☉青海省油田一中 應(yīng)春風(fēng)

導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用常常以壓軸的形式在高考試題中出現(xiàn)，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識(shí)的交匯綜合運(yùn)用能力是此類考題考查的重點(diǎn)，筆者結(jié)合導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用這一內(nèi)容進(jìn)行了專題公開課的教學(xué)，主要為了學(xué)生能夠更好地掌握如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性、極值、最值研究的方法，同時(shí)也使學(xué)生能夠在這些基礎(chǔ)知識(shí)與方法的研究中更好地掌握四種數(shù)學(xué)思想方法.

一、教學(xué)過程

1.回顧基礎(chǔ)知識(shí)

師：導(dǎo)數(shù)在高中階段函數(shù)的研究與實(shí)際問題的解決中是一個(gè)工具，那么，導(dǎo)數(shù)究竟能與函數(shù)的哪些性質(zhì)聯(lián)系在一起并應(yīng)用于實(shí)際問題的研究呢？

（1）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.

對(duì)于函數(shù)y=f（x），若在某區(qū)間上f′（x）≥0且不恒為0，則f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞增，反之也成立；若在某區(qū)間上f′（x）≤0且不恒為0，則f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞減，反之也成立.

注：導(dǎo)數(shù)與恒成立問題結(jié)合在一起是比較常見的.

（2）極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù).

函數(shù)y=f（x）在x0處取得極值的充要條件為：①f′（x0）=0；②y=f（x）在x0左右單調(diào)性發(fā)生改變.

注：兩條件必須同時(shí)具備.

變式：x0是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)是f′（x0）=0的______條件？舉例說明.

設(shè)計(jì)意圖：提問的方式使學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進(jìn)行了有效的回顧，學(xué)生因此對(duì)導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用原理形成了更有深度的認(rèn)識(shí)與思維.

2.例題解析

例1函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極大值2.

①求a、b、c的值；

②若x1、x2∈［-1，1］時(shí)，求證：|f（x1）-f（x2）|≤4；

③討論方程f（x）-2m=0的根的個(gè)數(shù)；

④如果函數(shù)f（x）的圖像在x∈［-1，1］時(shí)恒處于3x-2y+m=0的圖像上方，求m的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：極值知識(shí)點(diǎn)和函數(shù)奇偶性的知識(shí)交匯使學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力得到了很好的鍛煉，學(xué)生對(duì)綜合題的樣式也因此更加熟悉，其中第②問對(duì)學(xué)生的知識(shí)轉(zhuǎn)化能力也起到了很好的鍛煉，只要證得函數(shù)在區(qū)間［-1，1］上滿足|fmax（x）-fmin（x）|≤4，問題即能得到解決.比較簡單的第③問考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，而第④問則應(yīng)在將問題轉(zhuǎn)化成恒成立問題的基礎(chǔ)上再結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)對(duì)函數(shù)的最大值進(jìn)行求解.綜合諸多知識(shí)點(diǎn)及思想方法的練習(xí)使學(xué)生的綜合能力得到了有意義的鍛煉與提高.此題改變成函數(shù)g（x）后變成了含參數(shù)k的函數(shù)，可以設(shè)計(jì)成以下變式.變

設(shè)計(jì)意圖：著眼于基本題及其變式使學(xué)生在題目的不斷變化中體會(huì)到參數(shù)對(duì)問題的影響，并使學(xué)生在正確的分類討論中不斷完成思維的挑戰(zhàn).

3.課堂小結(jié)

師：怎樣利用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)進(jìn)行研究是我們本課復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容，大家有何收獲呢？

學(xué)生在教師的引導(dǎo)與啟發(fā)下對(duì)本課所復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)與常見問題處理辦法進(jìn)行了回顧與總結(jié)，學(xué)生對(duì)綜合問題的思考與處理也在學(xué)生的回答中一一展露，最后教師在學(xué)生小結(jié)的基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步的歸納.

二、教學(xué)反思

1.二輪復(fù)習(xí)教案應(yīng)著眼于知識(shí)整合和思想滲透而科學(xué)設(shè)計(jì)

基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合及知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)都是每年高考試題設(shè)計(jì)中尤其注重的幾個(gè)方面，大部分學(xué)生在高三第一輪的復(fù)習(xí)中已經(jīng)基本掌握高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)并形成了一定的知識(shí)體系，很多學(xué)生也已經(jīng)積累了比較豐富的解題方法與經(jīng)驗(yàn)，但很多學(xué)生在第一輪復(fù)習(xí)過后仍不能將知識(shí)點(diǎn)前后串聯(lián)起來，從本質(zhì)上說這是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的思想與本質(zhì)的理解不夠深入.因此，教師在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)著眼于基礎(chǔ)知識(shí)與方法的不斷深入，因此促成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的深入理解，并逐步建立起較為清晰而富有條理化的知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng).導(dǎo)數(shù)、函數(shù)奇偶性、單調(diào)性等諸多基本知識(shí)融合的本課例題也體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論等諸多的數(shù)學(xué)思想與方法.比如，分類討論這一高考命題中的熱點(diǎn)一般都會(huì)與參變量問題融合體現(xiàn)，本課例題的變式中就編制了要求學(xué)生多作分析和思考的該類問題：該題需要分類討論嗎？為什么需要？應(yīng)怎樣確定分類標(biāo)準(zhǔn)？怎樣討論？學(xué)生在幾個(gè)小題的訓(xùn)練中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)質(zhì)也越發(fā)熟悉，并因此逐步學(xué)會(huì)融會(huì)貫通.因此，教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)打破知識(shí)之間的界限，并逐步提升思維水平.

