高考試題中的“數(shù)學運算素養(yǎng)”解析

閆佳潔 張定強

大數(shù)學核心素養(yǎng)之一，也是影響高考數(shù)學成績的重要因素.以近五年數(shù)學新課標全國理科卷Ⅱ為研究對象，對高考中數(shù)學運算素養(yǎng)的考查進行梳理，發(fā)現(xiàn)：數(shù)學運算基本貫穿高考解題過程，主要是對數(shù)學運算性質、運算方法、運算思路和演繹推理等方面的考查;結合歷年高考數(shù)學試題，解析數(shù)學運算素養(yǎng)中的理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結果的表現(xiàn)形態(tài)，提出了相應的教學建議.

【關鍵詞】數(shù)學運算素養(yǎng);試題解析;教學建議

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則、運用數(shù)學方法解決數(shù)學問題的素養(yǎng)[1]，并與數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)一起形成數(shù)學素養(yǎng).在問題解決的過程中，良好的數(shù)學運算好比通往數(shù)學思維和問題解決的高速公路，可以快捷地打開問題解決的大門，提高問題解決的速度和準確度.

數(shù)學運算作為數(shù)學核心素養(yǎng)之一，其重要性不言而喻.但目前高中生數(shù)學運算能力的現(xiàn)狀不容樂觀，經(jīng)常出現(xiàn)“會而不對，對而不全，全而不優(yōu)”的現(xiàn)象[2]，夏春南認為學生對運算的重視程度不夠以及教師教學中疏忽了對學生解題規(guī)范的訓練是造成這種現(xiàn)象的主要原因[3]，章建躍認為可以通過落實數(shù)學運算素養(yǎng)來改變高中生運算能力差的現(xiàn)狀，要注重數(shù)學運算的基本技能，要從“數(shù)系擴充的背景、內容、方法及其數(shù)學思想”處提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)[4]，不少研究者也認為高中生數(shù)學運算素養(yǎng)要從基本技能和思想方法上重點培養(yǎng)[2][5].數(shù)學高考作為探測學生數(shù)學學業(yè)質量的重要方式，對數(shù)學能力的考查采取以知識為基礎，以題為載體[6]的評價方式，因此透過高考這一視角就可以在一定程度上了解學生數(shù)學素養(yǎng)的真實水平.本文以近五年（2014—2018）數(shù)學新課標全國理科卷Ⅱ為研究對象，對高考試題中數(shù)學運算素養(yǎng)做一深度解析.

1 試題中的“數(shù)學運算素養(yǎng)”的整體呈現(xiàn)析理

數(shù)學高考是綜合考查學生高中階段數(shù)學學業(yè)質量水平的關鍵路徑，因此一道試題可能考查多個數(shù)學知識或數(shù)學素養(yǎng)，例如一道圓錐曲線題，要運用圓錐曲線知識，通過看圖、讀圖、推理、計算等方式來解決，包含了對直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)等的考查.數(shù)學運算作為解決問題的手段，是影響數(shù)學成績高低的重要因素，現(xiàn)就近五年高考數(shù)學試題中涉及數(shù)學運算素養(yǎng)的主要知識點進行梳理，以概述“數(shù)學運算素養(yǎng)”的整體呈現(xiàn).

由表1可知，每年的高考題都重視對數(shù)學運算素養(yǎng)的考查，小到運用運算公式進行數(shù)值計算，大到探究運算思路，選擇運算方法等，從考查方式來看，主要和其他知識點結合，運用記憶、理解、推理的方式溝通不同的知識點，建構問題解決的思路.

從橫向看，集合、復數(shù)、向量、指對冪函數(shù)等內容的考查以運算法則和性質定理為主，圓錐曲線、導數(shù)等內容的考查以運算思路和演繹推理為主，三角函數(shù)、解三角形、數(shù)列、概率統(tǒng)計等內容的考查以運算方法為主.從縱向看，每一知識領域的數(shù)學運算素養(yǎng)的考查都具有較強的繼承性，但是側重點有所不同.例如向量數(shù)量積運算幾乎每年的試題中都有所涉及，有的側重于考查定義，有的側重于坐標表示與運算;又如對導數(shù)運算的考查每年都涉及求導運算，但2014年、2016年重點考查運算的演繹推理品質，而2015年、2018年側重考查探究運算思路的能力，2017年則側重考查求得運算結果的能力.

