陳靜

摘 要 《雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程》引入的課堂實(shí)錄及其教學(xué)反思。

關(guān)鍵詞 雙曲線(xiàn)；標(biāo)準(zhǔn)方程；核心素養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：TH132.415 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）25-0202-01

本課的授課班級(jí)為四星普通高中文科班，學(xué)生運(yùn)算能力較差，缺乏良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有較強(qiáng)的可塑性。學(xué)生已經(jīng)了解了橢圓的定義、幾何性質(zhì)，雙曲線(xiàn)定義等一系列的知識(shí)，有一定的抽象概括能力，本課采用類(lèi)比法，引導(dǎo)學(xué)生合作交流，自主探究雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，強(qiáng)化學(xué)生求解曲線(xiàn)方程的方法；體現(xiàn)學(xué)生主體意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、概括、數(shù)形結(jié)合及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理的素養(yǎng)。

一、引入

已知A、B兩地相距800m，一炮彈在某處爆炸，在A處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間與在B處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間的差的絕對(duì)值2s，設(shè)聲速為340m/s，問(wèn)：（1）爆炸點(diǎn)在什么曲線(xiàn)上？（2）求這條曲線(xiàn)的方程。

學(xué)生分析思路：假設(shè)爆炸處是P點(diǎn)，由題意知

教師提問(wèn)：符合題意的P點(diǎn)是否只有一個(gè)？學(xué)生思考后，回答不止一個(gè)，有無(wú)數(shù)個(gè)；教師引導(dǎo)，動(dòng)點(diǎn)P除了滿(mǎn)足 ，還滿(mǎn)足什么條件嗎？學(xué)生思考后回答：滿(mǎn)足 ；教師提問(wèn)，P、A、B三點(diǎn)在同一平面內(nèi)嗎？如果在，滿(mǎn)足以上條件的P點(diǎn)在什么曲線(xiàn)上呢？學(xué)生思考后，給出答案：在同一平面內(nèi)，P點(diǎn)滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)定義，所以P點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上。師生共同回顧雙曲線(xiàn)定義。

設(shè)計(jì)意圖：這是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，一方面是為了讓學(xué)生體會(huì)雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要性，另一方面是培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題；針對(duì)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型；能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，從而提升應(yīng)用能力。

解決了第一個(gè)問(wèn)題后，第（2）個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求雙曲線(xiàn)的方程，教師提問(wèn)，橢圓有標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線(xiàn)有沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)方程呢？能否類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，求解雙曲線(xiàn)的方程？學(xué)生復(fù)習(xí)求曲線(xiàn)方程的方法：軌跡法，步驟：第一步，建系；第二步，設(shè)動(dòng)點(diǎn)；第三步，列等式；第四步，代入坐標(biāo)；第五步，化簡(jiǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)，學(xué)生自主尋求方法，為進(jìn)一步提升學(xué)生的核心素養(yǎng)做準(zhǔn)備。

二、雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)

學(xué)生活動(dòng)1：類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，學(xué)生分組自行展開(kāi)推導(dǎo)。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題、通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，是本環(huán)節(jié)主要意圖。

學(xué)生活動(dòng)2：學(xué)生運(yùn)算能力有限，大部分學(xué)生推導(dǎo)存在困難，教師借助軟件GGB的功能，由橢圓與標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，探究得到焦點(diǎn)為F（-C，0）、F（C，0）的雙曲線(xiàn)方程，再通過(guò)運(yùn)算確定雙曲線(xiàn)的方程，并指出方程與圖像間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，需要學(xué)生積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，逐漸養(yǎng)成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣。前一環(huán)節(jié)雖然提供了雙曲線(xiàn)方程的推導(dǎo)方法，但因?qū)W生能力的局限性，對(duì)推導(dǎo)的方向不明確，本環(huán)節(jié)采用倒置的方法，讓學(xué)生從具體的雙曲線(xiàn)方程中，先猜想雙曲線(xiàn)方程的一般情況，然后再推導(dǎo)證明，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，又解決了問(wèn)題。

在解決了焦點(diǎn)為F（-C，0）、F（C，0）的雙曲線(xiàn)方程后，類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)為F（0，-C）、F（0，C）的雙曲線(xiàn)方程，教師明確提出，這兩種建系下得到的雙曲線(xiàn)方程為雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。

三、解決引例

學(xué)生為主題，教師輔助，完成引例。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的基本手段。本環(huán)節(jié)學(xué)生運(yùn)用新學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，從而提升應(yīng)用能力。

教學(xué)反思：

（1）發(fā)揮引例的作用。課堂引入是課堂教學(xué)最基本最重要的環(huán)節(jié)，合理有效的課堂引入能迅速將學(xué)生的注意力轉(zhuǎn)移到課堂上來(lái)，保障課堂教學(xué)的質(zhì)量和效率，本課的引例的一個(gè)作用是凸顯雙曲線(xiàn)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，但也增加了數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，對(duì)于本班學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模本身就是一個(gè)難點(diǎn)，在建模的處理上給學(xué)生思考的時(shí)間不夠，一碗濃湯總是要慢燉的，快了達(dá)不到預(yù)期效果。

（2）明確引例的目的。引例最直接的目標(biāo)是提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的存在性、必要性，深層次的目標(biāo)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個(gè)高度抽象的思維產(chǎn)物，它是高于數(shù)學(xué)知識(shí)的思維方法。他的培養(yǎng)不能脫離具體的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，需要在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想方法的掌握過(guò)程中，通過(guò)逐步積累、領(lǐng)悟、內(nèi)省形成，這就是說(shuō)，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升離不開(kāi)教師的合理引導(dǎo)，教師給學(xué)生“教什么？怎么教？”很大程度上影響著學(xué)生將來(lái)具備怎樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生，數(shù)學(xué)能力的形成與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升主要依賴(lài)于數(shù)學(xué)課堂，或者源于數(shù)學(xué)課堂，只有在數(shù)學(xué)課堂中多關(guān)注“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析”等方面的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生多去思考數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)，才能使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以有效體現(xiàn)與落實(shí)。本課引例部分通過(guò)學(xué)生建模等一系列活動(dòng)，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，但因擔(dān)心學(xué)生的能力問(wèn)題，方程推導(dǎo)不敢全面放手，同時(shí)整體格局也有局限，在雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程出來(lái)后，可以進(jìn)行拓展，用類(lèi)比法可以得到雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么拋物線(xiàn)呢？圓錐曲線(xiàn)以外的曲線(xiàn)呢？

參考文獻(xiàn)：

[1]淺談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其在課堂教學(xué)中的落實(shí).lijing1002070的博客.