對(duì)分課堂在“線性代數(shù)”課堂教學(xué)中的實(shí)踐

李 賓

(吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130012)

“線性代數(shù)”是我國高等院校理工、經(jīng)管各專業(yè)的一門重要公共基礎(chǔ)課?！熬€性代數(shù)”教學(xué)不僅能擴(kuò)充大學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，為其很多后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，還能夠培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力和抽象概括能力。“線性代數(shù)”課程具有概念繁多、內(nèi)容抽象、運(yùn)算復(fù)雜、邏輯性強(qiáng)等特點(diǎn)，理論的抽象性和計(jì)算的復(fù)雜性給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的難度。傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重理論輕應(yīng)用、重演繹輕歸納，過分追求數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性與嚴(yán)密性，往往忽略對(duì)學(xué)生理解力的考慮。長(zhǎng)此以往，學(xué)生的問題越積越多，漸漸喪失了學(xué)習(xí)興趣、產(chǎn)生畏難情緒，出現(xiàn)學(xué)生不愿學(xué)、課堂出勤率低、課程通過率低等現(xiàn)象。為了提高教學(xué)質(zhì)量，筆者在“線性代數(shù)”教學(xué)中引入對(duì)分課堂的教學(xué)模式，試圖改變以教師為中心的知識(shí)傳授教學(xué)模式，激發(fā)和增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和自主性，提高學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)效果。

1 對(duì)分課堂簡(jiǎn)介

對(duì)分課堂是復(fù)旦大學(xué)張學(xué)新教授針對(duì)我國大學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀于2014年提出的課堂教學(xué)新模式[1]，其核心理念是分配一半課堂時(shí)間給教師講授，另一半課堂時(shí)間讓學(xué)生以討論的形式進(jìn)行交互式學(xué)習(xí)。對(duì)分課堂把教學(xué)刻畫為時(shí)間上清晰分離的三個(gè)過程，分別為講授、內(nèi)化吸收和討論，可簡(jiǎn)稱為PAD課堂。對(duì)分課堂首先是教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的講授，包括主要框架、重點(diǎn)和難點(diǎn)；課后學(xué)生選擇自己的方式進(jìn)行回顧、學(xué)習(xí)，在此過程中深入吸收、細(xì)化知識(shí)點(diǎn)；然后進(jìn)入課堂討論，將學(xué)生分成小組，討論上次課所學(xué)內(nèi)容、教師布置的任務(wù)和學(xué)生內(nèi)化吸收階段遇到的問題，學(xué)生之間進(jìn)行交流、討論,分享學(xué)習(xí)的體會(huì)；對(duì)于小組討論中的疑難問題，教師最后進(jìn)行解答和總結(jié)。這一教學(xué)模式能調(diào)動(dòng)和增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，改善教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量[2]。

2 對(duì)分課堂在“線性代數(shù)”課堂教學(xué)中的實(shí)踐

2.1 教學(xué)準(zhǔn)備

在“線性代數(shù)”課堂中采用對(duì)分課堂的教學(xué)模式，教師在開學(xué)前要做充分細(xì)致的準(zhǔn)備。首先要了解教材的編寫體系、特點(diǎn)，掌握各個(gè)概念、定理、公式、方法間的相互關(guān)系，熟悉各章的重點(diǎn)和難點(diǎn)，制定教學(xué)計(jì)劃和教學(xué)進(jìn)度；然后根據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)，確定對(duì)分課堂的內(nèi)容和對(duì)分時(shí)間，并結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，本著有助于學(xué)生理解掌握內(nèi)容、突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的宗旨提出合適的討論問題。

在開學(xué)初要向?qū)W生介紹對(duì)分課堂的教學(xué)模式、教學(xué)流程，小組討論的目的、內(nèi)容和要求，作業(yè)的要求，考核的方式等，讓學(xué)生明白課上課下每個(gè)環(huán)節(jié)中自己的職責(zé)和需要完成的任務(wù)；同時(shí)還要對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，每組4～5人，選出小組組長(zhǎng)并明確組長(zhǎng)的職責(zé)。

