渠東劍

課本上有一道練習(xí)題：

求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，直線（1+4k）x-（2-3k）y+（2-14k）=O必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

一、解法

思路1 既然對(duì)任何實(shí)數(shù)k，直線（1+4k）x、（2-3k）y+（2-14k）=0必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，意味著所有的（無窮多條）直線都過同一個(gè)定點(diǎn)，特別地，取兩條特殊的直線，也要經(jīng)過該定點(diǎn)，這兩條直線相交，其交點(diǎn)就是該定點(diǎn).這樣可以得到該定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證所有直線都過該定點(diǎn).

比如，取k=0，k=l，由此可得兩條直線交點(diǎn)為（2，2），將（2，2）代入方程（1+4k）x（2-3k）y+（2-14k）-o成立，即是取任何實(shí)數(shù)，點(diǎn)（2，2）都在直線（1+4k）x-（2-3k）y+（2-14k）=o上，也就是直線過定點(diǎn).

思路2 變換視角，變更主元.視k為主變?cè)傻茫?x+3y-14）k+x-2y+2=O，因?yàn)閷?duì)任何實(shí)數(shù)k都成立，所以4x+3y-14=0，x-2y+2=0

解之得x=2，y=2.即點(diǎn)（2，2）恒滿足直線方程（1+4k）x-（2-3k）y+（2-14k）=o，從而結(jié)論成立.

二、思想方法

思路1 特殊化思想.任意的成立，則特殊的成立，再去驗(yàn)證一般情形成立.如果這里不去驗(yàn)證，則不能下結(jié)論對(duì)任何實(shí)數(shù)都成立.其中蘊(yùn)含“特殊化”思維策略，即“一般一特殊一驗(yàn)證一一般”.

思路2 變換問題視角.變更主變?cè)瑢㈥P(guān)于x，y的不定方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于k的恒等式.由關(guān)于x，y的方程到關(guān)于k的恒等式，蘊(yùn)含主要矛盾與次要矛盾的轉(zhuǎn)化，這是解決問題的重要策略，

還要深刻理解問題的本質(zhì)——體會(huì)變化過程中的不變.在這里k為任何實(shí)數(shù)，k是變的，直線是變的，有無窮多條，但這些直線恒過定點(diǎn)，這是不變的.直線過定點(diǎn)是變化過程中的不變，這是本題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也是解析幾何研究的重要內(nèi)容.也就是說，變化的是直線（原因是k變化），不變的是直線過定點(diǎn)（直線束）；從代數(shù)視角，聚焦字母足，變化的是足（參變數(shù)），不變的是兩邊恒等，進(jìn)而可得對(duì)應(yīng)系數(shù)相等；從方程視角，方程（1+4k）x -（2-3k）y+（214k）=0可被看成是關(guān)于x，y的二元一次方程，該不定方程有無窮多個(gè)解，但無論其系數(shù)如何變化（原因是k變化），這個(gè)方程都有唯一確定的解.

由此說開去，更一般的，數(shù)學(xué)所研究的，一般都是不變的、有規(guī)律性的對(duì)象.而這種不變，是相對(duì)于變化而言的，是基于變化而得到的.探索變化中的不變，是永恒的追求，充滿智慧，富有哲理……例如，圓的本質(zhì)就是無論動(dòng)點(diǎn)怎樣變化，它到一定點(diǎn)的距離總等于定值；直角三角形中的三角函數(shù)，只要銳角確定，三角形可以變化，但其對(duì)邊與斜邊的比值不變；一條定直線上的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化，但這條直線的方向卻是一定的……

三、嘹望高考

信手拈來高考解析幾何題，幾乎都是用解析法去研究“變化過程中的不變”.如果從所研究方法、思維策略等層面理解，這些題目如出一轍：無論題目的知識(shí)背景如何，也不管是何種類型的問題，從所要研究的問題的本質(zhì)分析，都不外是研究變化過程中的不變.這些不變的可以是量的不變（如定值問題），也可能是幾何位置的不變（如曲線過定點(diǎn)），抑或是相關(guān)結(jié){的不變…一

這里，僅以2008年至201 6年高考江蘇卷解析幾何大題為例，摘錄其中的一些典型問題分析，把握其要解決問題的本質(zhì)，以說明上述觀點(diǎn).雖然同學(xué)們還沒有學(xué)習(xí)圓錐曲線，對(duì)這些題目難以理解解決，但可以窺探其中的“變中之不變”的本質(zhì)，從而，更深刻地理解本文所談的這道題目意蘊(yùn)深遠(yuǎn)——

2008年，圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)（與b無關(guān)）.

2009年，存在無窮多對(duì)直線，使……（與直線斜率無關(guān)）.

2010年，求證直線MN必過x軸上一定點(diǎn)（與m無關(guān)）.

2011年，對(duì)任意的k>0，求證：PA上PB（與k無關(guān)）.

2012年，求證PF₁+PF₂是定值（與A點(diǎn)無關(guān)）.

2013年，求變化的范圍，不變的是兩網(wǎng)總相交.

2014年，橢圓“大小”可變，不變的是“形狀”（離心率）.

201 5年，探求變化中的“那個(gè)”（長(zhǎng)度關(guān)系）時(shí)刻.

201 6年，求范圍，使得變化過程中，總有條件（平行）成立，

愿這道題能生根發(fā)芽，枝繁葉茂，開出美麗的解析幾何思想方法之花！endprint