錢麗談 曹關(guān)明
【摘要】 在平面向量這一章的學(xué)習(xí)中,經(jīng)常會遇到一類以 a =λ b +μ c 為條件求最值的問題,本文借助A,B,C三點共線的充要條件是:有唯一實數(shù)對λ,μ,使OC =λOA +μOB ,其中λ+μ=1.得到了以下引理:給定三個不共線的平面向量OA ,OB ,OC ,滿足OC =λOA +μOB ,OA =mOA′ ,OB =nOB′ (m,n∈ R ),直線OC與直線A′B′交于點C′,則mλ+nμ= |OC | |OC′ | ,若|OC |為定值,則當|OC′ |最大時,mλ+nμ取得最小值,當|OC′ |最小時,mλ+nμ取得最大值.從而快速地解決了上述平面向量最值問題.
【關(guān)鍵詞】 平面向量;三點共線;最值;求解策略
一、問題的提出
在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)必修4平面向量時,遇到這樣一個問題:
如圖1所示,在正方形ABCD中,E為AB的中點,P為以A為圓心,AB為半徑的圓弧上的任意一點,設(shè)向量AC =λDE +μAP (λ,μ∈ R ),則λ+μ的最小值為(? ).
A. 1 2
B. 1 3
C. 1 4
D. 1 5
解法1? 如圖2所示,建立直角坐標系,
設(shè)正方形ABCD的邊長為1,P(cosθ,sinθ),
則AC =λDE +μAP =? 1 2 λ+μcosθ,-λ+μsinθ =(1,1),
解得λ= 2sinθ-2cosθ 2cosθ+sinθ ,μ= 3 2cosθ+sinθ ,
∴λ+μ= 3+2sinθ-2cosθ 2cosθ+sinθ =-1+ 3(sinθ+1) 2cosθ+sinθ ,
由題意,0≤θ≤ π 2 ,
∴0≤cosθ≤1,
0≤sinθ≤1,(λ+μ)′= 6+6sinθ-3cosθ (2cosθ+sinθ)2 >0,
∴λ+μ在θ∈ 0, π 2? 上是增函數(shù),
∴θ=0時,(λ+μ)min= 1 2 .
評注:上述解法思路清晰自然,但解答過程過于煩瑣,計算量太大,這時我們思考能否借助向量的幾何意義來給出問題的解答呢?
二、問題的探究
條件AC =λDE +μAP 是平面向量的線性表示,其幾何背景是平面向量基本定理:如果 e 1, e 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 a ,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使 a =λ1 e 1+λ2 e 2.與此定理有關(guān)的一個重要結(jié)論是三點共線的向量表示:A,B,C三點共線的充要條件是:有唯一實數(shù)對λ,μ,使OC =λOA +μOB ,其中λ+μ=1.由此,我們考慮構(gòu)造一個三點共線的圖形,得到以下新的解法:
解法2? 如圖3所示,將DE 平移至AF ,則AC =λAF +μAP ,
兩邊同時除以λ+μ,得
1 λ+μ AC = λ λ+μ AF + μ λ+μ AP ,
設(shè)AC′ = 1 λ+μ AC ,
則AC′ = λ λ+μ AF + μ λ+μ AP ,
由 λ λ+μ + μ λ+μ =1知,C′,F(xiàn),P三點共線,
又λ+μ= |AC | |AC′ | ,而|AC |= 2 ,所以當|AC′ |最大時,λ+μ取得最小值,
觀察圖像可知:當點P與點B重合時,|AC′ |max=2 2 ,故(λ+μ)min= 1 2 .
評注:與解法1相比,此法簡潔明了,且更具一般性.
三、解法的推廣
變式? 將上述問題變?yōu)椤扒螃?2μ的最小值”.
解? 如圖4所示,設(shè)點P′為以A為圓心,AE為半徑的圓弧上的任意一點,則AP =2AP′ ,
所以AC =λAF +2μAP′ ,
兩邊同時除以λ+2μ,
得 1 λ+2μ AC = λ λ+2μ AF + 2μ λ+2μ AP ,
設(shè)AC′ = 1 λ+μ AC ,
則AC′ = λ λ+μ AF + μ λ+μ AP ,
由 λ λ+2μ + 2μ λ+2μ =1知,C′,F(xiàn),P′三點共線,
觀察圖像可知:當點P與點E重合時(λ+2μ)min=2.
評注:利用三點共線的幾何意義,問題還可以進一步推廣到求mλ+nμ(m,n∈ R )的最值,給出引理.
引理? 如圖5所示,給定三個不共線的平面向量OA ,OB ,OC ,滿足OC =λOA +μOB ,OA =mOA′ ,OB =nOB′ (m,n∈ R ),直線OC與直線A′B′交于點C′,則mλ+nμ= |OC | |OC′ | ,若|OC |為定值,則當|OC′ |最大時,mλ+nμ取得最小值;當|OC′ |最小時,mλ+nμ取得最大值.
證明? OC =λOA +μOB =mλOA′ +nμOB′ ,
兩邊同時除以mλ+nμ,
得 1 mλ+nμ OC = mλ mλ+nμ OA + nμ mλ+nμ OB ,
設(shè)OD = 1 mλ+nμ OC ,由 mλ nλ+nμ + nμ mλ+nμ =1知,A,B′,D三點共線,
又因為OD ∥OC ,所以D點與C′點重合,
所以mλ+nμ= |OC | |OC′ | ,
因為|OC |為定值,所以當|OC′ |最大時,mλ+nμ取得最小值,當|OC′ |最小時,mλ+nμ取得最大值.
四、引理的應(yīng)用
運用以上引理,我們可以輕松解決一類向量最值問題的求解:
例1?? (2009年安徽)給定兩個長度為1的平面向量OA 和OB ,它們的夾角為120°,如圖6所示,點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB 上變動.若OC =xOA +yOB ,其中x,y∈ R ,則x+y的最大值是 .
解析? 如圖7所示,設(shè)直線OC與直線AB交于點C′,則x+y= |OC | |OC′ | .
由圖得,當OC ⊥AB 時,|OC ′|min= 1 2 ,
所以x+y的最大值為2.
改編? 如圖8所示,在扇形OAB中,∠AOB=60°,C為弧AB上的一個動點.若OC =xOA +yOB ,則x+3y的取值范圍是 .
解析? 如圖9所示,在線段OB上取一點B′,使OB =3OB′ ,設(shè)直線OC與直線AB′交于點C′,則x+3y= |OC | |OC′ | ,由圖得,當點C與點A重合時,|OC′ |max=1,x+3y取得最小值1;當點C與點B重合時,|OC′ |min= 1 3 ,x+3y取得最大值3,所以x+3y∈[1,3].
例2?? (2012年杭州二模)如圖10所示,A,B,C是圓O上三點,CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外一點D,若OC =mOA +nOB (m,n∈ R ),則m+n的取值范圍是(? ).
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,0)
解析? OC =mOA +nOB (m,n∈ R ),
兩邊同時除以m+n,得
1 m+n OC = m m+n OA + n m+n OB ,
設(shè)OC′ = 1 m+n OC ,
則OC′ = m m+n OA + n m+n OB ,
由 m m+n + n m+n =1知,C′,A,B三點共線,
又因為OC′ ∥OC ,所以D點與C′點重合,
又因為點D是CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的一點,
所以m+n=- |OC | |OD | ∈(-1,0).