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      幾類三角函數(shù)有理式不定積分的求法

      2018-02-14 04:03:04譚香
      關(guān)鍵詞:不定積分三角函數(shù)

      譚香

      【摘要】 三角函數(shù)有理式不定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn),本文主要將幾種常見的三角函數(shù)有理式的不定積分進(jìn)行了分類,針對每種類型總結(jié)出了具體的計(jì)算方法.

      【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù);不定積分;湊微分法;分部積分法

      由u(x),v(x)及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為關(guān)于u(x),v(x)的有理式,并用R(u(x),v(x))表示.∫R(cosx,sinx)dx是三角函數(shù)有理式的不定積分,解決這類問題,比較常用的方法是通過萬能公式代換,將其轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分,但有時(shí)計(jì)算非常煩瑣.本文主要將幾種常見的三角函數(shù)有理式的不定積分進(jìn)行了分類,針對每種類型總結(jié)出了具體的計(jì)算方法.

      一、不定積分∫fn(x)dx的計(jì)算方法(其中f(x)為三角函數(shù),n∈ Z ,n≥2)

      (一)f(x)=sinx或f(x)=cosx

      一般來說,對于不定積分∫sinnxdx和∫cosnxdx,若n為奇數(shù)時(shí),則可將奇數(shù)次冪因子拿出一個(gè)與dx湊微分,然后積分.若n為偶數(shù)時(shí),則可先利用倍角公式降冪,然后再進(jìn)行計(jì)算,或者利用分部積分法降低f(x)的次數(shù),求得遞推公式,然后利用遞推公式,求出∫fn(x)dx.

      例1 ??求∫sin4xdx.

      解 ?法一:∫sin4xdx=∫? 1-cos2x 2? 2dx

      =∫ 1+cos22x-2cos2x 4 dx= x-sin2x 4 +∫ 1+cos4x 8 dx

      = 3x 8 - sin2x 4 + sin4x 32 +c;

      法二:∫sin4xdx=-∫sin3xdcosx

      =-sin3xcosx+3∫sin2xcos2xdx

      =-sin3xcosx+3∫sin2x(1-sin2x)dx

      =-sin3xcosx+3∫sin2xdx-3∫sin4xdx

      =-sin3xcosx+3? x 2 - sin2x 4? -3∫sin4xdx.

      從而可得∫sin4xdx= -sin3xcosx 4 + 3 8 x- 3 16 sin2x+c.

      例2 ??求∫cos3xdx.

      解 ?∫cos3xdx=∫cos2xd(sinx)=∫(1-sin2x)d(sinx)

      =sinx- sin3x 3 +c.

      (二)f(x)=tanx或f(x)=cotx

      對于不定積分∫tannxdx(或∫cotnxdx),可將二次冪因子tan2x(或cot2x)替換為sec2x-1(或csc2x-1),然后拆項(xiàng),一部分湊微分,另一部分降低f(x)的次數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

      例3 ??求∫tan4xdx.

      解 ?∫tan4xdx=∫tan2x(sec2x-1)dx

      =∫tan2xsec2xdx-∫tan2xdx

      =∫tan2xd(tanx)-∫(sec2x-1)dx

      = tan3x 3 -tanx+x+c.

      例4 ??求∫cot5xdx.

      解 ?∫cot5xdx=∫cot3x(csc2x-1)dx

      =∫cot3xcsc2xdx-∫cot3xdx

      =-∫cot3xd(cotx)-∫cotx(csc2x-1)dx

      =- cot4x 4 +∫cotxd(cotx)+∫cotxdx

      =- cot4x 4 + cot2x 2 +ln| sinx|+c.

      (三)f(x)=secx或f(x)=cscx

      對于不定積分∫secnxdx(或∫cscnxdx),若n為偶數(shù)時(shí),可將二次冪因子sec2x(或csc2x)拿出一個(gè)與dx湊微分,然后積分.若n為奇數(shù)時(shí),則可利用分部積分法降低f(x)的次數(shù),求得遞推公式,然后利用遞推公式,求出∫fn(x)dx.

      例5 ??求∫csc4xdx.

      解 ?∫csc4xdx=-∫csc2xdcotx=-∫(1+cot2x)dcotx

      =-cotx- cot3x 3 +c.

      例6 ??求∫sec3xdx.

      解 ?首先∫secxdx=ln|secx+tanx|+c;

      ∫sec3xdx=∫secxdtanx=secxtanx-∫secxtan2xdx

      =secxtanx-∫secx(sec2x-1)dx

      =secxtanx-∫sec3xdx+∫secxdx

      =secxtanx-∫sec3xdx+ln|secx+tanx|.

      從而可得∫sec3xdx= secxtanx+ln|secx+tanx| 2 +c.

      二、不定積分∫sinmxcosnxdx的計(jì)算方法(m,n∈ Z +)

      一般說來,對于不定積分∫sinmxcosnxdx,若m和n至少有一個(gè)為奇數(shù)時(shí),則可將奇數(shù)次冪因子拿出一個(gè)與dx湊微分,然后積分.若m和n均為偶數(shù)時(shí),則可先利用倍角公式降冪,然后再進(jìn)行計(jì)算.

