☉江蘇省無錫市堰橋高級中學 郭桂霞

眾所周知，數(shù)學解題是一項復雜的全面性工作.從高一開始，我們不難發(fā)現(xiàn)懂而不會對于學生而言漸漸成為一種普遍現(xiàn)象，從而引發(fā)了教師們普遍的教學思考.筆者發(fā)現(xiàn)一個有趣的教學現(xiàn)象：不少教師在教高一學生的時候，往往將題型教學演繹得非常深刻，讓學生通過熟練操作各種類型的題型以便獲得一定的數(shù)學理解.

這種方式不能說完全無效，在短時間內(nèi)有一定的效果，但隨著知識廣度的鋪開和深度的加深，這種題型教學往往讓學生深陷學習的困境.讓其對于數(shù)學學習的興趣也不斷降低，違背了課程標準的教學理念.從懂而不會開始，到知識的理解，到底怎么處理才能獲得思維的發(fā)展？筆者結(jié)合自身的教學實踐和思考，與大家交流.

一、抽象與具體的引導

高中數(shù)學一直是以感性認知為基礎的抽象知識深化，但是對于不少學生的學習而言，如何從知識的感性認知達到理性的思考，是我們教學需要關注的.從大量教育學研究資料中顯示：學生對于知識往往處于最為基本的感性認知狀態(tài)，概念的理性深化不通過問題的思考是無法感受到的，在教學中合理地設計具體問題和抽象問題的交替，有助于提高學生利用數(shù)學概念解決抽象問題的思維能力.

例1（1）函數(shù)f（x）的定義域為（1，2），求函數(shù)f（x+2）的定義域.

（2）函數(shù)f（x+1）的定義域為（-∞，1］∪［2，+∞），求函數(shù)f（x-1）的定義域.

（3）函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則函數(shù)y=f（x）的圖像關于________對稱.

（4）函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b，則函數(shù)y=f（x）的圖像關于________對稱.

思考：這是筆者在抽象函數(shù)一節(jié)中給出的四個小問題.從學生已經(jīng)學習的基礎知識來看，學生理解函數(shù)的定義域及函數(shù)的對稱性，但這些知識都是基于具體函數(shù)模型中存在，即學生需要依賴函數(shù)的具體解析式.如何在抽象的函數(shù)中引導學生理解函數(shù)定義域與函數(shù)對稱性？

分析：對于問題（1）、（2），教師給出了基礎知識的再回顧：第一，何為定義域？定義域指的是函數(shù)關系中自變量的取值范圍，因此問題解決過程中始終要理解，定義域指的是自變量x，如函數(shù)f（x+2）的定義域所求的是“x”的范圍，而不是“x+2”的范圍；其次，在解決問題過程中，不難發(fā)現(xiàn)整體思想的運用呈現(xiàn)出的重要性，因為對于法則“f”來說，我們勢必要關注其針對的整體，即法則“f”下兩個整體部分的范圍的一致性，如“函數(shù)f（x+1）”和“函數(shù)f（x-1）”中，“x+1”和“x-1”的取值范圍是一致的.

對比：上述分析是從函數(shù)的抽象角度實施的，對于學生而言，如何將這種抽象落實到每個學生的頭腦中呢？顯然對于高一學生而言，是有些困難的.因此，我們需要加強思維直覺化的引導，即具象化.筆者開發(fā)了問題（1）和問題（2）的具體特征形態(tài)，如下表：

函數(shù) 具體感知 抽象再現(xiàn)f（x+1）的定義域為（-∞，1］∪［2，+∞）即 f（x+1）中 的x滿足 x≤1或x≥2 f（x）的定義域為（-∞，2］∪［3，+∞）■令f（x+1）=（x-1）（x-2）即 f（x）中 的 x滿 足 x≤2或x≥3 f（x-1）的定義域為（-∞，3］∪［4，+∞）類比■則f（x）=（x-2）（x-3）即 f（x-1）中 的x滿足 x≤3或x≥4數(shù)學思想 解決抽象函數(shù)時，關注整體思想的運用，這里自變量的范圍是一樣的■則f（x-1）=（x-3）（x-4）

問題（3）和問題（4），見下表：

2對稱f（a+x）+f（a-x）=2b令f（x）=x驗證點（a，b）對稱函數(shù)性質(zhì) 具體感知 抽象再現(xiàn)f（a+x）=f（b-x）令f（x）=x2驗證直線x=a+b 類比

意圖：解題教學最核心的是要體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)，面向?qū)W生最重要的是要以生為本的設計.筆者以為教學要堅持這樣的初衷，才能獲得最大的教學效率.問題（1）和（2）這樣的抽象函數(shù)，對于學生而言，初學者未必一定要鉆研抽象過程的轉(zhuǎn)變，更能從直覺思維的視角進行函數(shù)模型的具象化，這樣對于學生解決問題和進一步理解后續(xù)抽象函數(shù)定義域有了更好的鋪墊；問題（3）和（4）是函數(shù)對稱性抽象表述，同樣通過建立具體的函數(shù)模型，我們可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)具象化之后，學生對于抽象表述的認知達到了理解的地步，進而通過具體加深抽象問題理解.

