概述解析“孿生素?cái)?shù)猜想”之方法

貴州省務(wù)川中學(xué) 劉曉東 何長(zhǎng)勇 申學(xué)勤貴州省務(wù)川縣實(shí)驗(yàn)學(xué)校 王若仲

一 、方法的基本思路

以偶數(shù)18對(duì)應(yīng)的情形為例說明這種基本思路，

（1）在上軸中篩除所有合數(shù)及篩除下軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)；

（2）在下軸中篩除所有合數(shù)及篩除上軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)；

（3）在上軸中篩除整數(shù)2及篩除下軸中2對(duì)應(yīng)的整數(shù)0，在下軸中篩除奇數(shù)1，篩除上軸中奇數(shù)1對(duì)應(yīng)的整數(shù)3。

最后得出偶數(shù)2=5-3=7-5=13-11，還剩下2（對(duì)）。

根據(jù)這個(gè)思路，對(duì)于任一偶數(shù)2m（m≥3）對(duì)應(yīng)的情形則有：

（1）在上軸中篩除所有合數(shù)及篩除下軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)；

（2）在下軸中篩除所有合數(shù)及篩除上軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)；

（3）在上軸中篩除整數(shù)2及篩除下軸中2對(duì)應(yīng)的整數(shù)0，在下軸中篩除奇數(shù)1，篩除上軸中奇數(shù)1對(duì)應(yīng)的整數(shù)3。

根據(jù)這個(gè)思路，證明存在偶數(shù)M（M＞2m），經(jīng)過篩選后，M對(duì)應(yīng)的情形中至少是增加了1對(duì)，增加的這1對(duì)就是孿生素?cái)?shù)。

二、奇合數(shù)和奇素?cái)?shù)的特性(初等數(shù)論13頁)

（1）對(duì)于任一較大的正整數(shù)M，設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，…，pt均為不大于的全體奇素?cái)?shù)（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），那么在區(qū)間中任何一個(gè)奇合數(shù)a，奇合數(shù)a均能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中某一個(gè)奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，…，t）整除。

（2）對(duì)于任一奇數(shù)M（M≥9），設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，…，pt均為不大于的全體奇素?cái)?shù)（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），若奇數(shù)M均不能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，…，t）整除，則奇數(shù)M為奇素?cái)?shù)。

三、方法的基本步驟

（1）奇合數(shù)和順篩及上軸和下軸

奇合數(shù)為既是奇數(shù)又是合數(shù)的正整數(shù)，如：15，21，35等，這樣的奇數(shù)統(tǒng)稱為奇合數(shù)。

順篩就是兩千多年前的埃拉托斯特尼篩法(初等數(shù)論16頁)。

平面上兩條平行且方向均向右的數(shù)軸，上軸為上一條數(shù)軸，下軸為下一條數(shù)軸。

（2）構(gòu)建篩選數(shù)學(xué)模型

對(duì)于任一偶數(shù)2m（m≥3），把它看成是由一條上軸與一條下軸平行且呈軸對(duì)稱的一個(gè)平面圖形， 這樣就構(gòu)建了一個(gè)篩選數(shù)學(xué)模型。如下圖：

（3）數(shù)學(xué)模型篩選原則

數(shù)學(xué)模型篩選原則：在上軸中篩除某些整數(shù)，這些整數(shù)在下軸中分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)也跟著篩除；在下軸中篩除某些整數(shù)，這些整數(shù)在上軸中分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)也跟著篩除。

（4）利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行篩選

把上軸中一個(gè)整數(shù)a和在下軸中與之對(duì)應(yīng)的整數(shù)b稱為一對(duì)（組）。對(duì)于正實(shí)數(shù)x，符號(hào)〔x〕記為不大于x的最大正整數(shù)(十章數(shù)論50頁)。

對(duì)于偶數(shù)2m（2m=W），設(shè)素?cái)?shù)p0，p1，p2，p3，…，pt均為不大于偶數(shù)2m的全體素?cái)?shù)（pi＜pj，i＜j，i、j=0，1，2，3，…，t），t∈N。那么偶數(shù)2m對(duì)應(yīng)的篩選數(shù)學(xué)模型，如下圖：

為了便于分辯，改為如下圖：

其實(shí)p1=p1′，p2=p2′，p3=p3′，…，pt=pt′。在上軸中篩除q的倍數(shù)與在下軸中篩除q的倍數(shù)是不等同的。若轉(zhuǎn)換到篩除對(duì)數(shù)上來分析，上軸上的情形和下軸上的情形要區(qū)別分析計(jì)算。

按照篩選原則篩選：

（1）在上軸中篩除偶素?cái)?shù)p0的所有倍數(shù)，下軸中的全體偶數(shù)一同被篩除，篩選后則剩下：W-〔W÷p0〕=W（1-1÷p0）（對(duì)）。

（2）在上軸中篩除奇素?cái)?shù)p1的所有倍數(shù)及篩除下軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)，再篩選后剩下：W-〔W÷p0〕-〔W÷p1〕+〔W÷（p0p1）〕。其中，〔W÷p0〕與〔W÷p1〕，W減〔W÷p0〕時(shí)，〔W÷（p0p1）〕已減了一次，減〔W÷p1〕時(shí)，〔W÷（p0p1）〕又減了一次，故要返回一次。

