李奇明 徐德義

[摘 要]作為統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)，參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的原理與方法是教學(xué)難點(diǎn)所在，常常引起教與學(xué)的過程中諸多誤解、誤用和誤讀。在對參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的原理與方法加以闡釋基礎(chǔ)上，采用比較研究的方法，可以找出教學(xué)中可能存在的誤區(qū)。參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)具有許多共同點(diǎn)，二者之間存在緊密聯(lián)系。一般情況下，區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)之間具有對應(yīng)性；可以利用置信區(qū)間進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，也可以利用假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)；但不能把參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)等同起來。

[關(guān)鍵詞]參數(shù)估計(jì)；置信區(qū)間；假設(shè)檢驗(yàn)；原理；方法；誤區(qū)

[中圖分類號(hào)] C8 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2018）02-0040-03

參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)知識(shí)，是統(tǒng)計(jì)學(xué)課程教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。然而，由于對基本思想和原理的認(rèn)識(shí)不到位，常常導(dǎo)致對一些知識(shí)點(diǎn)存在誤解，進(jìn)而造成錯(cuò)誤的應(yīng)用，甚至得出錯(cuò)誤的結(jié)論。本文將從參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的原理談起，重點(diǎn)就這兩類方法應(yīng)用中的一些誤區(qū)展開討論，為相關(guān)課程的教學(xué)提供參考。

一、參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)涵

參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)是推斷統(tǒng)計(jì)的重要內(nèi)容。[1]其中參數(shù)估計(jì)是利用樣本統(tǒng)計(jì)量的信息推斷未知的總體參數(shù)，包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。因點(diǎn)估計(jì)不能提供可信程度的信息，我們更多使用的是區(qū)間估計(jì)。而假設(shè)檢驗(yàn)是先對總體的參數(shù)做出某種假設(shè)，為判斷所作的假設(shè)是否正確，從總體中抽取樣本判斷假設(shè)是否成立的過程。[2]

（一）正確理解置信水平的含義

在區(qū)間估計(jì)時(shí)，我們可以根據(jù)樣本信息求出總體未知參數(shù)的置信區(qū)間，并保證總體參數(shù)的真值將有一定的機(jī)會(huì)落在所計(jì)算的區(qū)間內(nèi)。比如置信水平為95%，即意味著總體參數(shù)的真值將有95%的機(jī)會(huì)落在該區(qū)間內(nèi)。當(dāng)然，對置信水平含義的這一解釋常常會(huì)被誤解為“有95%的把握保證”參數(shù)的真值會(huì)落在這個(gè)區(qū)間里。顯然，計(jì)算某人對某一件事的把握程度，與計(jì)算一個(gè)置信區(qū)間完全是兩回事，不應(yīng)該“從一個(gè)結(jié)論的角度看待置信區(qū)間”，而應(yīng)該“將其視為一個(gè)過程” 。[3]

（二）正確理解假設(shè)檢驗(yàn)的目的

在很多情況下，假設(shè)檢驗(yàn)的目的是用來拒絕原假設(shè)，也因此稱之為顯著性檢驗(yàn)。拒絕原假設(shè)，并不意味著有充分的理由認(rèn)為備擇假設(shè)就必然是正確的；不拒絕原假設(shè)，也不意味著原假設(shè)必然是正確的。不論是拒絕還是不拒絕原假設(shè)，“該顯著性檢驗(yàn)永遠(yuǎn)不能確認(rèn)這些假設(shè)一定是真的”。[3]針對有的情況下我們將拒絕域以外的部分稱為“接受域”的說法，主要是為了方便，而并不是說在不能拒絕原假設(shè)時(shí)就等于“接受”原假設(shè)。但對于“接受原假設(shè)”、或“接受備擇假設(shè)”這樣的表述，由于容易讓人造成誤解，我們傾向于表述為“不拒絕”，而不是“接受”。[4]

