王秋燕

【摘 要】線段圖是解決行程問(wèn)題的重要工具，它既直觀，又抽象，對(duì)學(xué)生分析其中的數(shù)量關(guān)系有重要的幫助。在梳理教材中關(guān)于解決行程問(wèn)題運(yùn)用線段圖的筆墨不足之虞，解構(gòu)教材內(nèi)容，重新規(guī)劃教學(xué)，突出“線段圖”在解決行程問(wèn)題中的作用。經(jīng)歷“會(huì)仿”“會(huì)畫(huà)”“會(huì)用”三個(gè)階段，力求將線段圖內(nèi)化為學(xué)生解決行程問(wèn)題主動(dòng)運(yùn)用的有效工具。

【關(guān)鍵詞】線段圖；行程問(wèn)題；內(nèi)化

一、一道題目引發(fā)的思考

四年級(jí)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)時(shí)，試卷里有一道應(yīng)用題：小明開(kāi)車(chē)從A城出發(fā)去B城，行駛了2小時(shí)后，他超過(guò)了中點(diǎn)20千米，還有100千米就將到達(dá)B城，按照這樣的速度，小明到達(dá)B城后馬上返回A城，一共用了多少時(shí)間？讓學(xué)生試做，全班36人幾乎全軍覆沒(méi)。是學(xué)生不能審題，還是沒(méi)有基本的解題思路？筆者隨機(jī)選擇了不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生進(jìn)行訪談，尋找錯(cuò)因，學(xué)生均說(shuō)這一道題目信息比較多。還有一些詞，如“超過(guò)”“中點(diǎn)”等詞不知道在算式中怎么表達(dá)。接著，筆者一邊讀題，一邊給學(xué)生示范畫(huà)線段圖，當(dāng)畫(huà)好線段圖后，讓學(xué)生解答。6位學(xué)生中有4位獨(dú)立解答正確。還有2位不會(huì)做的學(xué)生，依據(jù)線段圖再適當(dāng)輔導(dǎo)后，也會(huì)正確列式了。看來(lái)，在解決行程問(wèn)題時(shí)，如果學(xué)生能夠依據(jù)信息有序正確地畫(huà)出線段圖，就可以發(fā)現(xiàn)這些信息之間的聯(lián)系，自然而然就找到解決問(wèn)題的方法。

二、教材中行程問(wèn)題的梳理

為更系統(tǒng)地落實(shí)用線段圖解決行程問(wèn)題的教學(xué)，將線段圖與行程問(wèn)題無(wú)縫銜接，分析行程問(wèn)題內(nèi)容間的聯(lián)系與發(fā)展，以期更系統(tǒng)地在其中落實(shí)線段圖的教學(xué)。筆者梳理了人教版教材中行程問(wèn)題的相關(guān)內(nèi)容。

（一）初步滲透

三年級(jí)教材中出現(xiàn)的有關(guān)走路、開(kāi)車(chē)、飛行等問(wèn)題只是行程問(wèn)題的雛形。教材通過(guò) “加、減、乘、除”“千米的認(rèn)識(shí)”以及“時(shí)、分、秒”等內(nèi)容逐步滲透行程問(wèn)題。最初的行程問(wèn)題也只是通過(guò)簡(jiǎn)單的加減法計(jì)算路程和時(shí)間，無(wú)須分析太復(fù)雜的關(guān)系。學(xué)習(xí)乘除法之后，題中會(huì)出現(xiàn)“速度”“路程”和“時(shí)間”之類(lèi)的名詞，這就要考慮它們之間的關(guān)系，利用乘除法的原理解決問(wèn)題。此時(shí)，教師就可適當(dāng)引入歸總線段圖來(lái)進(jìn)行教學(xué)，為以后學(xué)生實(shí)現(xiàn)線段圖的內(nèi)化做準(zhǔn)備。

