河南省質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部 趙曉艷

“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這是戰(zhàn)國時(shí)期莊子在他的《天下篇》記載的惠施的一段話。也就是說一尺長的木棒，第一天取去一半，還剩二分之一尺，第二天再在這二分之一尺中取去一半，還剩下四分之一尺……按照這樣的方法繼續(xù)分下去，原來一尺長的木棒會(huì)越來越短，但是即使越來越短，也不能把這根木棒減為零?？傊?，當(dāng)分割次數(shù)越多，木棒就變短，在長度上越來越接近于零。公元3世紀(jì)，我國著名數(shù)學(xué)家劉徽在解讀《九章算術(shù)》時(shí)創(chuàng)立了割圓術(shù)，他第一次將極限思想引入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中。具體的步驟為：將圓進(jìn)行等分，三等分、六等分、十二等分……一直進(jìn)行下去，圓被分割得越來越細(xì)，圓的內(nèi)接正多邊形的邊長就越短，內(nèi)接正多邊形的周長越來越接近于圓的周長，當(dāng)分割無限細(xì)時(shí)，正多邊形周長就和圓周長之間的誤差就越來越小，直至變?yōu)榱?，這時(shí)正多邊形周長就等于圓周長。正多邊形算到了3072邊形，由此求出的圓周率為3.1416，這個(gè)數(shù)據(jù)是當(dāng)時(shí)最精確的數(shù)據(jù)。劉徽的割圓術(shù)是人類歷史上第一次把極限思想引入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，在當(dāng)時(shí)具有劃時(shí)代的意義，是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界的一個(gè)偉大的里程碑。后來我國數(shù)學(xué)家祖沖之又對(duì)圓周率有了更進(jìn)一步的研究，祖沖之研究出來的成果是當(dāng)時(shí)世界上最早也是最準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，祖沖之用這個(gè)方法把圓周率的值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位。捷克的著名數(shù)學(xué)家波爾查諾后來在極限思想啟發(fā)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了導(dǎo)數(shù)的定義，但是他沒有能對(duì)極限思想進(jìn)行準(zhǔn)確描述。直到19世紀(jì)，法國著名數(shù)學(xué)家柯西以前人的工作經(jīng)驗(yàn)及成果為基礎(chǔ)，對(duì)極限的概念以及它的理論進(jìn)行了較為完整的論述，即：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫作所有其他值的極限值。特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值(絕對(duì)值)無限地減小使之收斂到極限0，就說這個(gè)變量成為無窮小。”柯西將無窮小看作一個(gè)變量，且這一變量的極限值是0，這就使得關(guān)于對(duì)無窮小的“似零非零”的模糊認(rèn)識(shí)進(jìn)行了澄清。換句話說，就是指變量在變化的過程當(dāng)中是趨近于零的，但它的值是非零，只是無限地與零接近。 為了將極限概念當(dāng)中存在的直觀痕跡徹底排除，維爾斯特拉斯提出了靜態(tài)的關(guān)于極限的定義，為微積分理論奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。所謂an=A的含義就是如果對(duì)任何ε＞0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，不等式|an-A|＜ε恒成立。這個(gè)定義就是以不等式為依據(jù)，通過N跟ε之間的關(guān)系，具體地、定量地對(duì)兩個(gè)“無限過程”之間的相互聯(lián)系進(jìn)行了刻畫。我們知道這樣的定義是相當(dāng)嚴(yán)格的，能夠作為進(jìn)行科學(xué)論證的基礎(chǔ)依據(jù)，至今仍在數(shù)學(xué)分析書籍中使用。在這個(gè)定義當(dāng)中，僅僅涉及了數(shù)以及數(shù)的大小關(guān)系，此外，只是給定、存在、任取等詞語，已經(jīng)不再求助于運(yùn)動(dòng)的直觀，成功擺脫了“趨近”一詞。

一、兩個(gè)特殊極限（以及對(duì)兩個(gè)重要極限的重要補(bǔ)充）

在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，經(jīng)常會(huì)遇到無窮小量商的問題，很多含有正弦函數(shù)等類型，下面我們先介紹兩類特殊極限公式，接下來我們給出例子詳細(xì)做出解答。

