傅里葉變換頻移性質(zhì)的教學(xué)過程可視化初探

王波

摘 要：以一個(gè)特定的時(shí)限雙邊衰減指數(shù)信號(hào)為例，通過將Matlab程序設(shè)計(jì)應(yīng)用于傅里葉變換頻移性質(zhì)的可視化教學(xué)過程，探討解決傳統(tǒng)教學(xué)模式存在的問題，進(jìn)而提出降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，改善教學(xué)效果的方法。

關(guān)鍵詞：傅里葉變換 頻移性質(zhì) 調(diào)制定理 Matlab 可視化

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）09（a）-0193-03

自1822年傅里葉變換理論正式公諸于世，距今已近200年，在這期間內(nèi)，傅里葉變換不僅在數(shù)學(xué)中，而且在諸如信號(hào)分析與處理、控制工程、信息與通信工程等眾多領(lǐng)域都有著日益廣泛的應(yīng)用，同時(shí)，基本的傅里葉變換理論本身及其眾多的衍生理論也都得到了長(zhǎng)足發(fā)展而日趨完善[1]。高等學(xué)校相關(guān)專業(yè)開設(shè)的課程中也不乏傅里葉變換理論的內(nèi)容，其或作為課程理論體系的主要構(gòu)成部分，出現(xiàn)在諸如信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理等專業(yè)基礎(chǔ)課程中，或作為重要的理論基礎(chǔ)、分析工具，出現(xiàn)在其他眾多的專業(yè)課程中，因此，相關(guān)課程中的傅里葉變換理論的教學(xué)就非常重要。

現(xiàn)時(shí)情況下，影響傅里葉變換理論教學(xué)過程順利進(jìn)行并取得良好效果的主要不利因素有二：一方面，傅里葉變換及其衍生理論內(nèi)容豐富繁雜，相對(duì)抽象深?yuàn)W，要求學(xué)習(xí)者能夠熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，并具有較扎實(shí)的物理學(xué)理論根基，學(xué)習(xí)難度較大；另一方面，在傳統(tǒng)的“填鴨式”教學(xué)模式下，教師借助于黑板或PowerPoint幻燈片羅列定義、推導(dǎo)公式的單調(diào)枯燥的教學(xué)方法，也會(huì)使學(xué)生興趣索然，失去學(xué)習(xí)熱情。為解決上述問題，可借助于Matlab軟件使理論教學(xué)過程可視化，下文以傅里葉變換頻移性質(zhì)的教學(xué)過程為例進(jìn)行探討。

1 傅里葉變換及其頻移性質(zhì)

1.1 傅里葉變換

傅里葉（正）變換，即如下積分變換關(guān)系：

（1）

式（1）中，f（t）一般為非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)，稱為f（t）的頻譜（密度）函數(shù)，其一般為角頻率ω的復(fù)函數(shù)。另有稱之為傅里葉反變換的積分變換關(guān)系：

（2）

其中，f（t）稱為的原函數(shù)。由式（1）和式（2）組成所謂的傅里葉變換對(duì)，可簡(jiǎn)單的記為[2]。

1.2 傅里葉變換的數(shù)值近似計(jì)算方法

當(dāng)f（t）為時(shí)限信號(hào)且其時(shí)域波形相對(duì)于t=0時(shí)刻對(duì)稱時(shí)，可用滿足奈奎斯特采樣定理的采樣間隔Δt對(duì)f（t）進(jìn)行2N+1點(diǎn)離散化采樣，得到離散時(shí)間序列，相應(yīng)地，亦對(duì)進(jìn)行2M+1點(diǎn)離散化處理，得到離散頻譜序列。則式（1）的積分變換關(guān)系可轉(zhuǎn)換為如下形式：

（3）

其中，ωk為的第k個(gè)離散采樣點(diǎn)的角頻率，式（3）就是對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換進(jìn)行數(shù)值近似計(jì)算的理論依據(jù)。只要Δt取值足夠小，依據(jù)式（3）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算得到的離散頻譜序列F（k）就可以用于近似地表示連續(xù)頻譜函數(shù)[3]。

1.3 傅里葉變換的頻移性質(zhì)

傅里葉變換的性質(zhì)眾多，和傅里葉變換理論本身一樣，它們都是信號(hào)與系統(tǒng)頻域分析的重要工具，其中的頻移性質(zhì)可表述為：

若信號(hào)，則

（4）

式（4）表明，若時(shí)域中信號(hào)f（t）分別乘以特定角頻率ωo的虛指數(shù)信號(hào)、，則在頻域中，f（t）對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)將沿頻率軸分別向右、向左整體上搬移ωo[4]。