（二）數(shù)量關(guān)系

四年級(jí)的行程問(wèn)題要求學(xué)生理解路程、時(shí)間、速度的概念以及它們之間的數(shù)量關(guān)系。從根據(jù)公式用已知量求未知量到分析題意求平均速度，學(xué)生行程問(wèn)題的學(xué)習(xí)路徑其實(shí)是從 “運(yùn)用固定公式”到“分析數(shù)量關(guān)系”的過(guò)程。行程問(wèn)題路線和方向的變化，使題目中的數(shù)量關(guān)系更加復(fù)雜，這就需要借用線段圖將物體的行駛過(guò)程直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，挖掘解決問(wèn)題的隱含條件，方能最終解決問(wèn)題。

（三）解題策略

進(jìn)入高段之后，教材越發(fā)注重學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力的發(fā)展。不同的行程問(wèn)題該用何種方法解決。為解決復(fù)雜的相遇、分手、追及與過(guò)橋等問(wèn)題，教材引入了行程路線圖。進(jìn)入六年級(jí)，隨著行程問(wèn)題變式的持續(xù)增多，相應(yīng)的方法也如雨后春筍般冒出，但以線段圖解決行程問(wèn)題始終是主流，并由于題型的復(fù)雜化，對(duì)學(xué)生畫(huà)圖的能力提出了更高的要求，線段圖的畫(huà)法更多樣，應(yīng)用更靈活。

三、用線段圖解決行程問(wèn)題的實(shí)踐

讓線段圖成為學(xué)生解決行程問(wèn)題的策略，關(guān)鍵要讓學(xué)生在碰到復(fù)雜關(guān)系的行程問(wèn)題時(shí)能想到畫(huà)圖解決問(wèn)題的好處，自覺(jué)把“畫(huà)線段圖”內(nèi)化為自己的解題策略，而這種意識(shí)不是一下子就能培養(yǎng)成的，需要在各個(gè)階段循序漸進(jìn)地慢慢滲透。因此，根據(jù)教材的編寫(xiě)，筆者構(gòu)建了操作運(yùn)行圖（見(jiàn)圖1），作為整個(gè)研究的指南，并在實(shí)際的行動(dòng)研究中加以細(xì)化和調(diào)整，從而形成具體的教學(xué)策略。

整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程分為三個(gè)階段：會(huì)仿（三年級(jí)）、會(huì)畫(huà)（四年級(jí)）和會(huì)用（五、六年級(jí)），以期達(dá)到對(duì)線段圖在行程問(wèn)題中初步體會(huì)、充分體驗(yàn)、靈活運(yùn)用的目標(biāo)，使行程問(wèn)題的教學(xué)效益最優(yōu)化。

（一） 會(huì)仿階段：教師引導(dǎo)，學(xué)畫(huà)簡(jiǎn)單的行程關(guān)系圖

在認(rèn)識(shí)了歸總問(wèn)題線段圖后，學(xué)生對(duì)線段圖的基本構(gòu)造有了一定的了解，此時(shí)可以將線段圖的應(yīng)用遷移到行程問(wèn)題中。

1.動(dòng)手學(xué)畫(huà)，掌握行程圖基本特征

線段圖的滲透需要把握時(shí)機(jī)，教師應(yīng)從早期一步計(jì)算的行程問(wèn)題開(kāi)始入手，教學(xué)生掌握行程線段圖的基本畫(huà)法和特征。

例題：小玲每天上學(xué)要騎7分鐘的自行車(chē)，她平均每分鐘騎185米，小玲家到學(xué)校的路程有多少米？

教師先引導(dǎo)學(xué)生用線段圖表示路程并匯報(bào)畫(huà)法，等學(xué)生匯報(bào)完后教師再補(bǔ)充要點(diǎn)。通過(guò)關(guān)鍵詞的引導(dǎo)訓(xùn)練學(xué)生畫(huà)圖，讓學(xué)生在糾錯(cuò)中掌握畫(huà)圖的方法，把抽象的文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為直觀的圖形，學(xué)生也在比較中初步體會(huì)到了畫(huà)圖的價(jià)值。

2.放手實(shí)踐，深刻體會(huì)“線段圖”的重要性

雖然學(xué)生更喜歡直觀地看圖思考，但學(xué)生的這種喜歡并未自覺(jué)成為學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖手段分析數(shù)量關(guān)系的動(dòng)力。因此要?jiǎng)?chuàng)設(shè)條件讓學(xué)生經(jīng)歷用線段圖成功解決問(wèn)題的體驗(yàn)過(guò)程。

