萬志超，宋　杰，沈永良

(1.計算智能與信號處理教育部重點實驗室(安徽大學(xué))，合肥 230601；　2.安徽大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，合肥 230601)(*通信作者電子郵箱luckwan12@163.com)

0　引言

粗糙集理論是Pawlak教授[1]于1982年提出的一種處理不確定性知識的數(shù)據(jù)分析理論，它的基本思想是通過等價關(guān)系將知識論域劃分成知識粒，然后對目標概念進行近似逼近。由于該理論的自身特性，目前已廣泛運用于機器學(xué)習(xí)、智能信息處理和數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域[2-4]。

近年來，隨著研究的深入，傳統(tǒng)的粗糙集理論也暴露了一些局限性，因此研究人員對粗糙集模型也作了大量的推廣，例如，Ziarko[5]提出了變精度粗糙集，使得粗糙集模型降低了對噪聲數(shù)據(jù)的敏感度;Duboid等[6]提出了模糊粗糙集;張植明等[7]提出了基于直覺模糊覆蓋的直覺模型粗糙集;Lin[8]提出了鄰域粗糙集模型。這些模型不斷地被提出，使得粗糙集理論逐漸趨于完善。最近，Qian等[9-10]在粒計算的視角下提出了多粒度粗糙集模型，該模型通過多個等價關(guān)系對論域進行劃分，進而構(gòu)造出了多重的知識粒對目標對象進行近似逼近，這樣可以對目標概念進行更為全面的知識挖掘[9]。目前該模型已成為粗糙集理論的研究熱點[10-12]。

直覺模糊粗糙集[7]是粗糙集理論的一種常見模型，由于該模型以直覺模糊集[13]作為理論基礎(chǔ)，通過隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個視角來刻畫對象的隸屬關(guān)系，有著更好的數(shù)據(jù)相似性度量效果[13]，這使得直覺模糊粗糙集有著更優(yōu)越的近似逼近刻畫，目前受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[7,14-16]。

雖然多粒度粗糙集和直覺模糊粗糙集都是粗糙集理論中兩種優(yōu)秀的模型，但是很少有學(xué)者考慮將它們進行結(jié)合，因此本文在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了一種直覺模糊多粒度粗糙集模型，并定義了樂觀和悲觀的兩種形式。近年來由于張明等[12]提出了多粒度粗糙集模型中近似集定義的不合理情況，并給出了一種改進的模型，本文采用該改進方法，進一步地提出了改進的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型，并證明了相關(guān)的性質(zhì)。實例分析表明，所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型改善了原先模型對于近似集定義過于寬松和過于嚴格的情形，在近似逼近方面更具合理性。屬性約簡是粗糙集模型中一種重要的應(yīng)用[17-18]，在所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型基礎(chǔ)上，本文進一步地給出了該模型的近似分布約簡算法，UCI實驗結(jié)果也驗證了該算法具有更好的約簡性能。

1　相關(guān)概念

1.1　直覺模糊粗糙集

直覺模糊集是Atanassov[13]在模糊集理論上的拓展，它通過隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三個方面來描述信息的不確定性，相比模糊集更具靈活性。

(1)

定義2對于一個全集U，定義U上的直覺模糊關(guān)系Ω為:

Ω={〈(x,y),μΩ(x,y),νΩ(x,y)〉|(x,y)∈U×U}

(2)

其中:μΩ∈[0,1],νΩ∈[0,1],并且滿足μΩ+νΩ∈[0,1]。U上的直覺模糊關(guān)系Ω可用關(guān)系矩陣表示為:

(3)

(4)

(5)

其中:

1.2　多粒度粗糙集

多粒度粗糙集模型是Qian等[9]在傳統(tǒng)粗糙集理論上的推廣，該模型通過多個等價關(guān)系方式對近似對象進行粗糙逼近，從而對研究對象達到更為全面的認識。

定義4設(shè)信息系統(tǒng)IS=(U,AT),其中：U為非空有限對象集，被稱為全集；AT為全體屬性集。{A1,A2,…,Am}為AT上m個屬性子集，?X?U關(guān)于這m個屬性子集的樂觀多粒度粗糙集的下近似和上近似分別定義為：

(6)

(7)

其中[x]Ai表示對象x在等價關(guān)系A(chǔ)i下的等價類。

定義5對于信息系統(tǒng)IS=(U,AT),設(shè){A1,A2,…,Am}為AT上m個屬性子集，?X?U關(guān)于這m個屬性子集的悲觀多粒度粗糙集的下近似和上近似分別定義為:

(8)

(9)