二、參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的共同點(diǎn)與聯(lián)系

參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)之間的共同點(diǎn)有很多。比如，二者都是根據(jù)樣本的信息，以樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布為依據(jù)，對總體參數(shù)進(jìn)行推斷，推斷結(jié)果都有一定的風(fēng)險(xiǎn)。而且，最為重要的一點(diǎn)就是，對同一問題的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，使用的是同一樣本、同一統(tǒng)計(jì)量、同一分布。[1] [2]這也正是二者之間存在緊密聯(lián)系的根源所在。

以雙側(cè)檢驗(yàn)為例，根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布和給定的顯著性水平，我們可以確定左右兩側(cè)的臨界值和拒絕域。拒絕域位于兩側(cè)臨界值的外側(cè)，而位于兩側(cè)臨界值之間的區(qū)域（或稱接受域），正好與該總體參數(shù)的置信區(qū)間相對應(yīng)或相等價(jià)。[1]單側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)置信區(qū)間同樣如此。在此為了表述方便，我們將二者的這一聯(lián)系稱為區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)之間的對應(yīng)性。也就是說，我們總是可以根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域，得到對應(yīng)的區(qū)間估計(jì)的置信區(qū)間；或反過來根據(jù)置信區(qū)間，得到對應(yīng)的拒絕域。[5]

三、區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的對應(yīng)性原理

在一般情況下，區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的對應(yīng)關(guān)系，可以根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系式推導(dǎo)出來。不論是雙側(cè)檢驗(yàn)還是單側(cè)檢驗(yàn)，都與相應(yīng)的置信區(qū)間相對應(yīng)。

（一）雙側(cè)檢驗(yàn)

以總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)為例，在假定正態(tài)分布、已知總體方差的情況下，我們對總體均值的雙側(cè)檢驗(yàn)是在假定原假設(shè)為真，即μ=μ0的情況下，通過計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量的值，并與一定的顯著性水平下對應(yīng)的臨界值比較，進(jìn)而做出決策。這時(shí)的拒絕域可以表示為：

P（>zα/2）=α

于是，相應(yīng)的接受域?yàn)椋?/p>

P（zα/2≤≤zα/2）=1-α

這一接受域?qū)?yīng)的正是總體均值的置信區(qū)間的范圍。我們可以從中求出總體均值μ0的置信區(qū)間為：

-zα/2≤μ0≤+zα/2。

（二）單側(cè)檢驗(yàn)

當(dāng)左側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，拒絕域分布在左側(cè)，其表達(dá)式應(yīng)為：P（<-zα）=α。這時(shí)的接受域應(yīng)為：P（≥-zα）=1-α，于是對應(yīng)的左側(cè)（單側(cè)上限）置信區(qū)間應(yīng)為：（-∞，+zα）。

當(dāng)右側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，拒絕域分布在右側(cè)，其表達(dá)式應(yīng)為：P（>zα）=α，對應(yīng)的接受域應(yīng)為：P（≤zα）=1-α，于是相應(yīng)的右側(cè)（單側(cè)下限）置信區(qū)間應(yīng)為：（-zα，+∞）。

以上均值問題所表現(xiàn)出的這種對應(yīng)性，在比例和方差問題的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)中同樣存在[1]，在此不再贅述。

四、利用置信區(qū)間進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)

正是因?yàn)榇嬖趯?yīng)性，我們同樣可以利用區(qū)間估計(jì)的置信區(qū)間來進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。比如，在上述均值的假設(shè)檢驗(yàn)問題中，我們只要根據(jù)樣本均值計(jì)算出總體均值的置信區(qū)間，再將原假設(shè)中的μ0與該置信區(qū)間進(jìn)行比較，即可做出決策。如果μ0位于該置信區(qū)間內(nèi)，則不能拒絕原假設(shè)；否則，就拒絕原假設(shè)?？梢姡瑓?shù)的區(qū)間估計(jì)方法不僅可以對未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，而且還可以用來對參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。因此，人們通常認(rèn)為置信區(qū)間比單純的顯著性檢驗(yàn)?zāi)軌蛱峁└S富的信息。[4]