二、等價(jià)無窮小代換

在對(duì)無窮小比無窮小求極限的過程中，可以把分子或分母中的某個(gè)因子用等價(jià)無窮小替換，加減時(shí)一般不能用等價(jià)無窮小替換，求極限時(shí)使用等價(jià)無窮小的條件：（1）被代換的量，在去極限的時(shí)候極限值為0。（2）被代換的量，作為被乘或者被除的元素時(shí)，可以用等價(jià)無窮小代換，但是作為加減的元素時(shí)就不可以。無窮小就是以數(shù)零為極限的變量。然而常量是變量的特殊一類，就像直線屬于曲線的一種。確切地說，當(dāng)自變量x無限接近某個(gè)值x0（x0可以是0、∞或是別的什么數(shù))時(shí)，函數(shù)值f（x）與零無限接近，即f（x）=0，則稱f（x）為當(dāng)x→x0時(shí)的無窮小量。等價(jià)無窮小替換只是求極限的一種方法，它能配合其他方法，比如無窮小的性質(zhì)：無窮小和有界函數(shù)乘積仍是無窮小，或者上述的兩類特殊極限配合一起使用，使求函數(shù)極限變得簡單可行。下面我們給出幾對(duì)常用的等價(jià)無窮小替換的式子，還有其他類型公式大家自己推導(dǎo)。第一類推導(dǎo)方法就是求 時(shí)，求出兩個(gè)函數(shù)商的極限為1，近似相等。第二種解釋為用近似計(jì)算公式，在此近似計(jì)算公式中，令 ， ，即可得到用此變形公式可得到如下解釋等價(jià)無窮小替換的另一個(gè)方法：當(dāng) 時(shí)，常見的幾對(duì)等價(jià)無窮小代換，sinx和x，tanx和x，arcsinx和x，arctanx和x，1-cosx和ln（1+x）和x，ex-1和x，

接下來我們?cè)傺芯恳粋€(gè)例子，函數(shù)和上例相同，但是x趨近方式不同，運(yùn)用的方法也就產(chǎn)生了本質(zhì)的差別用特殊極限的變形公式求得函數(shù)極限）

三、洛必達(dá)法則

我們知道，在求極限時(shí)，常會(huì)遇到兩個(gè)無窮小之比的極限或兩個(gè)無窮大之比的極限，這些極限有的存在，有的不存在，通常稱這類極限為“未定式”。利用第一章的方法求未定式的極限通常是困難的，本節(jié)介紹一種簡單而有效的方法——洛必達(dá)(L'Hospital)未定式的極限求法。

若當(dāng) 時(shí)，f(x)、g(x)均趨于0或者，則稱相應(yīng)的極限為型未定式。洛必達(dá)法則是解決求解型與型極限的一種有效方法，利用洛必達(dá)法則求極限只要注意以下三點(diǎn)：

2.洛必達(dá)法則是分子與分母分別求導(dǎo)數(shù)，而不是整個(gè)分式求導(dǎo)數(shù)。

3.使用洛必達(dá)法則求得的結(jié)果是實(shí)數(shù)或∞（不論使用了多少次），則原來極限的結(jié)果就是這個(gè)實(shí)數(shù)或∞，求解結(jié)束；如果最后得到極限不存在（不是∞的情形），則不能斷言原來的極限也不存在，應(yīng)該考慮用其他的方法求解。

注：洛必達(dá)法則條件滿足，則函數(shù)極限一定存在（但方法未必采用洛必達(dá)法則）（存在或者 ）。如果洛必達(dá)法則條件不滿足，并不能說明極限不存在，此時(shí)不能用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限，可采用其他方法求出極限。

此篇文章先是介紹了兩類特殊極限，然后又給出等價(jià)無窮小替換的方法介紹和例題，最后介紹了洛必達(dá)法則運(yùn)用的條件和類型，然后又介紹了幾種可化為洛必達(dá)法則不定型的幾種類型的通常解法，其中包括冪指函數(shù)的幾種類型和其解法，使我們對(duì)極限的幾種特殊解法有了更加深刻的認(rèn)識(shí)，具有很大的現(xiàn)實(shí)意義。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2011： P138．

[2]伍勝霞．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2011：P86．

[3]劉忠東．高等數(shù)學(xué)[M]．重慶：重慶大學(xué)出版社，2015：P126．

[4]李忠．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2012：P87．

[5]上海大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系[M]．上海：上海大學(xué)出版社，2006：P87．