化繁為簡：優(yōu)化我們的運(yùn)算

朱勝強(qiáng)

解析幾何的本質(zhì)特征是用代數(shù)方法研究幾何問題，就是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究.這就使得許多過去看起來充滿技巧，沒有多少共性規(guī)律的問題的求解變得有章可循.

由于將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題后，求解主要依賴于代數(shù)手段，因此，運(yùn)算在解析幾何學(xué)習(xí)中所占分量極重，而運(yùn)算的優(yōu)化也顯得更為重要.下面讓我們來了解幾種較常見的優(yōu)化方法.

1.合理建系

將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，一般需借助坐標(biāo)系.當(dāng)題中沒有給定坐標(biāo)系時(shí)，則需建立坐標(biāo)系.在不違反題意的前提下，適當(dāng)選取坐標(biāo)系，有時(shí)可以收到減少計(jì)算量的效果.

例1 如圖1，正方形ABCD中，M是以AB的中點(diǎn)，MN⊥MD，BN平分∠CBE，其中E在AB的延長線上，試用解析法證明：MD=MN.

證法一 如圖2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系xAy.設(shè)正方形邊長為a，則A（O，0），B（a，0），D（O，a），M（a/2，o）.

證法二 如果將坐標(biāo)原點(diǎn)選為B，設(shè)正方形的邊長為a，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系，則有D（-a，a），M（-a/2，o）.

由于BN平分∠CBE，故可設(shè)N（m，m）.由DM⊥MN，得k_DM.k_MN=-1.

從而有（a-0）/（（-a-（-a/2））·（m-0）/（（m-（-a/2））=-1，解得m=2.

再由兩點(diǎn)間距離公式，可證得MD=MN.

比較兩種不同的選取坐標(biāo)系的方法，后一種運(yùn)算量相對較小.事實(shí)上，在建立坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)認(rèn)真觀察圖形，充分考慮圖形的一些基本特征.比如將圖形的對稱軸放在坐標(biāo)軸上，對稱中心放在原點(diǎn)，特殊點(diǎn)盡可能多地放于坐標(biāo)軸上等等.本題中，∠CBE的頂點(diǎn)相比較而言較為特殊，故放在原點(diǎn)，從而使角平分線條件變得更易于應(yīng)用.

2.數(shù)形結(jié)合

雖然解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題，但并不排斥幾何方法在解決問題中的應(yīng)用，思考問題時(shí)，若能將代數(shù)、幾何方法有機(jī)結(jié)合起來，會使原本復(fù)雜的計(jì)算變得簡潔得多.

例2 如圖4，已知點(diǎn)A（3，o）及圓O：x²+y²=25，以A為直角頂點(diǎn)作Rt△ABC，B，C在圓上.求BC的中點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式.

解 如圖4所示，設(shè)M（x，y），連結(jié)OC，OM，AM.在Rt△ABC中，因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以MA=1/2BC=MC，OM⊥BC.在Rt△OCM中，MC²+OM²=0C².所以AM²+OM²=0C².

義因?yàn)镸A²=（x-3）²+y²，OM²=x²+y²，OC²=25，

所以（x-3）²+y²+x²+y²=25.

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是：x²+y²-3x-8=0.

評注 這里利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半及過弦中點(diǎn)的直徑與弦垂直等幾何性質(zhì).先發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)的幾何特征，再將其化為代數(shù)關(guān)系，從而不必進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算便將問題解決.

我們在初中學(xué)習(xí)過平面幾何，對直線及圓的幾何性質(zhì)有一定的了解，因此，在遇到與它們有關(guān)的問題時(shí)，可以多想一想有沒有幾何方法可將問題先化簡，然后再進(jìn)行必要的代數(shù)運(yùn)算.

3.利用直線系方程

解析幾何中常常會遇到過兩已知直線（曲線）交點(diǎn)的問題.習(xí)慣的做法是先求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再以此為條件作進(jìn)一步思考.事實(shí)上，可用直線系方程來回避求交點(diǎn)，簡化計(jì)算.什么是直線系方程呢？

若l₁：A₁x+B₁y+C₁=0，l：A₂x+B₂y+C₂=0表示的是兩條相交于點(diǎn)P的直線，則方程A₁x+B₁y+C₁+λ（A₂x+B₂Y+C₂）=o所表示的直線必定經(jīng)過點(diǎn)P（這些直線中不包括直線l₂）.

例3 求過兩直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線的方程.

（1）過點(diǎn)A（2，1）；（2）與直線3x-4y+5=0垂直.

解 （1）點(diǎn)A不在直線x+y-2=0上，則設(shè)所求的直線方程為（x-2y+4）+λ（x+y-2）=0.

再將（2，1）代入，可得2-2+4+λ（2+1-2）=0，解得λ=-4.

故所求直線方程為x+2y-4=0.

（2）將（1）中所設(shè)直線系方程整理為（1+λ）x+（λ-2）y+（4-2λ）=O，得此直線的斜率為k=（-1-λ）/（λ-2）.

因?yàn)樵撝本€與直線3x-4y+5=0垂直，所以-（1+λ）/（λ-2）·3/4=-1，

解得λ=11.故所求的直線方程為4x+3y-6=0.

如果將直線系中的直線改為網(wǎng)或其他曲線，也會得到類似的結(jié)論.

4.設(shè)而不求

在直線系方程中，我們通過合理地設(shè)直線方程，回避了求交點(diǎn)坐標(biāo).但有些問題中，可能需要用交點(diǎn)坐標(biāo)來建立關(guān)系式，所以無法回避.此時(shí)可先將交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來，但并不急于求出，只是讓其參與代數(shù)變形.有時(shí)甚至問題已經(jīng)解決了，也沒有真的要求出交點(diǎn)坐標(biāo).這樣的簡化運(yùn)算的策略稱為“設(shè)而不求”.下面我們以大家熟悉的點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)為例，看看此法的運(yùn)用.

例4 求點(diǎn)P（x₀，y₀）到直線l：Ax+By+C=O的距離.

分析 如圖5，過點(diǎn)P作直線l₁⊥l，垂足為Q，則線段PQ的長就是點(diǎn)P到直線l的距離.

因?yàn)閘₁⊥l，且過點(diǎn)（x₀，y₀），所以l₁：B（x-x₀）-A（y-y₀）=0.

此時(shí)需注意，我們并不需要求得x，y的值，只需求得（x-x₀）²和（y-y₀）²的值.那么有什么簡單方法來得到它嗎？可將Ax+Bx+C=0，Bx-Ay-Bx₀+Ay₀=0改寫成A（x-x₀）+B（y-y₀）=-Ax₀-By₀-C，B（x-x₀）-A（y-y）₀=0

可以看出，設(shè)而不求的解題思路，需要在代數(shù)變形中充分關(guān)注結(jié)論的代數(shù)形式，主動地創(chuàng)造條件，實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論的聯(lián)通.

當(dāng)然，只要我們做學(xué)習(xí)的有心人，在學(xué)習(xí)中一定會發(fā)現(xiàn)更多的優(yōu)化運(yùn)算的方法，運(yùn)算是解析幾何學(xué)習(xí)乃至數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不可或缺的基本功.簡化運(yùn)算只能作為一種輔助手段.更重要的是在解析幾何的運(yùn)算中能做到敢算、會算、善算，這樣才能真正學(xué)好解析幾何.endprint