李贊華 ，劉韻婷

(沈陽理工大學(xué) a.理學(xué)院;b.自動化與電氣工程學(xué)院，沈陽 110159)

主動隊列管理(AQM)近年來受到越來越多的重視，其與TCP端到端的擁塞控制相結(jié)合是解決目前Internet 擁塞控制問題的一個主要途徑。隨機早期檢測(RED)算法是最早提出的AQM機制，因RED是典型的AQM開環(huán)控制策略，當(dāng)考慮網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的時延時此方法已不能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而網(wǎng)絡(luò)時延和網(wǎng)絡(luò)不確定性是網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中不可避免的。因此，出現(xiàn)了用小增益定理方法[1]來處理往返時延下的閉環(huán)擁塞控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，利用無限維系統(tǒng)理論[2]建立基于擁塞控制的AQM魯棒控制器的設(shè)計。文獻[3]針對擁塞控制提出了方法，給出了狀態(tài)反饋控制器設(shè)計，但系統(tǒng)的狀態(tài)不易獲得。文獻[4]研究了主動隊列管理的保性能控制，保性能控制問題只考慮干擾的存在，并未討論干擾的影響程度。雖然近年來在擁塞控制方面取得了很大進步，但有一些問題仍沒有充分地得到解決，其中一個重要問題就是擁塞控制算法在抑制干擾下的魯棒性問題。極小極大控制方法是抑制干擾的一種有效方法，文獻[5]針對廣義系統(tǒng)設(shè)計了極小極大控制器。極小極大控制是針對干擾和不確定性最壞的情形來討論如何控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但把極小極大控制方法應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中還很少見。本文針對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)主動隊列管理設(shè)計了極小極大控制器，使系統(tǒng)達到漸近穩(wěn)定。

1 系統(tǒng)描述與極小極大控制器的設(shè)計

動態(tài)的TCP模型[1]是由流體流和隨機微分方程建立起來的，此模型由一組非線性時滯微分方程描述為

(1)

式中W(t)、q(t)、τ(t)、C(t)、Tp、N、p(t)參數(shù)與文獻[1]中表述相同。假設(shè)C0是C(t)中的一個常值，而δC(t)(t)-C0看作是系統(tǒng)的一個未知干擾。

將式(1)在平衡點(W0,q0,p0)附近進行線性化處理[3]，線性化的系統(tǒng)動態(tài)方程為

(2)

式中：δW=W-W0;δq=q-q0;δp=p-p0;

C=C-C0。

為簡化系統(tǒng)表達式，記[δW(t)δq(t)]T=x(t),δp(t)=u(t),δC(t)=ω(t)，假設(shè)p(t)和C(t)中不存在時延，而狀態(tài)中存在時延，系統(tǒng)可表示為

(3)

式中：x(t)、u(t)、ω(t)、z(t)分別是狀態(tài)向量、控制輸入向量、外界干擾向量和控制輸出向量；d為在狀態(tài)上的時滯變量；φ(t)為相容連續(xù)函數(shù)。

系統(tǒng)(3)的第三式是系統(tǒng)時滯相容條件?？紤]如下形式的性能指標(biāo)函數(shù)：

其中ξT=[xT(t),xT(t-d)],Q=QT≥0,γ>0是給定常數(shù)。

定理對于給定的對稱矩陣Q≥0和常數(shù)，如果存在R=RT>0及對稱矩陣P，滿足：

(4)

(5)

證明：首先建立局部檢驗函數(shù)

(6)

選擇Lyapounov-Krasovskii泛函的形式如下：

ω*(t)=γ-2DTPx(t)

(7)

同理對式(7)關(guān)于u極小化得到

(8)

將式(7)和式(8)代入式(6)中得

(9)

由Schur補引理及式(4)，則式(9)可簡化為

(10)

將式(7)和式(8)代入式(3)后的閉環(huán)系統(tǒng)

=Ax(t)+A1x(t-d)

因此式(10)可以寫成

由文獻[6]中引理可知，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。由式(6)和式(9)得

因為帶有時滯的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，故有x(∞)=0,所以

因此本部分在定理中所給出的控制器即是使性能指標(biāo)上界達到極小的極小極大控制器，且使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

2 仿真

W0=4.5833,q0=500,p0=0.0952

把以上參數(shù)帶到式(3)的各個矩陣中，由定理的線性矩陣不等式解得控制器為

K=[-0.041 -0.0125]

在仿真里，窗口大小和隊列長度的初始值都設(shè)為零，利用H∞[3]和極小極大控制器來抑制有效鏈路容量上的相同的干擾。圖1為極小極大與H∞方法下的窗口和隊列的響應(yīng)及輸入。

圖1 極小極大與方法下的響應(yīng)及輸入

由圖1可以看到，圖1a中的窗口應(yīng)用極小極大控制器波動很小；圖1b的隊列在平衡點附近波動幅度也很小。由此可知，通過使用極小極大控制器，能更好的控制系統(tǒng)穩(wěn)定且使鏈路容量承受更持久和更大干擾。

3 結(jié)束語

針對支持網(wǎng)絡(luò)傳輸控制協(xié)議下的主動隊列管理網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，利用線性矩陣不等式方法給出了極小極大輸出反饋擁塞控制器，對比其他方法，極小極大方法比其他方法有更強的抑制干擾的能力，理論證明了此方法能使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定及干擾性能指標(biāo)達到極小值，通過仿真對比也說明了該方法的有效性。

[1] Hollot C V,Misra V,Towsley D,et al.Analysis and design of controllers for AQM routers supporting TCP flows[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2002(47):945-959.

[2] Quet P -F,?zbay H.On the design of AQM supporting TCP flows using robust control theory[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2004(6):1031-1036.

[3] Zheng F,Nelson J.An approach to the controller design of AQM routers supporting TCP flows[J].Automatica 2009(3):757-763.

[4] Qixin Zhu,Kaihong Lu,Yonghong Zhu.Guaranteed cost control of networked control systems under transmission control protocol with active queue management[J].Asian Journal of Control,2016,18(4):1546-1557.

[5] 姜囡.若干類不確定系統(tǒng)的極小極大控制的研究[D].沈陽：東北大學(xué),2006.

[6] 俞立.魯棒控制—線性矩陣不等式處理方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002.