采用灰色關(guān)聯(lián)—層次分析法的機(jī)床橫梁優(yōu)化設(shè)計

鞠家全，劉傳進(jìn)，崔德友，邱自學(xué)

（1.南通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南通 226019；2.南通國盛機(jī)電集團(tuán)有限公司，江蘇 南通 226003）

1 引言

近年來，數(shù)控機(jī)床正朝著高速、高效、高精方向發(fā)展[1]，機(jī)床橫梁支撐著滑板、滑座、主軸箱等部件的重量，在機(jī)床加工工件過程中，橫梁還承受著來自刀具的銑削力，因此機(jī)床橫梁對機(jī)床的加工精度、加工產(chǎn)品質(zhì)量有著重要的影響。因此對橫梁靜動態(tài)特性進(jìn)行研究與分析，以提高其綜合性能是很有必要的。

近年來，國內(nèi)外眾多學(xué)者對機(jī)床橫梁進(jìn)行了深入研究，研究主要集中在橫梁的筋板結(jié)構(gòu)、筋板厚度，橫梁箱體壁厚、橫梁截面尺寸上，采用的方法主要有拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計、單因素多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計、仿生設(shè)計等。文獻(xiàn)[1]中對龍門加工中心橫梁進(jìn)行了4種筋板結(jié)構(gòu)的設(shè)計，證明V型筋板結(jié)構(gòu)橫梁是最優(yōu)設(shè)計；文獻(xiàn)[2]中對大型鋁型材龍門加工中心橫梁進(jìn)行了靜動態(tài)特性研究，優(yōu)化了橫梁截面形狀與筋板布局從而提高橫梁靜動態(tài)性能；文獻(xiàn)[3]中對機(jī)床橫梁筋板厚度，橫梁外壁厚度進(jìn)行了研究，從而得到性能較優(yōu)的橫梁結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[4-5]中采用仿生學(xué)原理優(yōu)化設(shè)計了橫梁內(nèi)部筋板結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)橫梁的優(yōu)化；文獻(xiàn)[6]中采用靈敏度法對機(jī)床橫梁內(nèi)部筋板厚度進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化了筋板X、W向及縱向厚度，從而提高橫梁性能。

針對影響橫梁的主要因素筋板結(jié)構(gòu)及筋板厚度對橫梁進(jìn)行了優(yōu)化，此外針對橫梁薄弱位置進(jìn)行了局部結(jié)構(gòu)改進(jìn)，采用單一變量、多個評斷指標(biāo)方法，以及灰色關(guān)聯(lián)—層次分析法篩選最佳的參數(shù)組合，從而獲得最合理的橫梁優(yōu)化結(jié)果，為其它大型零部件的設(shè)計提供了方法參考。

2 橫梁薄弱位置結(jié)構(gòu)設(shè)計

2.1 原橫梁仿真分析

企業(yè)現(xiàn)生產(chǎn)的橫梁（原橫梁）為“米”型筋板結(jié)構(gòu)，筋板的厚度為30mm，橫梁材料為HT300。在非工作狀態(tài)下，橫梁除了受到自身重力外，在豎直方向上承受著滑座、滑枕、主軸箱等零部件的重力，在底部承受著滾珠絲杠座給予橫梁的支撐力，在后側(cè)受到液壓鎖緊裝置的壓緊力。對原橫梁進(jìn)行建模并導(dǎo)入ANSYS中進(jìn)行仿真分析，分析結(jié)果，如圖1所示。其中橫梁質(zhì)量為13585kg，最大變形量為 36．109μm，一階固有頻率 138．68Hz，最大應(yīng)力為 4．456MPa。

圖1 原橫梁有限元仿真分析Fig．1 Finite Element Analysis of the Original Crossbeam

以上分析可以發(fā)現(xiàn)，橫梁的一階固有頻率滿足實際生產(chǎn)的需求，即不會發(fā)生共振現(xiàn)象；此外，橫梁的最大應(yīng)力只有4．456MPa，遠(yuǎn)小于材料的許用應(yīng)力，因此在后續(xù)的設(shè)計過程中將橫梁的一階固有頻率和應(yīng)力作為評估的次要指標(biāo)。由振型云圖中可知，橫梁形變量最大的位置在橫梁的上導(dǎo)軌面，因此針對橫梁上導(dǎo)面處進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計，以提高其剛性。

