朱勝強(qiáng)
解析幾何的本質(zhì)特征是用代數(shù)方法研究幾何問題,就是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究.這就使得許多過去看起來充滿技巧,沒有多少共性規(guī)律的問題的求解變得有章可循.
由于將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題后,求解主要依賴于代數(shù)手段,因此,運(yùn)算在解析幾何學(xué)習(xí)中所占分量極重,而運(yùn)算的優(yōu)化也顯得更為重要.下面讓我們來了解幾種較常見的優(yōu)化方法.
1.合理建系
將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,一般需借助坐標(biāo)系.當(dāng)題中沒有給定坐標(biāo)系時(shí),則需建立坐標(biāo)系.在不違反題意的前提下,適當(dāng)選取坐標(biāo)系,有時(shí)可以收到減少計(jì)算量的效果.
例1 如圖1,正方形ABCD中,M是以AB的中點(diǎn),MN⊥MD,BN平分∠CBE,其中E在AB的延長線上,試用解析法證明:MD=MN.
證法一 如圖2,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系xAy.設(shè)正方形邊長為a,則A(O,0),B(a,0),D(O,a),M(a/2,o).
證法二 如果將坐標(biāo)原點(diǎn)選為B,設(shè)正方形的邊長為a,建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系,則有D(-a,a),M(-a/2,o).
由于BN平分∠CBE,故可設(shè)N(m,m).由DM⊥MN,得kDM.kMN=-1.
從而有(a-0)/((-a-(-a/2))·(m-0)/((m-(-a/2))=-1,解得m=2.
再由兩點(diǎn)間距離公式,可證得MD=MN.
比較兩種不同的選取坐標(biāo)系的方法,后一種運(yùn)算量相對較小.事實(shí)上,在建立坐標(biāo)系時(shí),應(yīng)認(rèn)真觀察圖形,充分考慮圖形的一些基本特征.比如將圖形的對稱軸放在坐標(biāo)軸上,對稱中心放在原點(diǎn),特殊點(diǎn)盡可能多地放于坐標(biāo)軸上等等.本題中,∠CBE的頂點(diǎn)相比較而言較為特殊,故放在原點(diǎn),從而使角平分線條件變得更易于應(yīng)用.
2.數(shù)形結(jié)合
雖然解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題,但并不排斥幾何方法在解決問題中的應(yīng)用,思考問題時(shí),若能將代數(shù)、幾何方法有機(jī)結(jié)合起來,會使原本復(fù)雜的計(jì)算變得簡潔得多.
例2 如圖4,已知點(diǎn)A(3,o)及圓O:x2+y2=25,以A為直角頂點(diǎn)作Rt△ABC,B,C在圓上.求BC的中點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式.
解 如圖4所示,設(shè)M(x,y),連結(jié)OC,OM,AM.在Rt△ABC中,因?yàn)镸是BC的中點(diǎn),所以MA=1/2BC=MC,OM⊥BC.在Rt△OCM中,MC2+OM2=0C2.所以AM2+OM2=0C2.
義因?yàn)镸A2=(x-3)2+y2,OM2=x2+y2,OC2=25,
所以(x-3)2+y2+x2+y2=25.
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是:x2+y2-3x-8=0.
評注 這里利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半及過弦中點(diǎn)的直徑與弦垂直等幾何性質(zhì).先發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)的幾何特征,再將其化為代數(shù)關(guān)系,從而不必進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算便將問題解決.
我們在初中學(xué)習(xí)過平面幾何,對直線及圓的幾何性質(zhì)有一定的了解,因此,在遇到與它們有關(guān)的問題時(shí),可以多想一想有沒有幾何方法可將問題先化簡,然后再進(jìn)行必要的代數(shù)運(yùn)算.
3.利用直線系方程
解析幾何中常常會遇到過兩已知直線(曲線)交點(diǎn)的問題.習(xí)慣的做法是先求出交點(diǎn)的坐標(biāo),再以此為條件作進(jìn)一步思考.事實(shí)上,可用直線系方程來回避求交點(diǎn),簡化計(jì)算.什么是直線系方程呢?
若l1:A1x+B1y+C1=0,l:A2x+B2y+C2=0表示的是兩條相交于點(diǎn)P的直線,則方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2Y+C2)=o所表示的直線必定經(jīng)過點(diǎn)P(這些直線中不包括直線l2).
例3 求過兩直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點(diǎn),且分別滿足下列條件的直線的方程.
(1)過點(diǎn)A(2,1);(2)與直線3x-4y+5=0垂直.
解 (1)點(diǎn)A不在直線x+y-2=0上,則設(shè)所求的直線方程為(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0.
再將(2,1)代入,可得2-2+4+λ(2+1-2)=0,解得λ=-4.
故所求直線方程為x+2y-4=0.
(2)將(1)中所設(shè)直線系方程整理為(1+λ)x+(λ-2)y+(4-2λ)=O,得此直線的斜率為k=(-1-λ)/(λ-2).
因?yàn)樵撝本€與直線3x-4y+5=0垂直,所以-(1+λ)/(λ-2)·3/4=-1,
解得λ=11.故所求的直線方程為4x+3y-6=0.
如果將直線系中的直線改為網(wǎng)或其他曲線,也會得到類似的結(jié)論.
4.設(shè)而不求
在直線系方程中,我們通過合理地設(shè)直線方程,回避了求交點(diǎn)坐標(biāo).但有些問題中,可能需要用交點(diǎn)坐標(biāo)來建立關(guān)系式,所以無法回避.此時(shí)可先將交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來,但并不急于求出,只是讓其參與代數(shù)變形.有時(shí)甚至問題已經(jīng)解決了,也沒有真的要求出交點(diǎn)坐標(biāo).這樣的簡化運(yùn)算的策略稱為“設(shè)而不求”.下面我們以大家熟悉的點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)為例,看看此法的運(yùn)用.
例4 求點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=O的距離.
分析 如圖5,過點(diǎn)P作直線l1⊥l,垂足為Q,則線段PQ的長就是點(diǎn)P到直線l的距離.
因?yàn)閘1⊥l,且過點(diǎn)(x0,y0),所以l1:B(x-x0)-A(y-y0)=0.
此時(shí)需注意,我們并不需要求得x,y的值,只需求得(x-x0)2和(y-y0)2的值.那么有什么簡單方法來得到它嗎?可將Ax+Bx+C=0,Bx-Ay-Bx0+Ay0=0改寫成A(x-x0)+B(y-y0)=-Ax0-By0-C,B(x-x0)-A(y-y)0=0
可以看出,設(shè)而不求的解題思路,需要在代數(shù)變形中充分關(guān)注結(jié)論的代數(shù)形式,主動地創(chuàng)造條件,實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論的聯(lián)通.
當(dāng)然,只要我們做學(xué)習(xí)的有心人,在學(xué)習(xí)中一定會發(fā)現(xiàn)更多的優(yōu)化運(yùn)算的方法,運(yùn)算是解析幾何學(xué)習(xí)乃至數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不可或缺的基本功.簡化運(yùn)算只能作為一種輔助手段.更重要的是在解析幾何的運(yùn)算中能做到敢算、會算、善算,這樣才能真正學(xué)好解析幾何.endprint