極高Ra湍流熱對流模擬及其流動特征

羅嘉輝+包蕓

摘要：提出二維湍流熱對流DNS模擬的并行直接求解方法（Parallel Direct Method of DNS，PDM-DNs），在“天河二號”超級計算機(jī)上實現(xiàn)高Ra和極高Ra湍流熱對流大規(guī)模DNs計算。高分辨率的湍流熱對流計算結(jié)果表明不同Ra（10³≤Ra≤10¹³）的瞬時溫度場的流場特性完全不同。較低Ra流場中有明顯的大尺度環(huán)流和角渦；較高Ra流場中羽流運(yùn)動充滿隨機(jī)性；更高Ra流場出現(xiàn)小尺寸漩渦并不斷從上下底板產(chǎn)生，這些渦相互影響作用，隨大尺度環(huán)流一起作繞行運(yùn)動。二維湍流熱對流的Nu與Ra存在標(biāo)度關(guān)系，標(biāo)度律約為0.3。

關(guān)鍵詞：Rayleigh-B6nard熱對流；湍流；PDM-DNS；并行計算；極高Ra；羽流形態(tài)

中圖分類號：0357.53 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

0引言

熱對流廣泛存在于自然界和工業(yè)生產(chǎn)中，研究熱對流現(xiàn)象對天體物理、海洋環(huán)流、全球氣候變化、工業(yè)冷卻設(shè)計、反應(yīng)堆設(shè)計等科學(xué)研究具有重要意義。Rayleigh-Benard（RB）對流系統(tǒng)是研究對流問題的經(jīng)典物理和流體力學(xué)模型，是近年來物理學(xué)和流體力學(xué)研究領(lǐng)域的熱門研究課題之一。熱對流研究中的重要參數(shù)Ra（瑞利數(shù)），與研究對象的幾何高度的3次方成正比，所以自然界中的對流現(xiàn)象大都具有極高的Ra。自從KRAICHNANt在1962年提出極高Ra時熱對流隨Ra的變化特性將進(jìn)入“終極區(qū)間”的理論后，學(xué)者們一直都在尋找其存在的證據(jù)以及“終極區(qū)間”的起始臨界Ra即Ra*。熱對流研究中著名的GL理論預(yù)言認(rèn)為，RB對流的特性將在Ra*=O（10¹⁴）時發(fā)生根本變化，流動將從湍流狀態(tài)進(jìn)入“終極狀態(tài)”。到目前為止，RB對流實驗研究的Ra幾乎都在Ra*之下。發(fā)現(xiàn)極高Ra對流系統(tǒng)的“終極狀態(tài)”并對其物理和流動特性進(jìn)行研究，仍是該領(lǐng)域內(nèi)的一個熱點(diǎn)問題和巨大挑戰(zhàn)。極高Ra的熱對流特性研究對于天體物理學(xué)以及大氣、海洋等自然界中的對流熱輸運(yùn)等重大科學(xué)問題有極重要的意義。

DNS數(shù)值模擬是RB熱對流的重要研究手段之一。隨著Ra的提高，熱對流流動進(jìn)入湍流狀態(tài)，所需DNS模擬的計算規(guī)模不斷增大，導(dǎo)致計算所需要的成本巨大，最終數(shù)值計算難以實現(xiàn)。研究極高Ra湍流熱對流的大規(guī)模DNS數(shù)值模擬技術(shù)仍然需要不斷創(chuàng)新。湍流熱對流的DNS數(shù)值模擬計算目前在Ra=O（10¹²）的水平，仍無法進(jìn)行熱對流“終極狀態(tài)”的研究。

近年來，超級計算機(jī)硬件技術(shù)發(fā)展迅速，“天河二號”超級計算機(jī)可為DNS數(shù)值模擬技術(shù)的進(jìn)步提供新的計算硬件技術(shù)支持。建立可以高效并行的湍流熱對流DNS計算方法，對極高Ra湍流熱對流及其物理特性的研究有很重要的意義。本文依據(jù)可以高效并行的針對泊松方程的PDD算法，提出二維RB熱對流DNS的并行直接求解方法（Parallel Direct Method of DNS，PDM-DNS），在“天河二號”超級計算機(jī)上可實現(xiàn)大規(guī)模并行的二維高Ra湍流熱對流DNS模擬計算。