2.2 橫梁上導(dǎo)軌面結(jié)構(gòu)設(shè)計

橫梁在優(yōu)化前，其上導(dǎo)軌面下側(cè)的支撐筋板為水平設(shè)計，如圖2所示。當(dāng)外載荷施加于導(dǎo)軌面時，橫梁整個上導(dǎo)軌如同懸臂梁結(jié)構(gòu)，這將導(dǎo)致橫梁導(dǎo)軌面的端部受到很大的扭轉(zhuǎn)彎矩，易使導(dǎo)軌面發(fā)生較大的彎曲和扭轉(zhuǎn)變形。針對這種懸臂梁結(jié)構(gòu)，最常見和有效的改進(jìn)措施使在懸臂梁下端增加支撐筋板，以克服自身結(jié)構(gòu)的不足。結(jié)合橫梁自身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對上導(dǎo)軌面下側(cè)的支撐筋板進(jìn)行了改進(jìn)設(shè)計，如圖2（b）所示。將下側(cè)的支撐筋板傾斜θ角度設(shè)計，以降低橫梁形變量。

圖2 上導(dǎo)軌支撐筋板優(yōu)化前后Fig．2 Before and After Optimization of Supporting Guide Rib Plates

傾斜角度θ的不同對橫梁的各項性能均有影響，如表1所示。在筋板結(jié)構(gòu)，筋板厚度不變的情況下，設(shè)計并分析了4種支撐筋板傾斜角度的橫梁，傾斜角度分別是 35°、45°、55°、65°。其中一階固有頻率和最大應(yīng)力與原橫梁相比基本不變，但是對形變量影響很大，均降到了33μm以下，平均降幅達(dá)9．1%，質(zhì)量降幅不大，但均有不同程度的減輕。

表1 不同傾斜角度導(dǎo)軌仿真分析結(jié)果Tab.1 Finite Element Analysis Results of Different Tilt Angle of Guide Rib Plates

為挑選出最佳的傾斜角度，作了傾斜角度與頻率和質(zhì)量的曲線圖，如圖3所示。由曲線走勢圖可知，隨著角度的逐漸增加：（1）橫梁質(zhì)量呈先減小后增加趨勢，且在（35～55）°之間降幅緩慢，而在55°以上時呈迅速增加趨勢；（2）橫梁一階固有頻率呈先增加后減小趨勢，且在（35～55）°之間增幅迅速，而在55°以上時呈逐步減小趨勢；（3）傾斜角度在55°時，橫梁質(zhì)量最輕，一階固有頻率最大。因此，橫梁導(dǎo)軌支撐筋板傾斜55°為最佳方案。

圖3 傾斜角度與頻率、質(zhì)量關(guān)系曲線圖Fig．3 Relationship Between Tilt Angle and Frequency&Weight

3 橫梁筋板結(jié)構(gòu)設(shè)計

橫梁內(nèi)部筋板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計是橫梁、立柱、工作臺等大型零部件優(yōu)化設(shè)計的基本方法，筋板結(jié)構(gòu)的不同對零件的最大變形量、固有頻率、質(zhì)量、應(yīng)力均有不同程度的影響。以筋板厚度和傾斜角度為不變量，如圖4所示。以筋板結(jié)構(gòu)為單一變量，除了原橫梁“米”型筋板結(jié)構(gòu)外，另外針對橫梁設(shè)計了六種筋板結(jié)構(gòu)，分別是：“V”型、“菱”型、“O”型、“井”型、“M”型、“十菱”型。

圖4 六種筋板結(jié)構(gòu)Fig．4 Six Kinds of Stiffened Plate Structures

對上述7種筋板結(jié)構(gòu)的橫梁進(jìn)行仿真分析，結(jié)果，如表2所示。對分析結(jié)果進(jìn)行如下處理：

按質(zhì)量由輕到重順序排序：

M型＜菱型＜井型＜O型＜米型＜V型＜十菱型

按形變量由小到大順序排序：

十菱型＜菱型＜井型＜米型＜O型=V型＜M型

按一階固有頻率由大到小順序排序：

井型＜M型＜O型＜米型＜菱型＜十菱型＜V型

由以上分析可發(fā)現(xiàn)：雖然“M”型橫梁的質(zhì)量和一階固有頻率均排在前列，但是形變量卻是最大的，因此將其排除；“十菱”型的橫梁質(zhì)量最重且遠(yuǎn)大于原橫梁質(zhì)量，因此將其排除；“菱”型的橫梁雖然質(zhì)量和頻率均排在第二位，但是其固有頻率比原橫梁小，因此將其剔除。排除以上結(jié)構(gòu)的橫梁，只有“井”型橫梁的綜合性能最優(yōu)，各性能排序分別在第三、第三、第一位，因此，“井”型橫梁筋板結(jié)構(gòu)才是最佳結(jié)構(gòu)方案。

表2 不同筋板結(jié)構(gòu)橫梁仿真分析結(jié)果Tab.2 Analysis Results of Different Stiffened Plate Structures of Crossbeam