在上面例題的基礎(chǔ)上，再出下面的練習(xí)：小玲坐公交車(chē)去上學(xué)，用了5分鐘就到學(xué)校，公交車(chē)每分鐘行多少米？

教師在無(wú)任何提示下請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成。大部分學(xué)生則用剛學(xué)的歸總線段圖分析數(shù)量關(guān)系，直觀的線段圖讓數(shù)量關(guān)系隨即清晰，求公交車(chē)的速度相當(dāng)于將路程重新分為5份，每份是多少米？思維發(fā)展水到渠成。

有了畫(huà)線段圖解決問(wèn)題有效性的成功體驗(yàn)，學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)了從“被畫(huà)圖”到“喜歡畫(huà)圖”的思維轉(zhuǎn)變。

（二）會(huì)畫(huà)階段：體驗(yàn)畫(huà)圖，充分感受圖之功效

在掌握了行程線段圖的基本畫(huà)法后，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分運(yùn)用這一技能，通過(guò)畫(huà)圖去理解題意，幫助解題。

1.化抽象為直觀

有些題目以長(zhǎng)串的純文字形式出現(xiàn)，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)較為抽象。比如習(xí)題：樂(lè)樂(lè)全家去游玩。汽車(chē)在高速公路上以100千米/時(shí)的速度行駛，2小時(shí)后進(jìn)入盤(pán)山公路，汽車(chē)以60千米/時(shí)的速度又行駛了2小時(shí)才到達(dá)目的地。這次行程有多長(zhǎng)？endprint

過(guò)長(zhǎng)的文字?jǐn)⑹鋈菀谆煜龑W(xué)生的思維，以至于不能厘清其中的數(shù)量關(guān)系。對(duì)此，教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)圖思考，找出正確的數(shù)量關(guān)系。

學(xué)生用兩條不同長(zhǎng)度的線段表示在兩段公路上行駛的路程，并由圖得到“行程的長(zhǎng)度就是高速公路與盤(pán)山公路上行駛的路程之和”的結(jié)論，題目迎刃而解。畫(huà)圖為學(xué)生正確探究數(shù)量關(guān)系提供了表象的支撐。

2.化隱性為顯性

四年級(jí)上冊(cè)第55頁(yè)第9題：王叔叔從縣城出發(fā)去王莊送化肥。去的時(shí)候用了3小時(shí)，已知去的速度是40千米/時(shí)，返回時(shí)用了2小時(shí)。從縣城到王莊有多遠(yuǎn)？原路返回時(shí)平均每小時(shí)行多少千米？

教師在上課時(shí)先將第一問(wèn)去掉，增加題目的難度，再出示題目，部分學(xué)生由于不能將3個(gè)條件聯(lián)系在一起，始終找不到解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

教師先讓學(xué)生用自己的方法描述王叔叔的行駛過(guò)程，有學(xué)生想到用線段圖表示，教師就順著學(xué)生的思路組織討論如何畫(huà)出來(lái)回的過(guò)程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用箭頭表示方向。最后從學(xué)生畫(huà)的兩種線段圖中得到隱含條件：往返的路程相等。通過(guò)畫(huà)圖，把隱藏的信息直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，幫助學(xué)生輕松突破了讀題中的難點(diǎn)。

3.化無(wú)序?yàn)橛行?/p>

面對(duì)多條件的問(wèn)題，線段圖還有助于整理題目中雜亂無(wú)章的條件，將這些條件有機(jī)串聯(lián)起來(lái)。比如習(xí)題：樂(lè)樂(lè)全家去外地游玩。7：30從家里出發(fā)，汽車(chē)在高速公路上每小時(shí)行駛100千米，11：30 到達(dá)目的地。返回時(shí)，由于到了晚上，汽車(chē)平均每小時(shí)少行20千米，若他們18：00 返回，他們到家是幾時(shí)？