2 試題中的“數(shù)學運算素養(yǎng)”考查重點例析

每一道試題都有其考查的重點，有的聚焦于重要數(shù)學概念、命題、思想、方法的理解和應用，有的注重數(shù)學本質及通性、通法的掌握.涉及到“數(shù)學運算素養(yǎng)”的試題也不例外，主要表現(xiàn)為對理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結果等方面的考查.

2.1理解運算對象的考查例析

理解運算對象就是要明確對誰進行運算，即了解運算對象的背景，理解運算對象的實質、幾何意義、相關數(shù)學思想以及相關聯(lián)的概念等，對運算對象的理解不是一蹴而就，而是由淺入深的過程，并通過運算過程加深對運算對象的理解和認知，從而明晰運算對象的所指和能指，感受運算對象的內涵和外延.解高考題的過程中，只有對運算對象及其特征做到心中有數(shù)，才能使運算自然順暢進行.

2.3探究運算思路的考查例析

運算思路是運算操作的路線圖，具有內在的邏輯性，蘊含著豐富的推理過程，不同的運算思路反映著不同的運算思維，運算思路通過運算方法與運算過程來體現(xiàn).運算思路是體現(xiàn)數(shù)學運算素養(yǎng)的精華，運算思路的探索是“解決數(shù)學問題的關鍵”[8]，運算的過程是反應、揭示規(guī)律的過程，是演繹推理的過程，通過探究運算思路，能夠促進數(shù)學思維發(fā)展;高考解題中，通常把一個大的運算問題分解為多個小問題運算的思路來解決，隨著每一步運算結果的出現(xiàn)，都會推進問題解決的進程，達到問題解決的目的.

例3（2018年·理第19題）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k（k>0）的直線l與C交于A，B兩點，AB=8.

（Ⅰ）求l的方程;

（Ⅱ）求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程.

分析本題考查拋物線與直線相交的問題.第一問運算的總體思路是設而不求，聯(lián)立方程求解并確定l的方程;第二問主要采用一般圓的方程確定方法，這一方法的關鍵在于求圓心坐標，即幾何問題代數(shù)化，這是本題中運算思維的第一步，也是關鍵一步，圓心確定的關鍵是數(shù)量關系的轉化，即圓與準線相切的基本條件可以通過半徑進行刻畫，通過勾股定理解決問題.在解題過程中，運算思路決定了解題方法的可行性和運算結果的準確性，尤其第二問會因為運算思路的偏差出現(xiàn)漏解的情況，求解過程中，不能因為拋物線的某一性質（以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切）就確定要求解的圓是以AB為直徑的圓，這一不嚴謹?shù)倪\算思路會直接導致運算結果不完整，正確的運算思路是在幾何圖形的情境中，深入對代數(shù)化的幾何圖形進行分析，靈活運用幾何特征和代數(shù)運算法則產(chǎn)生的.

2.4求得運算結果的考查例析

求得運算結果是正確理解運算對象、靈活運用運算法則、機智使用運算方法來解得正確答案的綜合體現(xiàn).求得運算結果的能力分為基本運算能力和綜合運算能力.基本運算能力主要考查運算技能，是根據(jù)已知量算出未知量的運算過程，考查基本運算的高考題重點不在運算，而在于知識本身，因此這一類題對于運算的要求以關注會算、算對及運算的速度為主.綜合運算能力基于基本運算能力之上，是理解運算對象、掌握運算方法、探究運算思路、求得運算結果的綜合體現(xiàn)，其中運算思路與方法是運算的正確性、運算量、運算的復雜性與技巧性的主要影響因素，對運算對象的理解程度是求得正確運算結果的充要條件，通過對運算對象的理解判斷運算結果是否都滿足條件是求得運算結果的一種品質，是學生嚴謹求實精神的一種表征.高考中對于綜合運算能力的要求較高，往往不只停留在數(shù)值和符號運算中，更是數(shù)學思維的表征，這類題通常設置在試卷的最后部分，運算在這類試題中充當?shù)慕巧帽壬眢w中的血液，連通了所有的解題思路和解題過程.

