長(zhǎng)是5，另一邊長(zhǎng)是6，求周長(zhǎng).

變式2的出現(xiàn)使得問(wèn)題相對(duì)復(fù)雜，簡(jiǎn)單的一次求解已經(jīng)不能完全滿足題意. 教師此時(shí)應(yīng)該趕緊抓住學(xué)生思維拓展的契機(jī)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)字進(jìn)行變式.

變式3：已知一等腰三角形，一邊長(zhǎng)為5，另一邊長(zhǎng)為16，求周長(zhǎng).

變式3的出現(xiàn)使得學(xué)生很快將之與變式2進(jìn)行了比較，學(xué)生也很快發(fā)現(xiàn)數(shù)字的改變使得解題的方法也產(chǎn)生了改變，解題不難. 變化至此，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行形式與內(nèi)容上的轉(zhuǎn)換.

變式4：已知一等腰三角形，腰長(zhǎng)為x，設(shè)其底邊長(zhǎng)為y，則y的取值范圍如何？

問(wèn)題的外延隨著問(wèn)題向函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化而擴(kuò)大，解題要求隨之變高，教師在學(xué)生獨(dú)立解題的基礎(chǔ)上繼續(xù)推出變式.

變式5：已知一等腰三角形，腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，周長(zhǎng)為16，兩者之間函數(shù)關(guān)系式如何？請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)內(nèi)畫(huà)出其圖像.

問(wèn)題一步一步地變化使得初中數(shù)學(xué)的“綱”——函數(shù)得以展露，平面直角坐標(biāo)系也被聯(lián)系于變化之中，數(shù)形結(jié)合的思想方法在這有意義的變式中得到了很好的滲透.

簡(jiǎn)析

1. 一個(gè)簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題一步一步地由具體變得抽象. 教師在“以學(xué)生為主體”理念的引領(lǐng)下與學(xué)生展開(kāi)互動(dòng)，并使得學(xué)生在遞進(jìn)式的變式過(guò)程中將一個(gè)個(gè)問(wèn)題圓滿地解決，“質(zhì)的飛躍”也在問(wèn)題的變式及解決中得以真正實(shí)現(xiàn). 函數(shù)變量的出現(xiàn)使得問(wèn)題由特殊變得一般，最后畫(huà)圖這一環(huán)節(jié)使得數(shù)學(xué)思想方法的滲透變得更加水到渠成，三角形三邊關(guān)系定理在整個(gè)過(guò)程性變式教學(xué)中得到了進(jìn)一步的深化. 對(duì)照三角形三邊關(guān)系定理的深入學(xué)習(xí)、理解以及鞏固這一預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo)，整個(gè)過(guò)程顯得圓滿.

2. 從學(xué)生思維發(fā)展的軌跡這一角度來(lái)進(jìn)行整個(gè)變式教學(xué)的分析，不難發(fā)現(xiàn)變式1是對(duì)學(xué)生逆向思維能力的鍛煉；變式2中增添了分類討論的思想與內(nèi)容，解題思考時(shí)應(yīng)做出一定思維策略的改變，分類思想這一重要的數(shù)學(xué)思想方法在此變式過(guò)程中得到了很好的滲透；變式3中將“5”與“16”比較分析，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊這一定理可得“5”肯定是底邊長(zhǎng)，學(xué)生思維嚴(yán)密性得到鍛煉的同時(shí)還鞏固了三角形三邊關(guān)系定理的掌握與運(yùn)用；變式4的要求更高，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生搞清楚問(wèn)題解決的關(guān)鍵在于對(duì)題中條件0

3. 學(xué)生在變式中的思維活動(dòng)能使他們對(duì)于事物的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性產(chǎn)生更好的理解與區(qū)分. 過(guò)程性的變式教學(xué)使得學(xué)生思維定式的形成、突破與轉(zhuǎn)變都變得更加輕松，思維的靈活性與嚴(yán)謹(jǐn)性同時(shí)在變式教學(xué)中得到了有力的提高，探索與思考的意味充斥其中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)在潛移默化中提升.