這里需要強(qiáng)調(diào)的是，在利用置信區(qū)間進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)利用總體參數(shù)的置信區(qū)間來與假定的總體參數(shù)值進(jìn)行比較，進(jìn)而做出決策。這里的“置信區(qū)間”一定是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量計(jì)算得到的。但在實(shí)際運(yùn)用中，人們常常為了方便，將用置信區(qū)間進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法進(jìn)行“變換”，即利用假定的總體均值μ0構(gòu)造一個(gè)區(qū)間，并與樣本均值進(jìn)行比較，進(jìn)而做出決策。仍以前面的總體均值的雙側(cè)檢驗(yàn)為例。這一方法是利用原假設(shè)中的μ0計(jì)算出以下區(qū)間：（μ0-zα/2，μ0+zα/2），然后將樣本均值與之比較，如果樣本均值不在該區(qū)間內(nèi)就拒絕原假設(shè)。[2]

首先，這種“變換”做法與前面規(guī)范用法的檢驗(yàn)結(jié)果是一致的。這是因?yàn)楦鶕?jù)規(guī)范的置信區(qū)間表達(dá)式-zα/2≤μ0≤+zα/2，用假定的總體均值表示樣本均值就可以得到：μ0-zα/2≤≤μ0+zα/2。這一區(qū)間還可以看作是在給定的顯著性水平下、假定總體均值為真時(shí)，樣本均值可能的取值范圍。同理，我們根據(jù)規(guī)范的左側(cè)區(qū)間表達(dá)式，可以得到左側(cè)檢驗(yàn)時(shí)樣本均值的取值范圍為（μ0-zα，+∞）；根據(jù)規(guī)范的右側(cè)區(qū)間表達(dá)式，可以得到右側(cè)檢驗(yàn)時(shí)樣本均值的取值范圍為（-∞，μ0+zα）。其次，通過對比前后兩種方法得到的兩類區(qū)間可以發(fā)現(xiàn)，后者在單側(cè)檢驗(yàn)情況下得到的樣本均值的取值范圍公式，在書寫形式上與雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)的區(qū)間形式方向保持一致，比規(guī)范用法更方便記憶。

盡管如此，但后一種方法所構(gòu)建的區(qū)間容易混淆人們對“置信區(qū)間”的認(rèn)識(shí)。只有總體參數(shù)才有置信區(qū)間，而且只能根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量來構(gòu)建總體參數(shù)的置信區(qū)間，而不能以假定的總體參數(shù)值為依據(jù)建立所謂的“置信區(qū)間”，或者說這樣構(gòu)建的區(qū)間根本就不是置信區(qū)間，因?yàn)樗淼牟⒉皇强傮w參數(shù)可能的區(qū)間范圍，而是樣本統(tǒng)計(jì)量可能的取值范圍。因此，為了避免產(chǎn)生誤導(dǎo)，造成概念混淆，在利用置信區(qū)間進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)采用規(guī)范的置信區(qū)間來進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

五、利用假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)

在有些情況下，參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法不一定比假設(shè)檢驗(yàn)方法表現(xiàn)得更好。比如，在對小樣本的比例檢驗(yàn)問題中，或是當(dāng)樣本比例偏小或偏大的情況下，置信區(qū)間的估計(jì)往往會(huì)變得不可靠，而利用假設(shè)檢驗(yàn)方法得到的估計(jì)結(jié)果卻更為合理。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們在用樣本比例進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，為了簡化問題，一般都只討論大樣本情形。在np≥10和n（1-p）≥10時(shí)，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似。實(shí)際上，樣本比例常用來描述分類數(shù)據(jù)，其分布多為離散型分布。正因?yàn)槿绱耍凑战品椒ㄓ?jì)算出來的總體比例的置信區(qū)間，往往覆蓋總體真實(shí)比例的概率要小于（1-α）。[6]為此，需要對檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行連續(xù)性修正，以提高精確程度。[7]特別是當(dāng)樣本比例偏大或偏小時(shí)，得到的總體比例的置信區(qū)間會(huì)效果非常差。[8]