二、幾何與代數(shù)的引導

數(shù)學強調(diào)的是代數(shù)和幾何的雙重學習，對中學數(shù)學來說，哪一個方面更為側(cè)重呢？筆者從以往大量研究資料數(shù)據(jù)認為，代數(shù)在基本面的運算上要求更多一些，而在壓軸小題的解決方向上，幾何味道側(cè)重會更多一些，因此對于學生思維的引導要注重雙管齊下，有的放矢.筆者以具備代數(shù)和幾何雙重特性的向量小題舉例說明.

例2 （1）設e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e，e的夾角為最大值等于________.12

（2）設向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a·b=-1，〈a-c，b-c〉2=60°，則|c|的最大值等于________.

分析：從問題給出的形態(tài)來看，學生的直覺思維是怎么樣的呢？對于問題（1），筆者作過統(tǒng)計研究，大量學生的直覺思維是代數(shù)化，即選擇代數(shù)特性作為入手方向，這也是正確的第一選擇；作為對比的問題（2），學生顯得有些手足無措，因為該問題代數(shù)化的方式顯得有些困難了.對比代數(shù)解答，繼續(xù)分析.

問題（2）代數(shù)解法：可以從〈a-c，b-c〉=60°及數(shù)量積出發(fā)，利用不等關系及均值不等式求|c|的最值.由題意［1-（a+b）·c+|c|2］，結(jié)合上述兩式得a·b-（a+b）·c+［1-（a+b）·c+|c|2］，化簡，得|c|≤2+（a+b）·c≤2+|a+b·||c|=2+|c|，得|c|2-|c|-2≤0?|c|≤2，即最大模長為2.

思考：通過對比我們不難發(fā)現(xiàn)，這樣的求解對于絕大多數(shù)學生來說，都是比較困難的.問題（1）如果能在函數(shù)視角下尚能形成降元，學生還能基本解決，問題（2）則顯得代數(shù)化非常困難，那么教師必須引導學生思考核心問題：中學數(shù)學在小題的考查上，更多側(cè)重的是什么角度？顯然是幾何化的方向.可以這么說，平面幾何在高中數(shù)學中的影響力往往潛伏在知識中，讓學生體會這種思維轉(zhuǎn)變的過程，加強解題思維的引導，這才是例題教學的關鍵.問題（1）幾何解法：不妨設x≠0，由b=xe1+ye2，x，y∈，結(jié)合平行四邊形法則（如圖1）的最大值為2.

圖1

圖2

問題（2）幾何解法：向量a，b滿足夾角120°，且a-c與b-c的夾角是60°，以四點共圓來建構(gòu)圖形.如圖2，設∠ACB=60°，可知點C的軌跡是優(yōu)弧上一動點，顯然當C為優(yōu)弧A的中點時|取到最大值，即為O，A，B，C四點所在圓的直徑.易得|—，在△ABC中，由正弦定理得

意圖：通過幾何角度和代數(shù)角度問題解決的對比，引導學生解題思維的重要方向，如果在思維上缺乏思考，那么必須在運算上花費較大的代價；反之，若能考慮幾何屬性，則代數(shù)運算就會降低，從而獲得思維的開發(fā).總之，解題教學要引導學生思考、思維的變化，筆者認為文中兩個大方向是不可改變的.數(shù)學本身就是代數(shù)和幾何的選擇、具體到抽象的深化，因此我們多做一番教學思維的啟發(fā)、多嘗試一些思維開發(fā)的引導，對于學生思考問題、解決問題可以帶來更為普遍的方向性，從而讓學生理解思考的重要性.至少對中學數(shù)學來說，筆者認為幾何味道對于解決問題來說顯得更為突出一些，這也是初等數(shù)學的特性之一.最后，思維引導還需要做好以下方面：比如，更為廣泛的知識結(jié)論的積累，開拓眼界、關注結(jié)論對于問題的解決是顯而易見的，有了多方面的積累自然能打開更為寬廣的思路，解題思維的形成也是自然而然的事.

參考文獻：

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