分析這是對數(shù)學運算素養(yǎng)綜合考查的一道題目，數(shù)學運算貫穿于整道題的解題過程.運算的主要思路是通過構造函數(shù)，研究函數(shù)的單調性和極值解決問題，運算的主要方法是用求導解函數(shù)單調性和極值，第一問通過將f（x）拆分成兩個函數(shù)的乘積，從而構造函數(shù)h（x）（假設構造的函數(shù)為h（x））并通過求導運算解得h（x）的極值，理解a在h（x）中的意義，求得a的大小;第二問運算利用極值、零點存在定理、分類討論思想等解決問題，通過每一步運算得到的結果提示進行邏輯推理，得到更加準確明晰的運算思路，因此運算的過程是揭示規(guī)律、邏輯推理的過程，在解題過程中運算使用頻率較高，難度較大.

3 教學建議

普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）把數(shù)學運算作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，顯現(xiàn)出數(shù)學運算在高中數(shù)學學習中的重要性，高考是學生學業(yè)素養(yǎng)的評價工具和手段，對高中課堂教學具有重要的導向作用，基于對高考試題中數(shù)學運算素養(yǎng)的解析，對數(shù)學運算素養(yǎng)的落實提出如下教學建議.

3.1觀念轉變，重視學生數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)

數(shù)學運算在90%的高考數(shù)學題目中均有所涉及，因此在日常教學中應高度重視對學生數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng).首先教師要正確理解數(shù)學運算的本質含義，數(shù)學運算素養(yǎng)不僅包含技能層面的數(shù)學運算知識，還包含認知層面的數(shù)學思維，對于高中生的教學更應該注重后者.教師要正確理解2015年出版的課程標準中“刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調細枝末節(jié)的內容”[9]的意義，避免雙基異化現(xiàn)象，在數(shù)學知識、思想、方法的設計與實施中，重視數(shù)學運算的設計與分析，不斷挖掘數(shù)學運算的本質;其次，數(shù)學運算不只是小學和初中的重要內容，應該明確數(shù)學運算在高中階段也是學生重要的學習內容，只是不同階段對學生數(shù)學運算的要求不同，在高中階段，運算中要凸顯演繹推理、數(shù)學思維品質的形成，通過數(shù)學運算發(fā)展學生的思維，同時應該關注數(shù)學運算技能階段性要求，在關注學生數(shù)學運算的準確、速度、方法的基礎上，幫助學生在問題解決中搭好數(shù)學運算這輛高速列車.

3.2聚焦核心，關注數(shù)學運算中數(shù)學思維發(fā)展

數(shù)學運算不是簡單的記公式背運算性質的技能，還要關注學生數(shù)學思維的發(fā)展.高中數(shù)學運算素養(yǎng)是繼義務教育階段之后對于數(shù)學運算素養(yǎng)的進一步提高，義務教育階段數(shù)學運算偏重于運算技能和算理，高中階段的數(shù)學運算教學應該更加關注運算中演繹推理過程和數(shù)學思維的培養(yǎng).高中階段數(shù)學運算在數(shù)系的擴充——復數(shù)和引入向量的運算兩部分內容上形成了兩次飛躍，豐富了數(shù)學運算，特別是帶有方向的向量運算使數(shù)學運算的內涵得到了拓展，對于這些數(shù)學運算的教學應該更加關注運算的的算理和背景、數(shù)學思想等內容，對比實數(shù)、自然數(shù)的運算，幫助學生更深刻地認識運算，關注數(shù)學運算的算理，發(fā)展學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)學生規(guī)范化思考問題的品質，幫助學生養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神[1]，同時通過解析幾何、導數(shù)等模塊的學習幫助學生體會數(shù)學運算是演繹推理的內涵，在運算中探究思路、選擇運算方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維.

參考文獻

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[9]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2015.