1 RB熱對流的控制方程及數(shù)值計算

在Boussinesq假設(shè)下，經(jīng)過無量綱化后的二維RB熱對流的描述方程為

式中：V為速度矢量；p為壓力；θ為無量綱溫度；t為時間；k為豎直方向單位矢量；Ra為瑞利數(shù)；Pr為普郎特數(shù)。計算邊界條件：速度為四壁無滑移邊界；溫度（無量綱化）為下底板加熱θ=0.5，上底板冷卻θ=-0.5；側(cè)壁為絕熱邊界。計算網(wǎng)格采用常用的交錯網(wǎng)格，空間采用二階精度離散格式，時間方向采用一階精度。計算區(qū)域為矩形，見圖1。計算網(wǎng)格數(shù)為n_x×n_z。并行計算的分區(qū)沿x方向水平分割，即圖1中較粗的水平網(wǎng)格線。

2 PDM-DNS

PDM-DNS的求解過程采用投影法。投影法計算步驟為：（1）采用顯式格式預(yù)估動量方程的速度；（2）結(jié)合連續(xù)方程推導(dǎo)出求解壓力的泊松方程，求解泊松方程得到全場壓力；（3）對預(yù)估動量方程的速度進(jìn)行修正，得到同時滿足連續(xù)方程和動量方程的速度場；（4）采用顯式方法計算溫度對流擴(kuò)散方程。其中，動量方程和溫度對流擴(kuò)散方程中的速度和溫度計算采用顯示格式，并行計算容易實現(xiàn)。由連續(xù)方程推導(dǎo)出的壓力泊松方程需要全流場聯(lián)立求解，通常采用迭代計算，是整個DNS模擬中計算工作量最大的部分。泊松方程全場聯(lián)立求解的要求造成并行計算的困難，是實現(xiàn)大規(guī)模高效并行計算的難點(diǎn)。因此，計算壓力泊松方程的高效并行求解方案，是二維熱對流DNS模擬可以實現(xiàn)大規(guī)模高效并行計算的關(guān)鍵技術(shù)。

泊松方程的迭代求解方法較容易實現(xiàn)并行計算，但進(jìn)入湍流狀態(tài)的熱對流壓力泊松方程的迭代次數(shù)非常大，反復(fù)的迭代計算需要很多計算時間，會大大增加計算工作量，而且每次迭代都需要進(jìn)行數(shù)據(jù)通信，會造成整體的并行計算效率不高。

在以往小規(guī)模的二維熱對流DNS模擬計算中，利用FFT變換解耦泊松方程，用追趕法求解三對角方程組的泊松方程直接解法，在單線程的計算上比用迭代求解方法效率高，但三對角方程組的追趕法無法直接進(jìn)行大規(guī)模高效并行求解，使得壓力泊松方程直接求解方法在規(guī)模并行計算上遇到困難。SUN等針對強(qiáng)對角占優(yōu)的三對角方程組，提出可并行計算的PDD算法。PDD算法通過縮減方程組，在機(jī)器精度內(nèi)得到與精確解等價的近似解，可大大改善需要數(shù)據(jù)通信的MPl分割并行的可擴(kuò)展性和計算高效性。經(jīng)過不斷改進(jìn)，PDD算法已經(jīng)成為三對角方程組的規(guī)模并行近似求解的基本方法。PDD算法可為解決壓力泊松方程直接求解的規(guī)模并行計算提供新的計算技術(shù)。

在超級計算機(jī)“天河二號”上，可進(jìn)行MPI和OpenMP混編的大規(guī)模并行計算。本文對二維湍流熱對流DNS模擬中的壓力泊松方程采用并行直接求解的方法進(jìn)行計算。針對二維湍流熱對流并行計算，MPI計算區(qū)域沿x方向?qū)分割，即圖1中較粗的水平線。相鄰的MPI分割區(qū)域在并行計算中需要數(shù)據(jù)通訊，區(qū)域內(nèi)部可用OpenMP并行，無須數(shù)據(jù)通訊。在直接求解泊松方程過程中，需要用離散快速傅里葉余弦變換解耦泊松方程，因此x方向必須采用等距網(wǎng)格。在z方向上可根據(jù)計算的需要采用非等距網(wǎng)格。通過PDD算法并行計算得到三對角方程的近似解，采用對應(yīng)的離散快速傅里葉余弦反變換公式，得到全場的壓力pⁿ⁺¹，完成泊松方程的并行直接求解。

本文利用以上高效的壓力泊松方程并行直接求解方法，聯(lián)合其他易并行的動量方程等計算方法，創(chuàng)建高效二維熱對流的并行直接求解方法，并具有很好的并行效率，為大規(guī)模高效并行計算高Ra和極高Ra二維湍流熱對流的DNS模擬提供全新的數(shù)值計算技術(shù)和計算方法。

3二維高Ra和極高Ra湍流熱對流的流動特性endprint