      例7 ??求∫sin2xcos5xdx.

      解 ?∫sin2xcos5xdx=∫sin2xcos4xd(sinx)

      =∫sin2x(1-sin2x)2d(sinx)

      =∫sin2x(1-2sin2x+sin4x)d(sinx)

      =∫(sin2x-2sin4x+sin6x)dx

      = sin3x 3 - 2sin5x 5 + sin7x 7 +c.

      例8 ??求∫sin2xcos2xdx.

      解 ?∫sin2xcos2xdx=∫? 1-cos2x 2??? 1+cos2x 2? dx

      =∫ 1-cos22x 4 dx=∫ sin22x 4 dx

      =∫ 1-cos4x 8 dx= x 8 - sin4x 32 +c.

      三、不定積分∫ sinmx cosnx dx的計(jì)算方法(m,n∈ Z +)

      對于不定積分∫ sinmx cosnx dx,若m為奇數(shù)時(shí),則可將分子拿出一個(gè)sinx與dx湊微分,然后進(jìn)行計(jì)算.若m為偶數(shù)時(shí),則可將分子寫為cosx的函數(shù),然后再根據(jù)本文第一部分∫fn(x)dx的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算.

      例9 ??求∫ sin3x cos5x dx.

      解 ?∫ sin3x cos5x dx=∫ (cos2x-1) cos5x d(cosx)

      =∫(cos -3 x-cos -5 x)d(cosx)=- 1 2cos2x + 1 4cos4x +c.

      例10 ??求∫ sin4x cos3x dx.

      解 ?∫ sin4x cos3x dx=∫ (1-cos2x)2 cos3x dx

      =∫ 1-2cos2x+cos4x cos3x dx=∫(sec3x-2secx+cosx)dx

      = secxtanx+ln|secx+tanx| 2 -2ln|secx+tanx|+sinx+c

      = secxtanx-3ln|secx+tanx| 2 +sinx+c.

      同理,不定積分∫ cosmx sinnx dx,∫tanmxsecnxdx等也可用上述方法求解,請讀者自行練習(xí).

      四、不定積分∫ 1 sinmxcosnx dx的計(jì)算方法(m,n∈ Z +)

      對于不定積分∫ 1 sinmxcosnx dx,經(jīng)常將1利用公式sin2x+cos2x =1進(jìn)行替換,然后拆項(xiàng)降低分母的次數(shù),從而簡化運(yùn)算.

      例11 ??求∫ 1 sin3xcos2x dx.

      解 ?∫ 1 sin3xcos2x dx=∫ sin2x+cos2x sin3xcos2x dx

      =∫ 1 sinxcos2x dx+∫ 1 sin3x dx

      =∫ sin2x+cos2x sinxcos2x dx+∫ 1 sin3x dx

      =∫ sinx cos2x dx+∫cscxdx+∫csc3xdx

      =∫ 1 -cos2x dcosx+∫cscxdx+∫csc3xdx

      = 1 cosx +ln|cscx-cotx|+ -cscxcotx+ln|cscx-cotx| 2 +c

      = 1 cosx + 3ln|cscx-cotx|-cscxcotx 2 +c.

      五、不定積分∫ sinx asinx+bcosx dx的計(jì)算方法(ab≠0)

      用萬能公式解這類問題雖然有效,但比較煩瑣,本文主要介紹以下兩種方法:

      1.可以通過待定系數(shù)法來求解,先將被積函數(shù)分解為

      sinx asinx+bcosx = A(asinx+bcosx)+B(asinx+bcosx)′ asinx+bcosx ,將A,B解出,從而原積分化為

      ∫Adx+∫ B asinx+bcosx d(asinx+bcosx),然后進(jìn)行計(jì)算.

      2.可以利用三角函數(shù)關(guān)系式將分母寫為兩角和的正弦,并將分子也化為同一角的三角函數(shù),然后拆項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算.

      例12 ??求∫ sinx 2sinx+cosx dx.

      解 ?先將被積函數(shù)分解為

      sinx 2sinx+cosx = A(2sinx+cosx)+B(2sinx+cosx)′ 2sinx+cosx ,

      整理得,sinx=(2A-B)sinx+(A+2B)cosx

      比較恒等式,有 2A-B=1,A+2B=0, ?解得,A= 2 5 ,B=- 1 5 .

      于是∫ sinx 2sinx+cosx dx

      =∫? 2 5 (2sinx+cosx)- 1 5 (2sinx+cosx)′ 2sinx+cosx dx

      =∫ 2 5 dx- 1 5 ∫ 1 2sinx+cosx d(2sinx+cosx)

      = 2 5 x- 1 5 ln|2sinx+cosx|+c.

      【參考文獻(xiàn)】

      [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,數(shù)學(xué)分析:第三版[M].北京:高等教育出版社,2001.

      [2]曾海福,一道不定積分題的九種解法[J].科技信息,2011(23):599.

      [3]劉桂蘭,季紅蕾,黃素珍.一道三角函數(shù)有理式的不定積分的解法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2015(19):104.

      [4]沈淑蘭.一類三角函數(shù)有理式的特殊積分方法[J].大慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),1996(4):22-23,26.

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