這里用一個(gè)例子加以說明。[8]假設(shè)進(jìn)行了一個(gè)試驗(yàn)來評估某個(gè)新治療手段的臨床效果，已知在最初10次試驗(yàn)中成功了9次。那么，如果按照區(qū)間估計(jì)的方法（置信水平95%），總體比例的置信區(qū)間應(yīng)為：

0.9±1.96=（0.714，1.086）

顯然，計(jì)算得到的置信區(qū)間上限已大于1，這樣的估計(jì)結(jié)果很難讓人信服。在這種情況下，一種簡單的處理方法是將該區(qū)間上限修改為1。[6]同時(shí)，另外一種嘗試是應(yīng)用假設(shè)檢驗(yàn)的思路來得到總體比例的置信區(qū)間。即根據(jù)對應(yīng)性，假設(shè)檢驗(yàn)的臨界值就是區(qū)間估計(jì)的上下限，于是得到下列方程：

=1.96

從中求出π0的值即得到總體比例的置信區(qū)間為：（0.596，0.982）。顯然，這一區(qū)間要比之前得到的結(jié)果要更加合理一些。同時(shí)可以看出，兩種方法的區(qū)別在于，區(qū)間估計(jì)方法是用樣本比例作為總體比例的極大似然估計(jì)來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差，使得誤差偏大；而假設(shè)檢驗(yàn)方法分母包含的總體比例是未知數(shù)，與分子保持一致，有效避免了誤差的人為擴(kuò)大。

六、不能把區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)等同起來

由于存在對應(yīng)性，我們可以利用置信區(qū)間進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，也可以利用假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。這也充分說明二者之間存在著緊密聯(lián)系，具有一定的統(tǒng)一性；但它們又相互區(qū)別，不能把二者完全等同起來。[9]這種不統(tǒng)一性主要表現(xiàn)在以下方面。

（一）假設(shè)檢驗(yàn)需要比參數(shù)估計(jì)掌握更充分的信息

假設(shè)檢驗(yàn)中原假設(shè)與備擇假設(shè)的設(shè)定必須從實(shí)際問題出發(fā)，在充分考慮某些非樣本信息基礎(chǔ)上，將沒有充足的把握不能輕易推翻的命題作為原假設(shè)，從而將原假設(shè)被拒絕的概率控制在很低的水平上。而當(dāng)這樣的小概率事件發(fā)生時(shí)，我們才不得已拒絕原假設(shè)，盡量避免犯第一類錯(cuò)誤。而區(qū)間估計(jì)則只需要依據(jù)樣本進(jìn)行推斷，不需要考慮其他的因素。[10]

（二）假設(shè)檢驗(yàn)具有比參數(shù)估計(jì)更豐富的功能

在對假定服從某種分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，并不意味著參數(shù)估計(jì)結(jié)果一定能正確地描述觀測數(shù)據(jù)，還需要通過假設(shè)檢驗(yàn)來對得到的參數(shù)估計(jì)值加以驗(yàn)證。同時(shí)，假設(shè)檢驗(yàn)還可以對總體分布的函數(shù)形式進(jìn)行非參數(shù)檢驗(yàn)。不僅如此，假設(shè)檢驗(yàn)中“兩類錯(cuò)誤”的思想具有重要的應(yīng)用價(jià)值。由于不論是拒絕還是不拒絕原假設(shè)，都存在犯錯(cuò)誤的可能，通常做法是優(yōu)先控制犯第一類錯(cuò)誤的概率，而對犯第二類錯(cuò)誤的概率采取擴(kuò)大樣本容量的方式來減小，并將其控制在預(yù)先給定的限度內(nèi)。[5]而對于檢驗(yàn)的優(yōu)劣，可以通過比較檢驗(yàn)功效（1-β）的大小來加以區(qū)分，功效越大的檢驗(yàn)越優(yōu)。為此，可以先限定第二類錯(cuò)誤的概率，再來確定達(dá)到相應(yīng)的功效需要的樣本規(guī)模，進(jìn)而為一些實(shí)際問題的解決提供指導(dǎo)。