2　可變直覺模糊多粒度粗糙集模型

直覺模糊粗糙集[7]和多粒度粗糙集[9]是粗糙集理論中兩種重要的模型，直覺模糊粗糙集通過隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個方面對不確定性對象具有更好的近似逼近效果[16]，而多粒度粗糙集通過多視角對目標概念進行分析。為了融合兩種模型的優(yōu)勢，本文將兩種模型結(jié)合，提出基于直覺模糊集的多粒度粗糙集模型。

(10)

(11)

其中:

(12)

(13)

其中:

(14)

(15)

證明根據(jù)定義3和定義6可直接得到性質(zhì)1成立。

在勞動力價格日趨高漲的情況下，減少勞動力工作日，減輕勞動強度，提高勞動效益，加快投入裝備，實現(xiàn)自動化和機械化、半機械化是重要的途徑，針對土墻日光溫室，一是配置滴灌設(shè)施，實現(xiàn)小規(guī)模2-10棟溫室規(guī)模的水肥一體化設(shè)施，實現(xiàn)灌溉澆水、施肥施藥等的自動化，降低溫室內(nèi)濕度，減少病蟲害。二是對溫室通風(fēng)口和外保溫改造，配置溫度濕度的監(jiān)控裝置，并同通風(fēng)口、卷簾機和手機等聯(lián)結(jié)，形成自動化的日光溫室植物生長因素監(jiān)控遙控系統(tǒng)。三是對于比較大的溫室，增加角鐵軌道或懸掛吊軌輸送采摘蔬菜和生產(chǎn)資料。

(16)

(17)

證明根據(jù)定義3和定義7可直接得到性質(zhì)2成立。

觀察性質(zhì)1和性質(zhì)2可以發(fā)現(xiàn)，所提出的直覺模糊多粒度粗糙集模型中也出現(xiàn)了相同的弊端，為了解決這一問題，本文將張明等[12]提出的可變多粒度粗糙集融入到所提的模型中。

(18)

(19)

這里滿足Θ′?Θ,|Θ′|/|Θ|=α,并且:

(20)

(21)

這里滿足Θ′?Θ,|Θ′|/|Θ|≥α,并且:

通過定義8和定義9可以發(fā)現(xiàn)，可變直覺模糊多粒度粗糙集模型中的參數(shù)α用來限定模型中直覺模糊關(guān)系的吸取或合取，這樣相比原先的直覺模糊多粒度粗糙集模型具有更好的靈活性?？勺冎庇X模糊多粒度粗糙集模型滿足如下性質(zhì)。

(22)

(23)

當α=1時:

(24)

(25)

證明當0<α≤1，即Θ′?Θ，那么根據(jù)定義8有:

證畢。

在直覺模糊樂觀多粒度粗糙集模型中，下近似的定義過于寬松，上近似的定義過于嚴格，通過性質(zhì)3的式(22)可以發(fā)現(xiàn)，含參數(shù)α的可變下近似小于原先的下近似，含參數(shù)α的可變上近似大于原先的上近似，說明了含參數(shù)的下近似定義較為嚴格一點，上近似定義較為寬松一點，這樣消除了原先直覺模糊樂觀多粒度粗糙集模型的缺陷，對近似集具有更合理的擬合效果。同樣地，通過性質(zhì)3的式(23)得出可變直覺模糊悲觀多粒度粗糙集模型也達到了更合理的近似逼近效果。

此外，在性質(zhì)3的式(24)、(25)中，當α=1時，可變直覺模糊多粒度粗糙集模型便退化為直覺模糊多粒度粗糙集模型，因此直覺模糊多粒度粗糙集模型是可變模型的特例，可變模型是直覺模糊多粒度粗糙集模型的泛化。

(26)

(27)

(28)

α1≤α2?

(29)

證明根據(jù)定義8和定義9，式(26)、(27)顯然成立。

在式(29)中，α1≤α2有Θ1?Θ2，那么：

證畢。

在性質(zhì)4的式(26)～(28)表明，可變直覺模糊多粒度粗糙集模型仍然滿足原先模型的一些最基本的性質(zhì)，但是在式(29)中，設(shè)置不同的參數(shù)α值，可以得到不同大小的上下近似，這就表明，可以通過設(shè)置參數(shù)α來調(diào)節(jié)模型上下近似的寬松和嚴格程度，這樣使得該模型具有較好的靈活性。

3　實例分析

接下來本文設(shè)定參數(shù)α=2/3，計算出可變直覺模糊樂觀多粒度粗糙集以及悲觀多粒度粗糙集，其結(jié)果為：

觀察可以發(fā)現(xiàn)：首先近似集結(jié)果滿足性質(zhì)3；其次，相對直覺模糊多粒度粗糙集模型，可變模型的粗糙集在寬松和嚴格方面有了一定的改善，使得可變直覺模糊多粒度粗糙集模型擁有了更合理的近似逼近效果。同時也可以根據(jù)實際的需求來適當?shù)剡x取α值。