4 橫梁筋板厚度設(shè)計

4.1 不同筋板厚度設(shè)計

由第2、第3節(jié)的分析得到“井”型筋板，傾斜角度55°為最佳的參數(shù)組合，為挑選出合適的橫梁筋板厚度，對“井-55°”型橫梁進(jìn)行了不同筋板厚度的設(shè)計與分析，其結(jié)果如表3所示。

表3 不同筋板厚度橫梁仿真分析結(jié)果Tab.3 Analysis Results of Different Thickness of Stiffened Plates

從表中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，每一種筋板厚度橫梁的各項性能均有優(yōu)劣，很難如筋板結(jié)構(gòu)、傾斜角度選擇優(yōu)方案一樣從直觀的數(shù)據(jù)判斷中挑選出最佳的筋板厚度方案。因此，針對表3中的數(shù)據(jù)量少，評斷指標(biāo)多的情況，選擇灰色關(guān)聯(lián)，層次分析法對筋板厚度優(yōu)選方案進(jìn)行分析選取。

4.2 灰色關(guān)聯(lián)—層次分析法

（1）將橫梁四個評斷指標(biāo)轉(zhuǎn)化為矩陣A：

其中對于越大越優(yōu)的評斷指標(biāo)（一階固有頻率）[7-8]：

對于越小越優(yōu)的評斷指標(biāo)（質(zhì)量、形變量、應(yīng)力）[7-8]：

式中：分辨系數(shù) ρ=0．5，i=1，2，…，6；j=1，2，3，4。

（5）采用層次分析法中成對比較法，利用9級比例標(biāo)尺確定各個評斷指標(biāo)間的相對重要程度[9]，構(gòu)建矩陣B：

（6）層次分析法權(quán)重的計算[9]

式中：γj=γj1ω1+γj2ω2+γj3ω3+γj4ω4，j=1，2，3，4。

4.3 優(yōu)選方案確定

根據(jù)式（1）～式（5），計算得關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣ξ：

根據(jù)式（6）構(gòu)建的評斷指標(biāo)相對重要程度矩陣B：

由式（7）、式（8）計算的層次分析法權(quán)重ω：

根據(jù)式（9）計算的各個方案的關(guān)聯(lián)重要程度，為便于后續(xù)方案的篩選，將矩陣γ中的數(shù)據(jù)以表格形式表示，如表4所示。

表4 各個方案的關(guān)聯(lián)度Tab.4 Correlation Degree of Each Scheme

由表4可知：“井-55°-15mm”關(guān)聯(lián)度最大，因此擬將“井-55°-15mm”方案作為最佳方案，并與原橫梁各項性能進(jìn)行比較，如表5所示。

表5 優(yōu)化前后比較Tab.5 Compare Between Before and After Optimization

由以上比較可以發(fā)現(xiàn)：優(yōu)化后橫梁的質(zhì)量減輕了751kg，形變量減少了3.6%，一階固有頻率增加了3.5%，雖然應(yīng)力有所增加，但是其值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于材料HT300的許用應(yīng)力，不影響整體的性能。綜合上述分析，“井-55°-15mm”的參數(shù)組合方案是最優(yōu)方案，優(yōu)化后橫梁的各項性能均有所提高，其中質(zhì)量減輕最為明顯。

5 結(jié)論

對原橫梁進(jìn)行建模與分析，以橫梁筋板結(jié)構(gòu)、筋板厚度、薄弱位置的結(jié)構(gòu)作為優(yōu)化的目標(biāo)，采用單一變量，多評斷指標(biāo)進(jìn)行參數(shù)的選擇，結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)與層次分析法評定最優(yōu)方案，結(jié)果表明：（1）橫梁最薄弱位置位于上導(dǎo)軌面，對上導(dǎo)軌面下側(cè)的支撐筋板進(jìn)行傾斜設(shè)計，傾斜設(shè)計后橫梁的形變量平均降低了9.1%，經(jīng)分析支撐筋板傾斜55°是最優(yōu)設(shè)計方案。對橫梁筋板結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，經(jīng)分析后橫梁“井”型筋板設(shè)計最優(yōu)；對不同筋板厚度的橫梁進(jìn)行設(shè)計與分析，其中筋板厚15mm為最優(yōu)設(shè)計。（2）優(yōu)化后橫梁最佳參數(shù)組合為“井-15mm-55°”，其中橫梁質(zhì)量減輕最為明顯，減輕了751kg，形變量減少了3.6%，一階固有頻率增加了3.5%，橫梁各項性能得到有效提高。（3）采用灰色關(guān)聯(lián)與層次分析法對仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，實現(xiàn)對數(shù)據(jù)量小，評斷指標(biāo)多的工程類問題的解決，拓展了兩種方法的應(yīng)用領(lǐng)域，為其它零部件的設(shè)計提供了有益的方法指導(dǎo)。

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