一類兩個自由度Hamilton系統(tǒng)的重整化群方程

孫 寧, 宮萬家， 宋 瑩

(吉林大學 數(shù)學學院, 長春 130012)

0 引 言

重整化理論廣泛應用于量子場論和統(tǒng)計物理中, 文獻[1-2]通過對電荷、 質量、 耦合常數(shù)以及波函數(shù)等進行重整化, 巧妙地克服了傳統(tǒng)攝動方法的局限性, 把復雜奇異攝動問題的求解轉化為一類簡單方程----重整化方程的求解問題. 文獻[3-5]建立并發(fā)展了攝動重整化群方法, 在給出幾類重要奇異攝動問題的一致有效漸近展開式的同時, 探討了重整化群方法與經典奇攝動技巧之間的關系. 目前, 重整化群方法已廣泛應用于微分方程等領域, 并取得一系列的成果[6-7].

文獻[8-10]利用重整化群方法研究了一類兩個自由度的Hamilton系統(tǒng), 證明了: 如果Hamilton系統(tǒng)的二階重整群方程是Hamilton系統(tǒng), 則原Hamilton系統(tǒng)和重整化群方程都是可積的. 文獻[8-10]考慮的Hamilton系統(tǒng)為

(1)

其中:ε是小參數(shù); 勢能函數(shù)V(q1,q2)是q1和q2二次或三次齊次多項式, 得到如下結果:

定理1[8-10]如果Hamilton系統(tǒng)(1)的二階重整化群方程是Hamilton系統(tǒng), 則Hamilton系統(tǒng)(1)及其重整化群方程都是可積的.

定理2[11]Hamilton系統(tǒng)(1)的二階重整化群方程是Hamilton系統(tǒng)當且僅當Hamilton系統(tǒng)(1)是可分的, 即V(q1,q2)關于q1和q2是可分的. 其中: 勢能V(q1,q2)是解析函數(shù), 且只含有的q1和q2的偶次項.

本文運用重整化群方法研究一類更一般的兩個自由度Hamilton系統(tǒng), 得出其O(ε)階重整化群方程, 并證明了該重整化群方程也是Hamilton系統(tǒng).

1 主要結果

考慮如下兩個自由度的Hamilton系統(tǒng):

其中勢能函數(shù)V(q1,q2,p1,p2)是解析函數(shù). 與H對應的運動方程組為

(2)

首先, 用求解重整化群方法求方程組(2)的一致有效近似展開式, 主要分如下兩步.

1) 求直接攝動展開式.

假設

(3)

將式(3)代入方程組(2)中, 對比等式兩端ε的同次冪系數(shù), 得

解式(4)得

(6)

其中B1,B2,C1,C2是任意常數(shù). 由式(5),(6)得

(7)

為求解式(7), 將Uj(q10,q20,p10,p20)和Vj(q10,q20,p10,p20)做Fourier展開, 得

(8)

其中

(9)

將式(8)代入式(7)得

(10)

解式(10)得

(11)

于是, 可得方程組(2)的一階直接展開式:

(12)

2) 導出重整化群方程.

因此, 方程組(2)的O(ε)階重整化群方程為

(13)

重整化群方程(13)是Hamilton系統(tǒng). 事實上, 令

直接計算得

綜上, 可得:

定理3Hamilton系統(tǒng)(2)的O(ε)階重整化群方程為

(14)

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