2.2 教學(xué)實(shí)施

在教學(xué)過程中，根據(jù)對(duì)分課堂的教學(xué)流程，把教學(xué)過程按時(shí)間先后分為三個(gè)階段。首先是教師講授，精講教學(xué)內(nèi)容，對(duì)一些繁長(zhǎng)復(fù)雜的定理證明可以刪去或者只介紹證明思路，把時(shí)間和重心放在加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念和定理的理解和方法的掌握上，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)。例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)矩陣的秩這一節(jié)時(shí)，教師主要講授矩陣秩的概念、相應(yīng)的定理推論、求矩陣秩的方法和一些秩的重要結(jié)論，刪去了初等變換不改變矩陣的秩這一定理和關(guān)于行滿秩矩陣的定理的證明過程，使得課堂上的教學(xué)內(nèi)容更加緊湊、連貫和易懂；隨后布置課后作業(yè)和如下討論問題：(1)矩陣A的秩等于r是什么意思？(2)在秩為r的矩陣中，有沒有等于0的r階子式？有沒有等于0的r-1階子式？有沒有不等于0的r+1階子式？(3)什么樣的矩陣其秩等于0？什么樣的矩陣其秩r≥1？(4)在矩陣A中劃去一行得到矩陣B，A的秩與B的秩有什么關(guān)系？在矩陣A中劃去k行得到矩陣B，A的秩與B的秩有什么關(guān)系？(5)求矩陣的秩有什么方法？(6)兩個(gè)同型矩陣A、B的秩相同，A、B是什么關(guān)系？接下來是學(xué)生內(nèi)化吸收等等，學(xué)生課后通過閱讀教材和ppt溫習(xí)所學(xué)內(nèi)容，通過獨(dú)立完成作業(yè)加深對(duì)概念和定理的理解，熟練地掌握所學(xué)方法。學(xué)生的內(nèi)化吸收是一個(gè)反復(fù)的過程，每個(gè)學(xué)生內(nèi)化吸收的速度和方式都是不同的，所以教師講授與小組討論之間要留出充足的時(shí)間讓學(xué)生吸收和消化知識(shí)。最后是小組討論，學(xué)生就教師布置的問題逐條進(jìn)行討論，表述自己的理解，互相交流，互相討論，互相啟發(fā)；在小組討論中學(xué)生也可提出自己的問題，和其他同學(xué)一起討論，互相解答，從而發(fā)現(xiàn)自己的不足，分享學(xué)習(xí)體會(huì)，吸取經(jīng)驗(yàn)，共同提高；討論結(jié)束后教師對(duì)疑難問題進(jìn)行解答和總結(jié)，修正學(xué)生的思考偏差，指出正確的解題方法。為了使學(xué)生加強(qiáng)印象，要求各小組對(duì)所有討論的問題做出完整的書面答案，并在下次課交給教師審閱。

2.3 學(xué)生反饋

“線性代數(shù)”課程實(shí)施對(duì)分課堂教學(xué)模式后，學(xué)生的表現(xiàn)有了較明顯的變化。首先是學(xué)生愿意思考問題。以前學(xué)生認(rèn)為只要在課堂上聽教師講授、課后按時(shí)完成作業(yè)，就理解了教學(xué)內(nèi)容；實(shí)施對(duì)分課堂后，學(xué)生通過對(duì)教師布置的討論問題進(jìn)行獨(dú)自思考，認(rèn)識(shí)到在課后環(huán)節(jié)對(duì)討論問題的思考更有助于深入理解課堂教學(xué)內(nèi)容，更清晰地了解各個(gè)概念、定理和方法間的相互關(guān)系；其次是學(xué)生能積極參與討論。實(shí)施對(duì)分課堂為學(xué)生提供相互交流討論的機(jī)會(huì)和平臺(tái)，使他們通過討論及時(shí)發(fā)現(xiàn)和解答問題，敢于說出自己的理解和觀點(diǎn)，積極分享學(xué)習(xí)的體會(huì)，學(xué)生的課堂參與意識(shí)和學(xué)習(xí)主動(dòng)性都明顯提高了。