特別地，由頻移性質(zhì)可衍生得到調(diào)制定理。將相對(duì)低頻的調(diào)制信號(hào)f（t）乘以高頻載波信號(hào)cos（ωot）（或sin（ωot）），得到高頻調(diào)幅信號(hào)f（t）cos（ωot）。應(yīng)用頻移性質(zhì)，此信號(hào)的幅度調(diào)制過程可表示為：

若信號(hào)，則

（5）

式（5）即為調(diào)制定理，其表明，高頻調(diào)幅信號(hào)的頻譜等于將低頻調(diào)制信號(hào)的頻譜一分為二，并各自沿頻率軸分別向左、右搬移載頻ωo，幅度則變?yōu)樵瓉淼囊话隱5]。調(diào)制定理是調(diào)幅無線電通信的基本理論依據(jù)。

2 傅里葉變換頻移性質(zhì)的可視化

2.1 信號(hào)

以一個(gè)時(shí)限雙邊指數(shù)衰減信號(hào)為基本信號(hào)，另外兩個(gè)相關(guān)的信號(hào)分別為和。

2.2 頻移性質(zhì)可視化的實(shí)現(xiàn)

頻移性質(zhì)及其調(diào)制定理的可視化，通過運(yùn)行本文后續(xù)2.3部分的Matlab程序來實(shí)現(xiàn)。

盡管信號(hào)f1（t）、f2（t）和f3（t）及其對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)、和在時(shí)域或頻域均為連續(xù)的，但為了易于代碼的編制，在此Matlab程序中，傅里葉變換均依據(jù)式（3）采用數(shù)值近似計(jì)算的方法實(shí)現(xiàn)。

程序的第一部分首先確定對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行采樣的采樣時(shí)間間隔Δt，為保證數(shù)值計(jì)算的精度，設(shè)信號(hào)f1（t）的帶寬為rad/s（實(shí)際帶寬遠(yuǎn)低于此值），根據(jù)奈奎斯特采樣定理，采樣周期T可由下式算出：

s （6）

而實(shí)際的采樣時(shí)間間隔 的應(yīng)小于或等于T，考慮到信號(hào)f2（t）、f3（t）的帶寬為信號(hào)f1（t）帶寬的2倍，因此，取s（N=500），對(duì)信號(hào)f1（t）、f2（t）和f3（t）分別進(jìn)行采樣得到對(duì)應(yīng)的離散序列f1（n）、f2（n）和f3（n），將各序列依次存入一個(gè)結(jié)構(gòu)為3行1001列的離散時(shí)間信號(hào)矩陣f的第1、2、3行。

程序的第二部分，依據(jù)式（3）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，分別求出頻譜函數(shù)、和對(duì)應(yīng)的離散頻譜序列、和，并將各序列依次存入另一個(gè)結(jié)構(gòu)為3行1001列的離散頻譜矩陣F中。另外，對(duì)矩陣F的每個(gè)元素進(jìn)行求模值計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果存入與矩陣F結(jié)構(gòu)相同的幅度頻譜矩陣absF的對(duì)應(yīng)位置。

程序的第三部分，使用上述離散時(shí)間信號(hào)矩陣f和幅度頻譜矩陣absF中的數(shù)據(jù)，近似地繪制各個(gè)時(shí)域信號(hào)波形和幅度頻譜圖形。

執(zhí)行程序，基本上可以得到圖1所示的包含6個(gè)子圖的圖形窗口。信號(hào)f1（t）、f2（t）和f3（t）的波形及其相關(guān)幅度頻譜，分別用屬性為紅色實(shí)線、藍(lán)色虛線和黑色點(diǎn)線的曲線繪制。

