□ 鄭毓信

如果單從形式上進(jìn)行分析，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)應(yīng)當(dāng)說(shuō)與自然數(shù)和小數(shù)的認(rèn)識(shí)十分類(lèi)似，從而似乎也不會(huì)有特別的困難；但任一稍有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師都知道，這又正是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)最困難的論題之一。例如，有評(píng)論者就曾針對(duì)“單位，讓分?jǐn)?shù)更好玩”這樣一個(gè)論題發(fā)出如下的感嘆：“在我的印象中，小學(xué)時(shí)學(xué)分?jǐn)?shù)并沒(méi)有好玩的感受，有的是‘要命’的感受。”（彭剛）

進(jìn)一步說(shuō)，這顯然也是現(xiàn)行各種小學(xué)數(shù)學(xué)教材中何以將“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”分成“初步認(rèn)識(shí)”與“再認(rèn)識(shí)”這樣兩個(gè)部分的主要原因。但從研究的角度看，這恰又為我們提出了一些值得深入思考的問(wèn)題：分段進(jìn)行“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的教學(xué)是否真有道理？什么又是進(jìn)行區(qū)分的主要依據(jù)，包括不同階段的主要區(qū)別與聯(lián)系，特別是我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去理解這里所說(shuō)的“初步認(rèn)識(shí)”與“再認(rèn)識(shí)”的具體含義？

進(jìn)而，即使未作深入的思考，相信大多數(shù)讀者面對(duì)上述問(wèn)題也一定會(huì)想到這樣一個(gè)事實(shí)，即分?jǐn)?shù)意義的多樣性。從而，這也就是我們應(yīng)當(dāng)深入思考的又一重要問(wèn)題：在分?jǐn)?shù)的教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)如何去處理所說(shuō)的“多”與“一”之間的關(guān)系？

筆者在此強(qiáng)調(diào),這是國(guó)際教育界關(guān)于教師工作的一個(gè)新定位：“作為研究者的教師”。因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)積極的教學(xué)研究我們才能更有效地促進(jìn)自身的專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)，包括不斷改進(jìn)自己的教學(xué)，而不是始終處于被動(dòng)地向別人學(xué)習(xí)乃至純粹的“被運(yùn)動(dòng)”的地位。又由于這正是一切真正的研究工作的共同特點(diǎn)，即以“問(wèn)題”作為直接出發(fā)點(diǎn)，因此，這也就是一線(xiàn)教師如何通過(guò)積極的教學(xué)研究促進(jìn)自身的專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)，包括切實(shí)改進(jìn)教學(xué)工作最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，我們應(yīng)當(dāng)切實(shí)增強(qiáng)自身的問(wèn)題意識(shí)，通過(guò)立足實(shí)際教學(xué)工作發(fā)現(xiàn)值得深入研究的問(wèn)題。

以下就圍繞上面所提到的各個(gè)問(wèn)題對(duì)我們應(yīng)當(dāng)如何從事分?jǐn)?shù)的教學(xué)做出具體分析。①當(dāng)然，就這方面的具體教學(xué)工作而言，應(yīng)當(dāng)說(shuō)還有不少問(wèn)題需要我們深入地進(jìn)行研究，即教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)如何處理“生活知識(shí)”與“數(shù)學(xué)知識(shí)”之間的關(guān)系等。建議讀者也可對(duì)此做出自己的概括。

具體地說(shuō)，我們?cè)诖瞬环潦紫人伎迹耗銜?huì)如何去回答“什么是分?jǐn)?shù)”這樣一個(gè)問(wèn)題，特別是究竟何者又可被看成“分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)”？更進(jìn)一步說(shuō)，我們顯然還可就同一問(wèn)題做點(diǎn)調(diào)查，即以已接觸過(guò)分?jǐn)?shù)的學(xué)生為對(duì)象具體地去調(diào)查他們對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，特別是不同年級(jí)的學(xué)生對(duì)于“什么是分?jǐn)?shù)”的看法是否有很大不同？后者又是否可以被看成認(rèn)識(shí)不斷深入的具體表現(xiàn)？