3 關(guān)于對(duì)分課堂的幾點(diǎn)思考

3.1 教師講授要精講和留白

“線性代數(shù)”課程概念多、理論抽象、方法復(fù)雜，學(xué)生自學(xué)難度較大。所以,對(duì)主要的概念、定理和重要的方法還是要采取傳統(tǒng)教學(xué)模式，由教師講授，這樣才能保證數(shù)學(xué)知識(shí)的專業(yè)性、系統(tǒng)性和連貫性，同時(shí)為學(xué)生提供理論、方法以及思維方式的指導(dǎo)和訓(xùn)練。同時(shí)，由于要留出一定的時(shí)間給學(xué)生討論，教師講授的時(shí)間有所縮短，這就要求教師既要在較少時(shí)間內(nèi)完成講授，又要讓學(xué)生理解重點(diǎn)與難點(diǎn)，因此教師不能事無巨細(xì)、全面完整，只能精講教學(xué)內(nèi)容，講授主要的概念、定理和方法，突出重點(diǎn)和難點(diǎn)。

3.2 作業(yè)是對(duì)分課堂成功的重要保障

對(duì)于對(duì)分課堂教學(xué)模式，教師可以通過精講內(nèi)容和布置適合的討論問題掌控講授環(huán)節(jié)和討論環(huán)節(jié)，而學(xué)生的內(nèi)化吸收是連接講授與討論的核心環(huán)節(jié)，是對(duì)分成功的關(guān)鍵。要想促進(jìn)學(xué)生的內(nèi)化吸收，教師布置作業(yè)是非常必要的。學(xué)生不做作業(yè),就難以熟練掌握所學(xué)內(nèi)容。對(duì)分課堂的作業(yè)要能引導(dǎo)學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容、吃透重點(diǎn)難點(diǎn)，使學(xué)生了解所學(xué)內(nèi)容與其他知識(shí)的關(guān)聯(lián)，補(bǔ)充教師留出的空白，建立完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架。作業(yè)中應(yīng)有各種難度的習(xí)題，滿足不同層次學(xué)生的需求，深入挖掘他們的潛能。教師通過查閱學(xué)生作業(yè)完成情況，能夠了解學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)內(nèi)化吸收的程度，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并給予有針對(duì)性的指導(dǎo)。

3.3 合理掌握對(duì)分時(shí)間

對(duì)分時(shí)間要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容來確定，不必對(duì)半平分課堂時(shí)間。在線性代數(shù)教學(xué)中，有的章節(jié)可以一章進(jìn)行一次小組討論，有的可以一章多次。教師應(yīng)根據(jù)每章節(jié)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn),靈活運(yùn)用對(duì)分課堂教學(xué)模式。例如，在行列式這一章講授結(jié)束后組織一次討論，而在線性方程組與向量組的線性相關(guān)性這一章講授結(jié)束后安排兩次討論。

3.4 精心設(shè)計(jì)討論問題

對(duì)分課堂的小組討論是學(xué)生在教師講授和學(xué)生內(nèi)化吸收的基礎(chǔ)上對(duì)所學(xué)內(nèi)容的再一次溫習(xí)和鞏固，是又一次的內(nèi)化過程，所以教師要根據(jù)課程內(nèi)容精心設(shè)計(jì)討論問題。討論問題的形式應(yīng)多樣化，可以是課上內(nèi)容，也可以是作業(yè)，還可以是判斷題、思考題和計(jì)算題等。教師提出的討論問題不宜太多、太難，但要突出重點(diǎn)，要有助于學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，消除常犯的錯(cuò)誤，理清容易混淆的概念和方法，也要有助于學(xué)生擴(kuò)展思維，使他們對(duì)所學(xué)內(nèi)容理解得更透徹、記憶得更牢固、運(yùn)用得更靈活。

4 結(jié)語

對(duì)分課堂教學(xué)模式是教學(xué)方法改革的一個(gè)新的嘗試，它在傳統(tǒng)教學(xué)模式的基礎(chǔ)上，通過增加對(duì)分討論形式來提高學(xué)生對(duì)教學(xué)活動(dòng)的參與意識(shí)，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)模式以教師為中心的單向傳授的不足，體現(xiàn)以學(xué)生為本的教學(xué)理念。實(shí)踐表明，對(duì)分課堂教學(xué)模式更能激發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，有利于提升教學(xué)效果、提高教學(xué)質(zhì)量，值得繼續(xù)堅(jiān)持、大膽探索、及時(shí)總結(jié)、不斷創(chuàng)新、逐步完善。