3個(gè)信號(hào)的時(shí)域波形被依次繪制在子圖（a）（c）和（e）上，借助這些子圖，可直接比較3個(gè)信號(hào)之間的時(shí)域關(guān)系。子圖（d）用于頻移性質(zhì)的可視化，信號(hào)f1（t）、f2（t）的幅度頻譜、的圖形曲線被同時(shí)繪制于其中，源于，相對(duì)于，的圖形曲線右移ω2=20rad/s。子圖（f）中同時(shí)繪制了幅度頻譜、和的圖形曲線，借助于此子圖，一方面，源于，調(diào)幅信號(hào)f3（t）的幅度頻譜實(shí)為調(diào)制信號(hào)f1（t）的幅度頻譜一分為二，各向左右搬移載頻ω3=40rad/s，調(diào)制定理得到了直觀的體現(xiàn)；另一方面，比較3個(gè)幅度頻譜圖形的相對(duì)位置關(guān)系，亦可說明調(diào)制定理衍生于頻移性質(zhì)，二者本質(zhì)上相同。

2.3 主要程序代碼

以下代碼，省略了程序中一部分次要的圖形修飾語(yǔ)句、注釋語(yǔ)句等。

clear all

%（一）定義采樣周期，離散化各個(gè)時(shí)域信號(hào)

delta_t=0.002；

t=-1：delta_t：1； % N=500

f=zeros（3，length（t））；

f（1，：）=exp（2*t）.*（Heaviside（t+1）-Heaviside（t））...

+exp（-2*t）.*（Heaviside（t）-Heaviside（t-1））；

f（2，：）=f（1，：）.*（exp（j*20*t））；

f（3，：）=1/2*f（1，：）.*（exp（-j*40*t）+exp（j*40*t））；

% （二）用數(shù)值計(jì)算方法近似得到個(gè)時(shí)域信號(hào)的頻譜

M=500；

k=-M：M；

W1=2*pi*（30/pi）；

W=k*W1/M；

F=zeros（3，length（k））；

for i=1：3

F（i，：）=f（i，：）*exp（-j*t'*W）*delta_t；

end

absF=abs（F）；

% （三）繪制各個(gè)信號(hào)的時(shí)域波形及幅度頻譜圖形

subplot（3，2，1）；plot（t，f（1，：），'r'）；axis（[-1，1 0，1]）；

subplot（3，2，2），plot（W，absF（1，：），'r'）；axis（[-60，60，-0.1 1]）；

subplot（3，2，3）；plot（t，f（2，：），'b--'）；axis（[-1，1 -1，1]）；

subplot（3，2，4）；plot（W，absF（1，：），'r'）；hold on；

plot（W，absF（2，：），'b--'）；axis（[-60，60，-0.1 1]）；hold on；

subplot（3，2，5）；plot（t，f（3，：），'k：'）；axis（[-1，1 -1，1]）；

subplot（3，2，6）；plot（W，absF（1，：），'r'）；hold on；

plot（W，absF（2，：），'b--'）；plot（W，absF（3，：），'k：'）；

axis（[-60，60，-0.1 1]）；

3 結(jié)語(yǔ)

上述，初步探討了在傅里葉變換頻移性質(zhì)的教學(xué)過程中，借助于Matlab程序設(shè)計(jì)使理論可視化的方法。不僅于此，Matlab輔助教學(xué)還有更廣闊的用武之地，可將其應(yīng)用到傅里葉變換的其他性質(zhì)、拉普拉斯變換理論，甚至是應(yīng)用到諸如信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理等眾多課程中大部分知識(shí)點(diǎn)的理論教學(xué)過程。

Matlab擁有功能完善的指令和函數(shù)集，其在數(shù)值計(jì)算、數(shù)據(jù)分析、圖形繪制等方面的處理能力異常強(qiáng)大。對(duì)于大多數(shù)具體的教學(xué)任務(wù)，應(yīng)用Matlab編制出的輔助教學(xué)程序一般都具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且規(guī)模較小的特點(diǎn)。設(shè)計(jì)比較完善的Matlab程序的運(yùn)行，能夠把抽象的概念形象可視化，將繁瑣的理論直觀簡(jiǎn)單化，以此，可降低學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)課程知識(shí)的難度，進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，改進(jìn)教學(xué)效果，保障教學(xué)任務(wù)的圓滿完成。

參考文獻(xiàn)

[1] 曾海東，韓峰，劉瑤琳.傅里葉分析的發(fā)展與現(xiàn)狀[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2014，37（3）：144-146.

[2] 燕慶明.信號(hào)與系統(tǒng)教程[M].北京：高等教育出版社，2013：95.

[3] 梁虹.信號(hào)與線性系統(tǒng)分析[M].北京：高等教育出版社，2006：224.

[4] 王明泉.信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：科學(xué)出版社，2008：110.

[5] 沈元隆，周井泉.信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：人民郵電出版社，2003：108.