待定系數(shù)法：容易被人遺忘的角落

劉紅英

[摘 要] 待定系數(shù)法是中學數(shù)學的基本方法之一，但在日常教學中發(fā)現(xiàn)它沒有引起師生的足夠重視，往往被忽視，文章以歷年浙江高考數(shù)學題為例對待定系數(shù)法應(yīng)用做一個比較全面的概括，以回歸其應(yīng)有的地位.

[關(guān)鍵詞] 浙江高考題；待定系數(shù)法；方法應(yīng)用

對于某些數(shù)學問題，若是知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可研究和引入一些尚待確定的系數(shù)來表示這樣的結(jié)果，通過變形與比較，建立起含有待定字母系數(shù)的方程（組），并求出相應(yīng)字母系數(shù)的值，進而使問題獲解，這種方法稱之為待定系數(shù)法. 其理論依據(jù)是多項式的恒等定理即以標準形式給出的兩個多項式恒等的充要條件是這兩個多項式的對應(yīng)項系數(shù)相等. 待定系數(shù)法是中學數(shù)學的基本方法之一，但在日常教學中發(fā)現(xiàn)它沒有引起師生的足夠重視，往往被忽視，本文試圖以歷年浙江高考數(shù)學題為例對待定系數(shù)法應(yīng)用做一個比較全面的概括，以回歸其應(yīng)有的地位，現(xiàn)分述如下：

利用待定系數(shù)法求參變量

例1 （2014年浙江卷理6）

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，且0

A. c≤3？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B. 3

C. 69

解析：因f（-1）=f（-2）=f（-3），所以可設(shè)f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）+d，比較兩者f（x），由待定系數(shù)法可得d=c-6，令x= -1，得d=c-6∈（0，3]，故6

評注：一般地，若函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的零點為x1，x2，x3，可設(shè)f（x）=a（x-x1）·（x-x2）（x-x3）；若函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的值滿足f（x1）=f（x2）=f（x3），可設(shè)f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）+d+ax1x2x3；高次函數(shù)也可類似設(shè).

例2 （2015年浙江卷理15）

已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2=，若空間向量b滿足b·e1=2，b·e2=，且對于任意x，y∈R，b-（xe1+ye2）≥b-（x0e1+y0e2）=1（x0，y0∈R），則x0=______，y0=______，b=______.

解析：b-（xe1+ye2）2=b2+x2+y2-4x-5y+xy=x++（y-2）2+b2-7，

由題意可知，當x=x0，y=y0時，b-（xe1+ye2）有最小值1.

由待定系數(shù)法得x0+=0，y0-2=0，b2-7=1，

所以x0=1，y0=2，b=2.

評注：解決本題的關(guān)鍵有二：一是明確b-（xe1+ye2）的最小值為定值

b-（x0e1+y0e2），二是模的平方后的配方，然后由待定系數(shù)法列出方程組. 一般地，向量模的問題往往通過平方或構(gòu)造圖形或建立坐標系來解決，然后挖掘圖形或坐標間內(nèi)在聯(lián)系建立含有待定系數(shù)的恒等關(guān)系.

例3 （2010年浙江卷理7）

若實數(shù)x，y滿足不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0， 且x+y的最大值為9，則實數(shù)m等于（ ）

A. -2？搖？搖？搖？搖 ？搖B. -1？搖？搖？搖？搖？搖C. 1？搖？搖？搖？搖？搖？搖D. 2

解析：由圖像可知：當x+y取最大值9時，直線x+y=9過2x-y-3=0與x-my+1=0的交點，因2x-y-3=0與x+y=9的交點為（4，5），把（4，5）代入直線x-my+1=0，由待定系數(shù)法得m=1.

評注：本題的待定系數(shù)m已給出，無須再引進參數(shù)，問題反過來轉(zhuǎn)化為根據(jù)結(jié)論x+y的最大值為9結(jié)合圖形來確定已知中的待定系數(shù)m的值.

利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

例4 （2016年浙江卷理10）

已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A>0），則A=________，b=________.

解析：2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin2x++1 ，所以A=，b=1.