在此還可提及這樣一個(gè)常見(jiàn)的做法，即面對(duì)“什么是分?jǐn)?shù)”這樣一個(gè)問(wèn)題人們往往會(huì)通過(guò)查閱一些相關(guān)的論著,特別是著名專(zhuān)家的論述去發(fā)現(xiàn)解答。但是，這又正是筆者在這方面的一個(gè)具體建議：為了促進(jìn)自身的專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)，包括切實(shí)改進(jìn)自己的教學(xué)，我們?cè)谌魏螘r(shí)候都應(yīng)堅(jiān)持自己的獨(dú)立思考，而不應(yīng)盲目地去追隨各種理論觀點(diǎn)，盡管后者也為我們深入開(kāi)展相關(guān)的研究提供了重要背景。當(dāng)然，這事實(shí)上也應(yīng)被看成一線(xiàn)教師開(kāi)展教學(xué)研究的一個(gè)重要方面，即我們應(yīng)通過(guò)積極的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)真的總結(jié)和反思對(duì)各種相關(guān)的理論思想,包括自身在這方面的認(rèn)識(shí)，做出必要的檢驗(yàn)和發(fā)展。

由以下事實(shí)讀者即可更好地理解明確倡導(dǎo)后—立場(chǎng)的重要性：相關(guān)專(zhuān)家關(guān)于分?jǐn)?shù)的論述并非完全一致，有些甚至還可使問(wèn)題變得更加復(fù)雜、更加難以理解。例如，作為對(duì)于某個(gè)關(guān)于分?jǐn)?shù)的實(shí)際課例的“名家點(diǎn)評(píng)”，就有專(zhuān)家指出：“在小學(xué)階段，只要從‘算術(shù)’角度學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，不管學(xué)習(xí)什么，怎么學(xué)習(xí)，都是失敗。所以，在小學(xué)高年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，凡是從算術(shù)的角度進(jìn)行的，教學(xué)法上沒(méi)有好壞之分，因?yàn)楦静粦?yīng)該從算術(shù)角度學(xué)習(xí)！應(yīng)該從代數(shù)的角度學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)。”再如，以下的論述顯然也可被看成后一方面的又一實(shí)例：“分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于它的無(wú)量綱性”“在現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)于處理分?jǐn)?shù)的加法，有時(shí)候需要分子加分子、分母加分母?！?/p>

總之，與刻意地去尋找某種現(xiàn)成的解答相對(duì)照，筆者以為，我們應(yīng)更加重視如何能夠依據(jù)自身的經(jīng)驗(yàn)做出必要的總結(jié)與進(jìn)一步的研究。例如，我們可以借助多個(gè)不同方法去引入分?jǐn)?shù)，給出分?jǐn)?shù)的多個(gè)不同定義。如由“平均分”去引入分?jǐn)?shù)（這也就是通常所謂的“份數(shù)定義”）；強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)主要表示“整體與部分之間關(guān)系”，或是“兩個(gè)量之間的關(guān)系”（這大致相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的“比的定義”）；由“度量”去引入分?jǐn)?shù)；或是認(rèn)為應(yīng)當(dāng)突出分?jǐn)?shù)的“商的定義”（這應(yīng)當(dāng)說(shuō)與上面所提到的“作為代數(shù)概念的分?jǐn)?shù)”較為接近。當(dāng)然，后者所強(qiáng)調(diào)的又主要是這樣一點(diǎn)：我們應(yīng)當(dāng)從純形式的角度去從事分?jǐn)?shù)的研究，特別是人們之所以要引入分?jǐn)?shù)主要就是為了保證除法的通行無(wú)阻，即所謂的“封閉性”）；等等。

當(dāng)然，真正的研究工作不應(yīng)停留于簡(jiǎn)單的列舉，而是應(yīng)當(dāng)對(duì)此做出進(jìn)一步的梳理與分析。例如，容易想到的是，上面所提到的前三種理解顯然就具有重要的內(nèi)在聯(lián)系，并清楚地體現(xiàn)了認(rèn)識(shí)的不斷深化，由“平構(gòu)分”這樣的操作性理解過(guò)渡到了“量與量之間的關(guān)系”，后者已超出“部分與整體之間的關(guān)系”并獲得了更普遍的意義，包括同類(lèi)的量與不同類(lèi)的量的比較。