此題跟之前的往返問(wèn)題相近，但這里的條件是時(shí)刻而非時(shí)間。教師引導(dǎo)學(xué)生先畫(huà)出線段圖并根據(jù)題意在相應(yīng)的位置標(biāo)注條件。學(xué)生從線段圖了解到出發(fā)用了4小時(shí)，只需求出返回時(shí)間即可。有了這個(gè)線索，學(xué)生馬上想到將此題轉(zhuǎn)化為之前所學(xué)的往返問(wèn)題并畫(huà)出相應(yīng)的線段圖。

通過(guò)線段圖，學(xué)生不僅將汽車(chē)的行駛過(guò)程直觀呈現(xiàn)，而且將題中的條件有機(jī)整合在一起，將一道關(guān)系復(fù)雜的行程問(wèn)題轉(zhuǎn)變成了普通的往返問(wèn)題，降低了難度。

（三）會(huì)用階段：自覺(jué)運(yùn)用，在復(fù)雜問(wèn)題中學(xué)會(huì)找數(shù)量關(guān)系

要使線段圖成為學(xué)生解決問(wèn)題的一種策略，線段圖需要在每個(gè)階段都能以一定的頻率出現(xiàn)，日積月累內(nèi)化為學(xué)生解決問(wèn)題主動(dòng)運(yùn)用的有效工具。

1.以“形”助陣，提煉等量關(guān)系

在四年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)了速度、時(shí)間和路程之間的數(shù)量關(guān)系后，五年級(jí)上冊(cè)“實(shí)際問(wèn)題與方程5”中，新教材安排了相遇問(wèn)題。

小林每分鐘騎0.25千米，小云每分鐘行0.2千米。小林家和小云家相距4.5千米。周日早上9：00兩人分別從家里騎自行車(chē)相向而行，兩人何時(shí)相遇？

教師先讓學(xué)生解釋“相向而行”的意思，有些學(xué)生就用線段圖的形式把兩個(gè)人的騎車(chē)過(guò)程記錄下來(lái)，然后觀察線段圖，學(xué)生能明顯地通過(guò)線段圖知曉兩人的路程和就等于4.5千米的總路程，根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系列出方程。

借助線段圖的分析，使學(xué)生掌握問(wèn)題的本質(zhì)，能在準(zhǔn)確理解等量關(guān)系的基礎(chǔ)上，建構(gòu)起行程問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而正確列出方程。因此，學(xué)生能主動(dòng)運(yùn)用“幾何直觀”去思考，說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)把線段圖當(dāng)作解決問(wèn)題的一種有效策略了。

2.靈活運(yùn)用，簡(jiǎn)化數(shù)量關(guān)系

此時(shí)，還應(yīng)該進(jìn)一步通過(guò)練習(xí)強(qiáng)化策略的有效性，使學(xué)生在碰到較復(fù)雜的行程問(wèn)題時(shí)，都能主動(dòng)想到運(yùn)用線段圖去解決。

練習(xí)：某地舉行長(zhǎng)跑比賽，運(yùn)動(dòng)員跑到離起點(diǎn)3千米處要返回到起跑點(diǎn)。領(lǐng)先的運(yùn)動(dòng)員每分鐘跑310米，最后的運(yùn)動(dòng)員每分鐘跑290米。起跑后多少分鐘這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員相遇？相遇時(shí)離返回點(diǎn)有多少米？

該練習(xí)題是為了擴(kuò)充學(xué)生對(duì)線段圖運(yùn)用的掌控能力。為了更清楚地描述過(guò)程，可以簡(jiǎn)化線段圖（如上圖），而不一定每次都要強(qiáng)調(diào)畫(huà)精準(zhǔn)的線段圖和每部分的完整，只要把過(guò)程意思描述清楚，清晰體現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系就行，強(qiáng)調(diào)線段圖的靈活性。

華羅庚先生說(shuō)過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休。線段圖作為幾何直觀的具體表現(xiàn)方式，有著極其重要的地位和作用。我們要從整體的角度分析教材，明確每一個(gè)階段的教學(xué)目標(biāo)，循序漸進(jìn)地實(shí)踐線段圖的教學(xué)價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 劉梅蘭. 從“用圖”到“構(gòu)圖”——小學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)初探[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2015（11）.

（浙江省杭州市蕭山區(qū)義蓬第一小學(xué) 311200）endprint