用方程思想解決實(shí)際問(wèn)題

福建省南安市康美中學(xué) 戴燦陽(yáng)

一、用方程方法解決幾何問(wèn)題

例1如圖所示，用一塊長(zhǎng)方形鐵片，在它的四角上各自剪去一個(gè)邊長(zhǎng)是4cm的小正方形，然后把四邊折起來(lái)，恰好做成一個(gè)沒(méi)蓋的盒子。已知鐵片的長(zhǎng)是寬的2倍，做成的盒子容積是1536cm3，求這塊鐵片的長(zhǎng)和寬。

解析：本題是求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，已知是把該圖形折成長(zhǎng)方體并已知容積，長(zhǎng)方體的容積公式即為本題的等量關(guān)系式。

由已知，假設(shè)寬為xcm，則長(zhǎng)為2xcm，長(zhǎng)方體盒子的底面是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是（x-8）cm，寬為（2x-8）cm它的底面積為（x-8）（2x-8）cm2。長(zhǎng)方體的容積為1536 cm3，所以就可以列出方程：（2x-8）（x-8）×4=1536。

解此方程，求得方程的根并檢驗(yàn)，確定方程的根，從而求得這塊鐵片的長(zhǎng)和寬。

本題考查幾何體的容積，通過(guò)假設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，再利用長(zhǎng)方體的容積公式就得到了一元二次方程，利用一元二次方程的解法求出它的解，檢驗(yàn)答案的合理性，就解決了這個(gè)問(wèn)題。

例2求直線y=-x+2與直線y=3x-1的交點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：這種求函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題是與函數(shù)有關(guān)問(wèn)題中的一類(lèi)常見(jiàn)問(wèn)題，要直接利用函數(shù)圖象準(zhǔn)確地找出交點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)于尺規(guī)作圖的方法很難做到，把求直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)看作求方程組的解就可以解決了。

∴這兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）。

兩條直線的交點(diǎn)實(shí)際上就是它們的公共點(diǎn)，這和方程組的思路是相通的，即兩個(gè)方程的公共解，所以采用方程組的方法。

二、用方程思想解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

如華東師大（2008）版九年級(jí)（上）有一題：

例3陽(yáng)江市政府考慮在兩年后實(shí)現(xiàn)市財(cái)政凈收入翻一番，那么這兩年中財(cái)政收入的平均年增長(zhǎng)率應(yīng)為多少？

解析：本題要理解翻一番的意義?？梢约僭O(shè)原來(lái)的財(cái)政凈收入為a，兩年以后財(cái)政凈收入就是2a，再假設(shè)平均年增長(zhǎng)率為x，相等關(guān)系就是財(cái)政凈收入翻一番?？闪蟹匠蹋?/p>

A（1+x）2=2a。

解得方程的兩個(gè)解，檢驗(yàn)把不符合題意的解舍去，確定方程的解，從而求出這兩年的年平均增長(zhǎng)率。

本道問(wèn)題沒(méi)有一個(gè)數(shù)據(jù)，需要大膽假設(shè)，用什么不同的思路去思考問(wèn)題，最后找到方程的方法，要有不怕失敗的精神，才能使問(wèn)題得以解決。

例4某商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為80元的某種商品按每件100元出售，一天可售出100件，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低1元，其銷(xiāo)售量可增加10年。

（1）求商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)該商品原來(lái)一天可獲利多少元？

（2）若商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)該商品一天要獲利2160元，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？

解析：關(guān)于利潤(rùn)問(wèn)題，有公式：總利潤(rùn)＝每件商品的利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量，每件商品的利潤(rùn)=銷(xiāo)售單價(jià)-進(jìn)價(jià)。本題的關(guān)鍵是銷(xiāo)售量和銷(xiāo)售單價(jià)緊密相關(guān)，是一個(gè)函數(shù)關(guān)系，也是本題的難點(diǎn)，應(yīng)采用逐步解決、化繁為簡(jiǎn)的方法解決。（1）求出原來(lái)一天可獲利潤(rùn)是一個(gè)代數(shù)問(wèn)題，即：100×（100-80）＝2000（元）。而第（2）題應(yīng)綜合運(yùn)用兩個(gè)公式，利用（1）的方法及銷(xiāo)售量和銷(xiāo)售單價(jià)之間的關(guān)系，若假設(shè)每件應(yīng)降價(jià)x元，則依據(jù)題意“每降低1元，其銷(xiāo)售量可增加10件”得：銷(xiāo)售量為(100+10x)件，類(lèi)似（1）就可列方程：（100+10x）（100-80-x）＝2160。本方程是一元二次方程，求出它的解并檢驗(yàn)，就可以得到問(wèn)題（2）的答案了。

通過(guò)以上的例子我們可以看出，不論在代數(shù)或是幾何等數(shù)學(xué)分支，我們都可以利用方程的方法解決實(shí)際問(wèn)題，可見(jiàn)方程對(duì)于解決問(wèn)題的重要性。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡兒曾說(shuō)過(guò)：“自然界的一切問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，一切數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，而所有的代數(shù)問(wèn)題都可以歸納為方程問(wèn)題求解?！边@句話似乎說(shuō)得太絕對(duì)了，但無(wú)形之中又告訴我們：方程在數(shù)學(xué)中有著極其重要的地位，對(duì)解決問(wèn)題發(fā)揮著巨大作用，它是解決問(wèn)題的有力工具，它是一把頂省力的“杠桿”。 總而言之，方程對(duì)我們?nèi)粘Ｉ钇鹬浅Ｖ匾淖饔?，利用方程這個(gè)杠桿解決實(shí)際問(wèn)題，就可以起到事半功倍的功效。

[1]魯曉琴．談方程模型思想的滲透[J]．文化教育，2007（2）：36．

[2]張楚廷．?dāng)?shù)學(xué)文化[M]．北京：高等教育出版社，2002．