上述的發(fā)展過(guò)程事實(shí)上也正是現(xiàn)行教材中三年級(jí)關(guān)于分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，從而我們也就可以按照所說(shuō)的思路去從事相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)。例如，由于所說(shuō)的發(fā)展即是抽象水平不斷提高的一個(gè)過(guò)程，因此，我們就可依據(jù)所謂的“變式理論”（特別是“概念變式”）去進(jìn)行具體的教學(xué)設(shè)計(jì)。（可詳見(jiàn)另文“理論視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)——案例三則”，《小學(xué)教學(xué)》，2007年第7期）

再則，依據(jù)所說(shuō)的分析我們也可對(duì)前面所提到的關(guān)于分?jǐn)?shù)的多種不同理解做出如下概括，主要包括這樣兩種不同的含義：（1）量與量之間的關(guān)系；（2）與自然數(shù)、小數(shù)一樣，分?jǐn)?shù)也應(yīng)被看成一個(gè)數(shù)，一種新的數(shù)。容易想到的是，后者就正是現(xiàn)行教材中五年級(jí)分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)，特別是無(wú)論就“單位1”或是“分?jǐn)?shù)單位”的引入而言，都是為了很好地實(shí)現(xiàn)這樣一個(gè)目標(biāo)。

另外，我們應(yīng)將所有的分?jǐn)?shù)與自然數(shù)和小數(shù)一起看成同一數(shù)系的成員，在彼此之間更存有十分重要的內(nèi)在聯(lián)系，如大小關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系等。于是，我們顯然也只有從后一角度去進(jìn)行分析才能具體地談及相關(guān)數(shù)系對(duì)于某一運(yùn)算（如減法或除法）的封閉性。

再者，從同一角度去分析，我們也就容易理解這樣一個(gè)主張，可以借助度量去引出分?jǐn)?shù)；又由于這一做法與自然數(shù)與小數(shù)的引入十分一致，從而也就更為清楚地表明它們的內(nèi)在一致性，特別是這樣一個(gè)總體性的思想：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量。”（這方面的一個(gè)具體教學(xué)設(shè)計(jì)可見(jiàn)華應(yīng)龍的《我不只是數(shù)學(xué)》，中國(guó)人民大學(xué)出版社，2018，[例8]）

但就分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)而言，應(yīng)當(dāng)說(shuō)仍然存在這樣一個(gè)問(wèn)題：就上述兩種理解而言，后者應(yīng)當(dāng)說(shuō)更加重要乃至可以被看成更好地體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”。進(jìn)而，在教學(xué)中我們又是否應(yīng)當(dāng)特別重視如何能夠幫助學(xué)生很好地實(shí)現(xiàn)由原先的“多”向所說(shuō)的“一”的重要轉(zhuǎn)變？

由于現(xiàn)行的教材普遍采取了分段教學(xué)這樣一個(gè)做法，并將所說(shuō)的兩種理解分別安排于三年級(jí)和五年級(jí)，因此，面對(duì)上述問(wèn)題人們很容易得出這樣一個(gè)結(jié)論：“分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)”更好地體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。這一說(shuō)法也許有一定道理，但是從研究的角度看，我們并不應(yīng)將數(shù)學(xué)上的邏輯次序簡(jiǎn)單地等同于學(xué)生的認(rèn)識(shí)順序。更一般地說(shuō)，我們則應(yīng)當(dāng)更深入地去思考：所說(shuō)的安排究竟有什么優(yōu)越性與不足之處，我們又應(yīng)如何去進(jìn)行教學(xué)才能盡可能地減小所說(shuō)的局限性？再者，我們又應(yīng)如何幫助學(xué)生很好地實(shí)現(xiàn)由分?jǐn)?shù)的多種意義向單一意義的轉(zhuǎn)變？