2.二輪復(fù)習(xí)教案應(yīng)著眼于點(diǎn)到面的輻射而設(shè)計(jì)

教師在二輪復(fù)習(xí)的教案編寫中，首先應(yīng)對(duì)復(fù)習(xí)的內(nèi)容作出科學(xué)、合理的整體構(gòu)想，確定課堂復(fù)習(xí)教學(xué)的核心，并以此為主線預(yù)設(shè)復(fù)習(xí)的內(nèi)容與形式，在后續(xù)教學(xué)中依此有序展開復(fù)習(xí).筆者在本課的設(shè)計(jì)中立足導(dǎo)數(shù)所具備的工具性這一特征進(jìn)行了一系列的變式設(shè)計(jì)，圍繞例1這一母題而衍生的五個(gè)子題實(shí)現(xiàn)了由點(diǎn)到面的輻射，也因此將學(xué)生的思維帶向了更深、更遠(yuǎn)的水平層面.

3.二輪復(fù)習(xí)應(yīng)注重學(xué)生思維的訓(xùn)練

二輪復(fù)習(xí)一般都會(huì)注重課堂復(fù)習(xí)容量的增加，但這并不代表課堂講授與練習(xí)的過多追求，事實(shí)上，教師應(yīng)該在復(fù)習(xí)教學(xué)中對(duì)非重點(diǎn)問題敢于取舍，并將學(xué)生感覺困惑的問題、模糊不清的問題、缺漏的問題、高考熱點(diǎn)問題一一解決，使得學(xué)生在教師有針對(duì)性的教學(xué)舉措中獲得思維容量的擴(kuò)充，同時(shí)，教師應(yīng)始終圍繞重要的方法、知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法及近年來的高考熱點(diǎn)題型進(jìn)行重點(diǎn)講授并督促各環(huán)節(jié)的落實(shí).本節(jié)課圍繞導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值、極值關(guān)系設(shè)計(jì)并變化出了九個(gè)小題，本課的教學(xué)重點(diǎn)與主題得到了很好的強(qiáng)化，近年來的很多高考題都是在平日練習(xí)的基礎(chǔ)上改變了設(shè)問方式或互換條件與結(jié)論等手段而呈現(xiàn)的，因此，教師在平時(shí)教學(xué)中如果能夠?qū)σ恍┛梢愿淖兊念}目進(jìn)行變式與題組訓(xùn)練，往往能夠使學(xué)生對(duì)此類問題的本質(zhì)與通性通法形成更加牢固的認(rèn)知與理解.比如，變式1與變式2的設(shè)計(jì)能夠使學(xué)生對(duì)最值的思想方法的認(rèn)識(shí)得到強(qiáng)化，變式3與變式4的設(shè)計(jì)能夠有效地提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活轉(zhuǎn)化，而變式4與變式5之間的比較與推廣又使學(xué)生的思維得到了很好的拓展.

4.二輪復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生這一學(xué)習(xí)主體的發(fā)展

容量大且具備一定難度的高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課堂教學(xué)必須調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性才能實(shí)現(xiàn)高效課堂的真正構(gòu)建，教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生營造出寬松、和諧而平等的學(xué)習(xí)氛圍，并使每一位學(xué)生都能感受到自己的主體地位，只有這樣，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的自信心才能逐步建立并穩(wěn)步提升.比如，本課例題中的基礎(chǔ)知識(shí)的回顧與解決相對(duì)來說是比較簡單的，可以讓數(shù)學(xué)能力中下等的學(xué)生來回答，以此來提升他們的學(xué)習(xí)興趣.再者，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)過程時(shí)應(yīng)以學(xué)生發(fā)展為中心，并將師生互動(dòng)式、對(duì)話式的教學(xué)方式落實(shí)到教學(xué)過程中，使學(xué)生在積極主動(dòng)的探究活動(dòng)中不斷培養(yǎng)出堅(jiān)持不懈、努力鉆研的人格品質(zhì)與毅力.不過，教師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥和講解在復(fù)習(xí)教學(xué)中仍然是必須的.比如，筆者在本課例題中最后一個(gè)變式的教學(xué)中組織了學(xué)生的小組合作與討論并對(duì)學(xué)生進(jìn)行了適時(shí)的點(diǎn)撥，這使得課堂復(fù)習(xí)教學(xué)的高效性得到了有力的保障.

教師在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)本著鞏固、完善、綜合與提高的指導(dǎo)思想落實(shí)教學(xué).鞏固是對(duì)知識(shí)系統(tǒng)的強(qiáng)化，完善是對(duì)知識(shí)的查漏補(bǔ)缺，綜合是對(duì)知識(shí)連接點(diǎn)的體會(huì)，提高則是學(xué)生思維能力、概括能力、分析解題能力的不斷進(jìn)步，這些所有的環(huán)節(jié)都是知識(shí)體系逐步建構(gòu)而完善的過程，是學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力養(yǎng)成與提高的過程.除此以外，教師在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中還應(yīng)緊緊圍繞學(xué)生思維的發(fā)展這一核心進(jìn)行教學(xué)，并使得課堂復(fù)習(xí)更為科學(xué)而有效.F