（3）在下軸中篩除奇素?cái)?shù)p1′的所有倍數(shù)及篩除上軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)再篩選后剩下：W-〔W÷p0〕-〔W÷p1〕+〔W÷（p0p1）〕-〔W÷p1′〕+〔W÷（p0p1′）〕=W-〔W÷p0〕-2〔W÷p1〕+2〔W÷（p0p1）〕≈〔W（1-1÷p0）（1-2÷p1）〕（對(duì)）。減〔W÷p1′〕時(shí)，〔W÷（p0p1）〕多減了一次，又要返回一次。

（4）在上軸中篩除奇素?cái)?shù)p2的所有倍數(shù)及篩除下軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)；在下軸中篩除奇素?cái)?shù)p2′的所有奇數(shù)倍及篩除上軸中它們分別對(duì)應(yīng)的奇數(shù)，再篩選后剩下：W-〔W÷p0〕-〔W÷p1〕+〔W÷（p0p1）〕-〔W÷p1′〕+〔W÷（p0p1′）〕-〔W÷p2〕-〔W÷p2′〕+〔W÷（p0p2）〕+〔W÷（p1p2）〕+〔W÷（p1′p2）〕+〔W÷（p0p2′）〕+〔W÷（p1p2′）〕+〔W÷（p1′p2′）〕-〔W÷（p0p1p2）〕-〔W÷（p0p1′p2）〕-〔W÷（p0p1p2′）〕-〔W÷（p0p1′p2′）〕=W-〔W÷p0〕-2〔W÷p1〕+2〔W÷（p0p1）〕-2〔W÷p2〕+2〔W÷（p0p2）〕+4〔W÷（p1p2）〕-4〔W÷（p0p1p2）〕≈〔W（1-1÷p0）（1-2÷p1）（1-2÷p2）〕（對(duì)）。

（5）在上軸中篩除奇素?cái)?shù)pt的所有倍數(shù)及篩除下軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)，在下軸中篩除奇素?cái)?shù)pt的所有倍數(shù)及篩除上軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)，最后剩下：W-〔W÷p0〕-2〔W÷p1〕+2〔W÷（p0p1）〕-2〔W÷p2〕+2〔W÷（p0p2）〕+4〔W÷（p1p2）〕-4〔W÷（p0p1p2）〕-2〔W÷p3〕+2〔W÷（p0p3）〕+4〔W÷（p1p3）〕+4〔W÷（p2p3）〕-4〔W÷（p0p1p3）〕-4〔W÷（p0p2p3）〕-8〔W÷（p1p2p3）〕+8〔W÷（p0p1p2p3）〕-2〔W÷p4〕+…-2〔W÷pt〕+2〔W÷（p0pt）〕+4〔W÷（p1pt）〕+4〔W÷（p2pt）〕+4〔W÷（p3pt）〕+…+4〔W÷（pt-1pt）〕-4〔W÷（p0p1pt）〕-4〔W÷（p0p2pt）〕-…+（-1）t-12t〔W÷（p0p1p2p3…pt-1pt）〕≈〔W（1-1÷p0）（1-2÷p1）（1-2÷p2）（1-2÷p3）…（1-2÷pt-1）（1-2÷pt）〕（對(duì)）。

四、判別孿生素?cái)?shù)無窮多

對(duì)于前面闡述的篩法，在轉(zhuǎn)換到計(jì)算篩除對(duì)數(shù)時(shí)，有兩種情形被計(jì)算多篩除了：

（1）在素?cái)?shù)p0，p1，p2，p3，…，pt之中存在的孿生素?cái)?shù)被全部計(jì)算篩除了。

（2）“上軸中的奇合數(shù)-下軸中的奇合數(shù)=2”的情形被重復(fù)計(jì)算了。

就是計(jì)算篩除多了。也影響不到判別孿生素?cái)?shù)無窮多。

現(xiàn)假定孿生素?cái)?shù)只有有限多，不妨設(shè)相當(dāng)大的素?cái)?shù)pt之后不存在孿生素?cái)?shù)，

根據(jù)奇合數(shù)和奇素?cái)?shù)的特性，可設(shè)偶數(shù)2m=pt2+1，則素?cái)?shù)p0，p1，p2，p3，…，pt均為不大于的全體素?cái)?shù)（pi＜pj，i＜j，i、j=0，1，2，3，…，t），t∈N。根據(jù)前面的篩法情形，則有Y=〔2m（1-1÷p0）（1-2÷p1）（1-2÷p2）（1-2÷p3）…（1-2÷pt-1）（1-2÷pt）〕。因?yàn)橛邢铝袃煞N情形被計(jì)算多篩除了：

（1）在素?cái)?shù)p0，p1，p2，p3，…，pt之中存在的孿生素?cái)?shù)被全部計(jì)算篩除了。

（2）“上軸中的奇合數(shù)-下軸中的奇合數(shù)=2”的情形被重復(fù)計(jì)算篩除了。

這樣我們就可以得出結(jié)論：假定孿生素?cái)?shù)只有有限多不能成立。

[1]閔嗣鶴，嚴(yán)士健．初等數(shù)論[M]．北京：人民教育出版社，1983（02）．

[2]戎士奎．十章數(shù)論[M]．貴陽：貴州教育出版社，1994（09）．