在此筆者再次強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)，與唯一地去強(qiáng)調(diào)某種現(xiàn)成的解答相比較，我們應(yīng)當(dāng)采取更加開(kāi)放的態(tài)度，即應(yīng)當(dāng)通過(guò)積極的探索與深入研究去發(fā)現(xiàn)可能的解答。由以下分析讀者即可更好地理解采取這一立場(chǎng)的合理性。

所說(shuō)的兩種不同意義事實(shí)上在自然數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中也有同樣的表現(xiàn)，只不過(guò)出現(xiàn)的次序恰好相反，后者即是指自然數(shù)的學(xué)習(xí)而言，我們首先強(qiáng)調(diào)的是“自然數(shù)是一個(gè)數(shù)”這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)，然后，只是作為自然數(shù)概念的應(yīng)用，我們才又幫助學(xué)生逐步建立起了這樣的認(rèn)識(shí)：我們也可用自然數(shù)表示兩個(gè)數(shù)（量）之間的關(guān)系，這也就是所謂的“倍數(shù)關(guān)系”，因?yàn)楹笳邿o(wú)非就是將兩個(gè)數(shù)中較小的那個(gè)數(shù)看成新的比較單位，即“相對(duì)意義上的1”。

那么，我們是否就可因此而認(rèn)定將“自然數(shù)看成一個(gè)數(shù)”相對(duì)于“用自然數(shù)表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系”是更為基本的一個(gè)認(rèn)識(shí)。這是否又應(yīng)被看成學(xué)生認(rèn)識(shí)發(fā)展更為合理的一個(gè)順序，即首先幫助學(xué)生建立“自然數(shù)是一個(gè)數(shù)”這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)，然后，只是在學(xué)生較好地掌握了乘法運(yùn)算以后，再幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自然數(shù)的概念也可用以表示兩個(gè)數(shù)之間的（倍數(shù)）關(guān)系。當(dāng)然，就我們目前的論題而言，似乎又可因此而引出這樣一個(gè)推論：我們應(yīng)當(dāng)將現(xiàn)有教材中關(guān)于分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的安排次序完全顛倒過(guò)來(lái)。

顯然，絕對(duì)地肯定上述想法也是過(guò)于武斷的，毋寧說(shuō)，這更為清楚地表明用“研究的精神從事教學(xué)”的重要性，特別是上述分析事實(shí)上可以被看成為我們積極地開(kāi)展教學(xué)研究（包括教材建設(shè)）指明了一個(gè)重要方向。更一般地說(shuō)，這也就是指，相對(duì)于任一獨(dú)斷性的結(jié)論而言，我們應(yīng)當(dāng)更加強(qiáng)調(diào)思維的開(kāi)放性，并應(yīng)通過(guò)積極的教學(xué)實(shí)踐與深入研究去發(fā)現(xiàn)正確的解答。

以下就是這方面的三個(gè)具體建議，希望能有助于廣大教師深入思考與積極研究。

第一，無(wú)論就自然數(shù)或是分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)而言，相對(duì)于片面地強(qiáng)調(diào)某種單一性的觀點(diǎn)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加提倡認(rèn)識(shí)的多元性，特別是更應(yīng)被看成是這方面十分重要的一個(gè)認(rèn)識(shí)，即“比較（或度量）單位”的相對(duì)性，也是由絕對(duì)的“1”向相對(duì)的“1”的過(guò)渡。

值得指出的是，這事實(shí)上也可被看成所謂的“多元表征理論”（其對(duì)于“單一表征理論”的取代正是學(xué)習(xí)心理學(xué)研究現(xiàn)代發(fā)展的一個(gè)重要特征?？稍斠?jiàn)另文“多元表征理論與概念教學(xué)”，《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》，2011年第10期）給予我們的一個(gè)重要啟示：為了幫助學(xué)生更好地理解各個(gè)數(shù)學(xué)概念，我們事實(shí)上不應(yīng)唯一地強(qiáng)調(diào)其數(shù)學(xué)本質(zhì)，而是應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生從各個(gè)方面去進(jìn)行理解，如現(xiàn)實(shí)意義、直觀動(dòng)作、空間圖形、語(yǔ)言表述等，包括這些方面的適當(dāng)轉(zhuǎn)換與必要整合。