（三）最佳區(qū)間與最佳檢驗(yàn)的不統(tǒng)一性

在雙側(cè)區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的情況下，即使在同一置信水平下，置信區(qū)間的選取往往也是不唯一的。此時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)最佳（或最短）區(qū)間和最佳檢驗(yàn)的問題，這就使區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問題變得復(fù)雜。但在習(xí)慣上，我們常常仍取對稱的分位點(diǎn)來確定置信區(qū)間和拒絕域，其原因就在于我們是假定統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布是單峰且對稱的，此時(shí)按照對稱分位點(diǎn)得到的置信區(qū)間也是最短的。而對于像樣本方差這類統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布屬于偏斜分布，我們?nèi)园凑諏ΨQ分位點(diǎn)來確定置信區(qū)間和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，則主要是為了方便，在這種情況下得到的置信區(qū)間并不是最短的或最佳的。[11]

當(dāng)按照習(xí)慣上的這種對稱分位點(diǎn)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，盡管可能得到的不是最佳區(qū)間和最佳檢驗(yàn)，但二者之間仍保持了對應(yīng)性。但是，當(dāng)人們需要求取最短區(qū)間和最佳檢驗(yàn)時(shí)，得到的最佳區(qū)間與最佳檢驗(yàn)之間卻不再相互對應(yīng)。[9]然而，上述雙側(cè)區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)所面臨的這種不統(tǒng)一性，并不存在于單側(cè)區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)當(dāng)中。對于單側(cè)情況下，由于置信區(qū)間或拒絕域的方向確定以后單側(cè)尾部概率就已經(jīng)確定，此時(shí)的置信區(qū)間與拒絕域仍是完全對應(yīng)統(tǒng)一的。

七、結(jié)語

參數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)之間的關(guān)系是復(fù)雜的。它們既存在著對應(yīng)性聯(lián)系，在一般情況即雙側(cè)對稱分位點(diǎn)和單側(cè)情況下相互對應(yīng)；又存在著明顯的區(qū)別，甚至具有完全不同的用途和功能，服務(wù)于不同的統(tǒng)計(jì)分析需要。因此，它們是兩類不同的推斷統(tǒng)計(jì)方法，不能簡單地等同起來。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 袁衛(wèi)，龐浩，曾五一. 統(tǒng)計(jì)學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社， 2004：120-121.

[2] 賈俊平，何曉群，金勇進(jìn). 統(tǒng)計(jì)學(xué)（第三版）[M]. 北京：中國人民大學(xué)出版社， 2007：212-242.

[3] [美]薩爾斯伯格著，邱東等譯.女士品茶[M].北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社，2004：55-61.

[4]呂小康. R語言統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社， 2017：181-182.

[5] 盛驟，謝式千，潘承毅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版[M]. 北京：高等教育出版社，2008：192-196.

[6] 賈俊平. 統(tǒng)計(jì)學(xué)——基于R[M]. 北京：中國人民大學(xué)出版社， 2014：105.

[7] 王靜龍，梁小筠. 定性數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析[M]. 北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社， 2008：41.

[8] [美]Alan Agresti著，張淑梅等譯.屬性數(shù)據(jù)分析引論（第二版）[M].北京：高等教育出版社， 2008：8.

[9] 王建華. 參數(shù)區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系[J]. 山西財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報(bào)（高等教育版）， 2007（4）：28-29.

[10] 賀樂平，莫宏敏. 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)與研究， 2014（85）：40-41.

[11] 劉次華，萬建平. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第二版）[M]. 高等教育出版社， 2003：182-185.

[責(zé)任編輯：林志恒]