評注：本題的實質(zhì)就是把一個代數(shù)式從一種形式變換為另一種形式，并且保持變形前后的兩個代數(shù)式是恒等的，也就是形變而值不變，然后用待定系數(shù)法求出A，b值.

例5 （2011年浙江卷文18）

已知函數(shù)f（x）=Asinx+φ，x∈R，A>0，0<φ<. y=f（x）的部分圖像，如圖1所示，P，Q分別為該圖像的最高點和最低點，點P的坐標為（1，A）.

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；

（Ⅱ）若點R的坐標為（1，0），∠PRQ=，求A的值.

解析：（Ⅰ）由題意得，T==6.

因為P（1，A）在y=Asinx+φ的圖像上，所以sin+φ=1.

又因為0<φ<，所以φ=.

？搖 （Ⅱ）設(shè)點Q的坐標為（x0，-A），

？搖由題意可知x0+=，得x0=4，所以Q（4，-A）.

？搖連接PQ，在△PRQ中，∠PRQ=，由余弦定理得

？搖cos∠PRQ===-.

解得A2=3. 又A>0，所以A=.

評注：一般地，解決函數(shù)與圖像有關(guān)的問題關(guān)鍵是充分挖掘圖像包含的信息，然而利用幾何條件建立關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）.

利用待定系數(shù)法求方程

例6 （2010年浙江卷理21）

已知m>1，直線l：x-my-=0，橢圓C：+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點.

（Ⅰ）當直線l過右焦點F2時，求直線l的方程；

（Ⅱ）略.

解析：（Ⅰ）因為直線l：x-my-=0經(jīng)過F2（，0），

所以=，得m2=2.

又因為m>1，所以m=，

故直線l的方程為x-y-1=0.

例7 （2009年浙江卷理20）

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=c-，設(shè)c=，bn=，求數(shù)列{bn}的通項公式.

解析：bn+1===+2，即bn+1=4bn+2. 設(shè)bn+1+λ=4（bn+λ），由待定系數(shù)法得λ=，則bn+1+=4bn+，故bn+是首項為-，公比為4的等比數(shù)列，即bn+=-×4n-1，則bn=--.

評注：求形如數(shù)列an+1=pan+q的通項公式，可引進待定系數(shù)得an+1+λ=p（an+λ），從而構(gòu)造新數(shù)列{an+λ}是公比為p的等比數(shù)列.

利用待定系數(shù)法求最值

例8 （2011年浙江卷理16）

設(shè)x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

解析：待定系數(shù)λ，μ，則：

（2x+y）2=4x2+y2+4xy

=4x2+y2+2λxμy+（4-2λμ）xy≤4x2+y2+（λx）2+（μy）2+（4-2λμ）xy

=（4+λ2）x2+（1+μ2）y2+（4-2λμ）xy（λ，μ>0）.

取4+λ2=4（1+μ2）=4（4-2λμ），則λ2=，μ2=.

即（2x+y）2≤（4x2+y2+xy）=，所以2x+y≤.

類似地還可進一步求：

例9 若x，y，z是正數(shù)，且滿足x+2y+3z=1，求++的最小值.

解析：待定系數(shù)α，β，γ，設(shè)+αx+αx+αx≥4，

同理+3βy≥4，+3γz≥4，三式相加.

因為x+2y+3z=1，可見當且僅當α∶β∶γ=1∶2∶3時，

即∶∶=1∶2∶3時取等號，結(jié)合x+2y+3z=1，得

x=，y=，z=時取等號，++的最小值為1296.

評注：根據(jù)題目需要可引進2個及以上待定系數(shù)，一般地求不等式最值往往采用多個待定系數(shù)，同時還要考慮等號能否同時成立.

從上可知，待定系數(shù)法是歷年浙江高考數(shù)學卷中的“?？汀保?應(yīng)該把它放到足夠高的地位，同時利用待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是把握好三關(guān)：一是“引進關(guān)”：根據(jù)題意引進恰當?shù)拇ㄏ禂?shù)，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的結(jié)構(gòu)形式；二是“聯(lián)列關(guān)”：根據(jù)已知條件，利用恒等式相等或幾何條件或定義本身的屬性等列出方程（組）；三是“求解關(guān)”：求出各待定字母系數(shù)，進而解決問題.endprint