周宏偉+張夢(mèng)驍+高峰云+曾日桓+劉洋怡

摘 要：空氣相對(duì)濕度是體現(xiàn)氣候變化的一項(xiàng)重要指標(biāo)，研究城市相對(duì)濕度指數(shù)可以反映城市的氣候變化狀況。本文利用ARMA模型對(duì)北京市2012～2015年空氣相對(duì)濕度的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立相應(yīng)的ARMA模型，再對(duì)建立的模型進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，并利用該模型對(duì)未來(lái)五個(gè)月進(jìn)行預(yù)測(cè)，查看未來(lái)的空氣相對(duì)濕度變化趨勢(shì)，體現(xiàn)模型優(yōu)劣，可以更好的進(jìn)行氣候變化研究。

關(guān)鍵詞：相對(duì)濕度預(yù)測(cè)；時(shí)間序列分析；ARMA模型；Box-Jenkins方法

一、 引言

隨著全球氣候變化加劇，對(duì)于氣候變化、空氣質(zhì)量等的研究不斷得到深入，對(duì)于不同空氣質(zhì)量指標(biāo)衡量因素十分不同，相對(duì)濕度的高低在許多程度上直接反映了環(huán)境的好壞，相對(duì)濕度過(guò)高或者過(guò)低，對(duì)人自身和四周的環(huán)境都會(huì)產(chǎn)生不好的影響，而相對(duì)濕度作為一項(xiàng)能夠客觀真實(shí)反映氣候變化情況的重要指標(biāo)，有必要進(jìn)行深入研究。

簡(jiǎn)單的AR模型與ARMA模型在短期預(yù)測(cè)上具有較高精度，且在理論上已趨于成熟，便于進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析，更常用于擬合平穩(wěn)時(shí)間序列。本文以北京市為例，建立ARMA模型對(duì)空氣相對(duì)濕度數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

二、 數(shù)據(jù)來(lái)源

http：//www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/ 中華人民共和國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局——中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒。

三、 ARMA模型理論介紹與模型建立

1. ARMA模型理論介紹

自回歸移動(dòng)平均模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是ARMA模型的全稱(chēng)，該種方法是一種十分重要的方法，對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)研究來(lái)說(shuō)，由自回歸模型（簡(jiǎn)稱(chēng)AR模型）與滑動(dòng)平均模型（簡(jiǎn)稱(chēng)MA模型）為基礎(chǔ)“混合”構(gòu)成，它是目前應(yīng)用最為廣泛的來(lái)擬合平穩(wěn)序列的模型，通過(guò)計(jì)算機(jī)程序的編寫(xiě)來(lái)進(jìn)行模型識(shí)別，它可以細(xì)分為自回歸（AR）模型、滑動(dòng)平均（MA）模型和自回歸移動(dòng)平均（ARMA）模型三大類(lèi)。

（1） AR模型 AR模型也稱(chēng)為p階自回歸模型，具有如下結(jié)構(gòu)：

xt=φ0+φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+εt

上式中，p為自回歸模型階數(shù)，φi為待定系數(shù)，εt為模型誤差。當(dāng)φ0=0時(shí)，該自回歸模型又稱(chēng)為中心化AR模型。非中心化AR序列也可以通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為中心化AR序列。

（2） MA模型 MA模型稱(chēng)為移動(dòng)平均模型，具有如下結(jié)構(gòu)：

xt=μ+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-…-θqεt-q

上式中，q為模型階數(shù)，θi為待定系數(shù)，εt為模型誤差。當(dāng)μ=0時(shí)，模型稱(chēng)為中心化MA模型。

（3） ARMA模型 ARMA模型稱(chēng)為自回歸移動(dòng)平均模型，具有如下結(jié)構(gòu)：

xt=φ1xt-1+…+φpxt-p+εt-θ1εt-1-…θqεt-q

默認(rèn)條件與AR模型、MA模型相同。當(dāng)q=0時(shí)，ARMA模型退化成AR模型，當(dāng)p=0時(shí)，ARMA模型就退化成MA模型。

2. 數(shù)據(jù)處理與模型建立

根據(jù)2012～2015年的中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒得到北京市近四年相對(duì)濕度數(shù)據(jù)，建立ARMA模型如下。

首先繪制2012～2015年北京市相對(duì)濕度數(shù)據(jù)時(shí)序圖，如圖1所示：

圖1 相對(duì)濕度時(shí)序圖

由圖1可以認(rèn)為該時(shí)間序列可能是平穩(wěn)的，因此，需要通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如下：

檢驗(yàn)結(jié)果表明在6階和12階延遲下的P值很小，遠(yuǎn)小于5%，所以我們可以有超過(guò)95%的把握認(rèn)為2012～2015年北京市空氣相對(duì)濕度時(shí)間序列不是白噪聲序列，所以可以對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)規(guī)律分析，建立ARMA模型來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

