例析高考試題中平面向量的四大運(yùn)算策略及教學(xué)反思

田秀權(quán)

平面向量作為代數(shù)和幾何的紐帶，素有“和平面幾何聯(lián)姻，與代數(shù)牽手，與解析幾何交匯”之美稱，在近幾年高考試題中，平面向量題已然成為命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，在客觀題中大多出現(xiàn)在壓軸題位置，向量題的特點(diǎn)是：知識交匯自然，解法靈活多樣；但萬變不離其宗，緊扣“數(shù)”和“形”的本質(zhì)屬性，思考和解決問題，本文以近兩年高考試題為例，分析、提煉平面向量的四大處理策略，以指明解題方向，優(yōu)化解題過程，提高解題效率，并反思教學(xué).

1代數(shù)化策略

1.1坐標(biāo)運(yùn)算策略

所謂坐標(biāo)運(yùn)算策略，是指解決平面向量問題時，把有關(guān)已知條件和所求結(jié)論，在直角坐標(biāo)系中恰當(dāng)?shù)乇硎境鰜?，這樣就將向量運(yùn)算完全代數(shù)化，可將幾何問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的有明確關(guān)系的數(shù)量運(yùn)算，從而減少問題的思維量，降低問題的難度，

例1 （2017年高考全國卷Ⅱ.理12）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·（PB+PC）的最小值是（

）

A.-2

B.-3/2 C.-4/3 D.-l

解以BC為x軸，BC的垂直平分線AD為y軸，D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖1），

則B（-l，0），c（1，0），A（O，√3）.

設(shè)P（x，y），所以PA：（-x，√3-y），

PB=（-1-x，-y），PC=（1-x，-y），

評注本題作為選擇題的壓軸題，對學(xué)生的能力要求比較高，如果方法選擇不恰當(dāng)，處理起來較為困難，考慮到圖形的對稱性，利用坐標(biāo)運(yùn)算策略，具體明確地表示出各個向量，從而問題得以快速解決，也使我們體會到了坐標(biāo)運(yùn)算策略的筒捷和明快.

1.2數(shù)量積運(yùn)算策略

所謂數(shù)量積運(yùn)算策略，是指解決平面向量問題時，把題目中的向量等式主動施加恰當(dāng)?shù)臄?shù)量積運(yùn)算，這樣把向量運(yùn)算完全代數(shù)化，這是處理棘手向量等式問題的重要思路，數(shù)量積運(yùn)算策略體現(xiàn)了構(gòu)造思想、轉(zhuǎn)化和化歸數(shù)學(xué)思想.

評注這是一道中等偏上難度的題，考查了兩角和差公式、向量數(shù)量積兩個C級考點(diǎn)知識的交匯，彰顯了重點(diǎn)知識重點(diǎn)考查的命題理念，利用數(shù)量積運(yùn)算策略，把問題完全代數(shù)化，構(gòu)造了關(guān)于目標(biāo)參數(shù)的方程組，思路清晰明了.

2幾何化策略

2.1線性運(yùn)算策略

所謂線性運(yùn)算策略，是指解決平面向量問題時，利用平面向量的加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算以及平面向量基本定理來解決問題，求解時通常選擇兩個信息量（模、角、位置關(guān)系）大、關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的不共線的向量作為基底，然后把其他向量用基底表示出來.

2.2圖形運(yùn)算策略

所謂圖形運(yùn)算策略，是指解決平面向量問題時，作出題目中所涉對象的幾何圖形，借助圖形思考問題（往往結(jié)合平面幾何知識、幾何意義等等），借助圖形解決問題，圖形運(yùn)算策略體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是平面向量的一個本質(zhì)特性.

評注這兩道題都是客觀題的壓軸題，都屬于難題，解法并不唯一（比如建系，但運(yùn)算量相對更大）.如果利用好圖形運(yùn)算策略，讓問題更形象直觀、解法更簡潔明了，思維更活躍靈動，圖形運(yùn)算策略體現(xiàn)了幾何直觀的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3教學(xué)啟示

3.1本質(zhì)探究是根本

數(shù)學(xué)問題解決的過程，是從已知向未知尋求聯(lián)系的過程，并努力去尋找條件和結(jié)論之間的數(shù)學(xué)本質(zhì)，作為位置偏后的填空題，往往涉及的知識點(diǎn)是多元的、交匯的，研究對象的關(guān)系是錯綜復(fù)雜的，如何能讓學(xué)生有序思維，理清基礎(chǔ)知識，精準(zhǔn)的找到問題的切入口？這就要求我們平時的教學(xué)要注重知識的生成、發(fā)展過程，重視對知識本質(zhì)屬性及問題本質(zhì)的探究，比如：平面向量的概念是什么？有怎樣的本質(zhì)屬性？了解了這樣的問題，解題的思路就會更加自然流暢；正所謂“問渠那得清如許，為有源頭活水來”，數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的挖掘正是解題思路的“源頭活水”.

3.2方法提煉要精細(xì)

平時的解題教學(xué)應(yīng)追求通性通法，比如多元問題需消元、高次問題要降次，常用帶入、換元、待定系數(shù)等方法，學(xué)習(xí)、應(yīng)試是個不斷積累的過程，有必要積累一些處理問題的基本方法，然而方法的提煉僅僅停留在淺層次的“方法名稱的記憶”肯定是不行的，方法的提煉應(yīng)該要更加精細(xì)化，讓學(xué)生經(jīng)歷思考、分析、對比、選擇的思維過程，提煉出方法及方法的適用性，譬如：本文中總結(jié)的解決平面向量題的四大解題策略，怎樣的題型特點(diǎn)適合用坐標(biāo)運(yùn)算策略？怎樣的題型特點(diǎn)適合用線性運(yùn)算策略？這四種策略是否有一定的關(guān)聯(lián)性？

3.3能力訓(xùn)練重反思

“選拔性”是高考試卷的重要指標(biāo)之一，這也決定了以能力立意的命題理念，學(xué)生的解題能力哪里來？怎么來？教師的講解和學(xué)生的解題訓(xùn)練固然重要，但能力的形成和提升更離不開學(xué)生的自我感悟和自我反思，荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾就曾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力”，教師經(jīng)常有著這樣的困惑或抱怨：“這樣的題講過好幾遍了，稍微改變一下，學(xué)生怎么又不會啦？”問題的關(guān)鍵就在于學(xué)生“悟得少”，其實(shí)，學(xué)生解題能力的提高是在學(xué)習(xí)過程中通過不斷地分析問題、轉(zhuǎn)化問題，通過不斷地聽懂、反思、對比、感悟、內(nèi)化、遷移和運(yùn)用達(dá)成的.endprint