另外，如果說(shuō)這正是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)，我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)努力促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，特別是不斷提升思維的品質(zhì)，那么，這顯然也就是強(qiáng)調(diào)同一數(shù)學(xué)概念的不同側(cè)面乃至不同意義之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的一個(gè)重要意義。這不僅有利于學(xué)生更好地掌握相關(guān)概念，也十分有益于提升其思維的靈活性和綜合性。

第二，從同一角度去分析，我們也可更清楚地看出“用全局觀念指導(dǎo)教學(xué)”的重要性，特別是我們應(yīng)將“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”與“自然數(shù)（與小數(shù)）的認(rèn)識(shí)”聯(lián)系起來(lái)加以分析思考，包括通過(guò)自然數(shù)的教學(xué)為學(xué)生將來(lái)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)做好必要的準(zhǔn)備。

例如，這顯然就是這方面的一個(gè)基本事實(shí)：就兩個(gè)數(shù)的比較而言，我們既可以用較小的數(shù)作為比較單位，即將較大的數(shù)表示成較小的數(shù)的若干倍，也可將較大的數(shù)用作比較單位——這時(shí)，分?jǐn)?shù)的引入也就十分自然了。由此可見(jiàn)，如果我們能通過(guò)自然數(shù)的教學(xué)確實(shí)幫助學(xué)生初步地建立起“比較單位的相對(duì)性”這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)，就可以為他們將來(lái)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)創(chuàng)造更好的條件。當(dāng)然，隨著分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的深入，我們又應(yīng)十分重視如何能夠幫助學(xué)生更清楚地認(rèn)識(shí)“倍比關(guān)系”的一致性。（對(duì)此可見(jiàn)另著《小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論與實(shí)踐》，華東師范大學(xué)出版社，2017，第一章，[例6]）最后，這顯然也是這方面認(rèn)識(shí)的又一重要發(fā)展，即除去同類(lèi)量的比較以外，我們也可將分?jǐn)?shù)用于不同類(lèi)的量的比較。

第三，從思維的角度進(jìn)行分析，我們又應(yīng)特別重視分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)過(guò)程中所包含的這樣一種思維形式：“凝聚”，即由“過(guò)程”向“對(duì)象”的過(guò)渡或轉(zhuǎn)變。具體地說(shuō)，后者就直接關(guān)系到了分?jǐn)?shù)的“商的定義”，我們?nèi)绾螌⒎治龅闹埸c(diǎn)由實(shí)際從事相關(guān)的運(yùn)算轉(zhuǎn)向相應(yīng)的結(jié)果，即將后者直接看成一個(gè)數(shù)，一個(gè)真正的數(shù)。（應(yīng)當(dāng)指出，所說(shuō)的轉(zhuǎn)變也可被看成對(duì)于“通過(guò)度量引入分?jǐn)?shù)”的直接超越，因?yàn)椋覀冊(cè)诖艘巡辉訇P(guān)注如何能夠借助所謂的“分?jǐn)?shù)單位”去把握分?jǐn)?shù)的意義）又由于“凝聚”這一思維形式對(duì)于算術(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)具有特別的重要性（可詳見(jiàn)另著《數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)》，江蘇教育出版社，2008，第3.1節(jié)），因此，這也就十分清楚地表明分?jǐn)?shù)教學(xué)的又一重要意義，或者說(shuō)，我們應(yīng)將幫助學(xué)生更好地適應(yīng)這樣一種思維方式看成分?jǐn)?shù)教學(xué)的又一重點(diǎn)。

最后，應(yīng)當(dāng)再次強(qiáng)調(diào)的是，相對(duì)于各個(gè)具體結(jié)論而言，我們應(yīng)當(dāng)更加重視思維的開(kāi)放性，并應(yīng)圍繞問(wèn)題積極地去開(kāi)展教學(xué)研究，包括自覺(jué)的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)真的總結(jié)反思。顯然，后者事實(shí)上也正是這里所說(shuō)的“研究精神”的核心所在。