根據(jù)ARMA（p，q）模型在上表中體現(xiàn)的的ACF與PACF理論能夠發(fā)現(xiàn)，由圖2的自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖可知，可以認(rèn)為該時(shí)間序列自相關(guān)拖尾，偏自相關(guān)圖則可以認(rèn)為1階或3階截尾，選擇自相關(guān)模型時(shí)，可選擇p=1或3。

建立AR（1）與AR（3）模型，對(duì)這兩個(gè)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)：

通過(guò)上述兩種參數(shù)估計(jì)方法擬合的模型分別為：

（1） AR（1）xt=0.6348xt-1+52.0392+εt

（2） AR（3）xt=0.5905xt-1+0.2653xt-2-0.3951xt-3+52.4373+εt

根據(jù)AIC準(zhǔn)則，由于AR（1）模型的AIC值為453.3，AR（3）模型的AIC值為450.12，所以AR（3）模型更加符合該時(shí)間序列模型。

四、 模型檢驗(yàn)與預(yù)測(cè)分析

1. 模型檢驗(yàn)

對(duì)于得到的AR（3）模型，通過(guò)參數(shù)估計(jì)方法得到具體模型，根據(jù)AIC準(zhǔn)則驗(yàn)證模型優(yōu)劣：

對(duì)于得到的AR（3）模型，進(jìn)行殘差檢驗(yàn)如圖3所示：

圖3-（2）說(shuō)明殘差之間不相關(guān)，圖3-（3）說(shuō)明其p值在0.7～1之間，明顯大于橫線處0，05的值，通過(guò)Box-Jenkins方法得出其準(zhǔn)確p值為0.7635，p值大于0.05，即接受原假設(shè)，可以認(rèn)為殘差是白噪聲序列，擬合的AR（3）模型通過(guò)檢驗(yàn)。

2. 模型預(yù)測(cè)

通過(guò)AR（3）模型對(duì)未來(lái)五個(gè)月的相對(duì)濕度進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4所示：

由預(yù)測(cè)值可以發(fā)現(xiàn)在未來(lái)的五個(gè)月之內(nèi)，北京市月平均空氣相對(duì)濕度將會(huì)有一個(gè)顯著的降低，在1～2月間相對(duì)濕度的降低非常明顯，同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)這一降低的規(guī)律也十分符合之前數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，說(shuō)明預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)能較好的反映北京市空氣相對(duì)濕度的變化情況，但是誤差的比例相應(yīng)增加，也在同時(shí)降低了預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度。

五、 結(jié)論與不足之處

本文以北京市2012～2015年月平均空氣相對(duì)濕度數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，通過(guò)模型建立、模型檢驗(yàn)和模型數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，確立以AR（3）模型為北京市月平均相對(duì)濕度的預(yù)測(cè)模型，最后得到的模型結(jié)果如下所示：

xt=0.5905xt-1+0.2653xt-2-0.3951xt-3+52.4373+εt

通過(guò)預(yù)測(cè)發(fā)現(xiàn)，未來(lái)五個(gè)月北京市月平均相對(duì)濕度呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，但是在第五個(gè)月之后，由預(yù)測(cè)圖形顯示，北京市空氣相對(duì)濕度會(huì)有略微增長(zhǎng)，但是這種增長(zhǎng)并不明顯，仍然需要通過(guò)對(duì)之后的更多數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究，繼續(xù)修正模型，再來(lái)進(jìn)行模型預(yù)測(cè)，才能得出更好的預(yù)測(cè)結(jié)果。

對(duì)于時(shí)間序列分析過(guò)程可分為：數(shù)據(jù)平穩(wěn)性處理、模型識(shí)別（包括階數(shù)估計(jì)與參數(shù)估計(jì)）、模型檢驗(yàn)與模型預(yù)測(cè)三個(gè)部分，通過(guò)R軟件能較好的擬合模型并預(yù)測(cè)未來(lái)值。

綜上，ARMA模型較好的解決了北京市月平均相對(duì)濕度的問(wèn)題，同時(shí)發(fā)現(xiàn)ARMA模型預(yù)測(cè)在實(shí)際中可以廣泛的利用，為更好的研究氣候情況提供了十分方便的工具。

但是本文仍然存在許多不足之處，由于ARMA模型對(duì)于短期預(yù)測(cè)才能有較好的結(jié)果，從表中的預(yù)測(cè)誤差也可以發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行預(yù)測(cè)的時(shí)間長(zhǎng)度越長(zhǎng)，其對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)誤差也會(huì)相應(yīng)的增大，導(dǎo)致預(yù)測(cè)的結(jié)果也會(huì)更加不準(zhǔn)確。

參考文獻(xiàn)：

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[2]李姝敏；張勛塵.基于ARMA模型的蘭州市人口短期預(yù)測(cè)研究.《中國(guó)市場(chǎng)》，2015.

[3]劉薇.時(shí)間序列分析在吉林省GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用.《東北師范大學(xué)碩士論文》，2008.

[4]ARMA模型.

作者簡(jiǎn)介：

周宏偉，張夢(mèng)驍，高峰云，曾日桓，劉洋怡，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院。endprint