4　近似分布約簡

屬性約簡是粗糙集理論在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中一種重要的應(yīng)用[2,17-18]，在多粒度粗糙集模型中，基于近似分布的屬性約簡是目前研究的重點[9-10,18]。在本章將探究可變直覺模糊多粒度粗糙集模型關(guān)于近似分布的屬性約簡問題。

定義10設(shè)決策信息系統(tǒng)DIS=(U,C∪D),其中U為非空有限對象集，C為信息系統(tǒng)的條件屬性集，D為決策屬性集，且C∩D=?。決策屬性集D誘導(dǎo)出的劃分為U/D={D1,D2,…,Dr}。設(shè){A1,A2,…,Am}為C上m個條件屬性子集，并且條件屬性子集Ai誘導(dǎo)出的直覺模糊關(guān)系為ΩAi。令0<α≤1,定義：

(30)

(31)

(32)

(33)

定義11對于決策信息系統(tǒng)DIS=(U,C∪D),決策屬性集D誘導(dǎo)出的劃分為U/D={D1,D2,…,Dr}。0<α≤1，設(shè){A1,A2,…,Am}為C上m個條件屬性子集，誘導(dǎo)出的一組直覺模糊關(guān)系為{ΩA1,ΩA2,…,ΩAm}，另外設(shè){B1,B2,…,Bm}也為C上m個條件屬性子集，并且滿足Bi?Ai(1≤i≤m)，誘導(dǎo)出的一組直覺模糊關(guān)系為{ΩB1,ΩB2,…,ΩBm}。若{B1,B2,…,Bm}是{A1,A2,…,Am}的樂觀下近似分布相對約簡當且僅當：

若{B1,B2,…,Bm}是{A1,A2,…,Am}的樂觀上近似分布相對約簡當且僅當：

同理，對于決策信息系統(tǒng)DIS=(U,C∪D),決策屬性集D誘導(dǎo)出的劃分為U/D={D1,D2,…,Dr}。0<α≤1，設(shè){A1,A2,…,Am}為C上m個條件屬性子集，誘導(dǎo)出的一組直覺模糊關(guān)系為{ΩA1,ΩA2,…,ΩAm}，另外設(shè){B1,B2,…,Bm}也為C上m個條件屬性子集，并且滿足Bi?Ai(1≤i≤m)，誘導(dǎo)出的一組直覺模糊關(guān)系為{ΩB1,ΩB2,…,ΩBm}。若{B1,B2,…,Bm}是{A1,A2,…,Am}的悲觀下近似分布相對約簡當且僅當：

若{B1,B2,…,Bm}是{A1,A2,…,Am}的悲觀上近似分布相對約簡當且僅當：

在定義11中關(guān)于可變直覺模糊多粒度粗糙集模型的近似分布約簡中，條件(1)表示的是樂觀/悲觀近似分布約簡集和原屬性子集具有相同的近似分布，即具備相同的分類性能，條件(2)保證樂觀/悲觀近似分布約簡集的極小性。同時，如果{B1,B2,…,Bm}既是樂觀/悲觀下近似分布約簡又是樂觀/悲觀上近似分布約簡，那么稱{B1,B2,…,Bm}是{A1,A2,…,Am}的樂觀/悲觀近似分布約簡。

根據(jù)定義11，可以得到基于可變直覺模糊多粒度粗糙集模型的屬性重要度定義。

(34)

(35)

(36)

(37)

另外，這里定義空集誘導(dǎo)出的直覺模糊關(guān)系為Ω?={〈(x,y),0,1〉|(x,y)∈U×U}。

在定義12中，如果a∈Ai關(guān)于Ai的屬性重要度的值為0，說明{A1,A2,…,Ai-{a},…,Am}和{A1,A2,…,Ai,…,Am}的在可變直覺模糊多粒度粗糙集下的近似分布是一致的，也就是說a關(guān)于Ai是冗余的，因此需要把屬性a在Ai中進行刪除。根據(jù)定義12，接下來給出可變直覺模糊多粒度粗糙集下的近似分布約簡算法。

算法1樂觀下近似分布約簡。

輸入決策信息系統(tǒng)DIS=(U,C∪D)，參數(shù)α，m個屬性子集{A1,A2,…,Am};

輸出下近似分布約簡{B1,B2,…,Bm}。

步驟1初始化Bi=?(1≤i≤m)。

步驟2計算決策屬性劃分U/D。

步驟3對于{A1,A2,…,Ai,…,Am}中每個屬性子集Ai,依次進行步驟4～5計算。

若出現(xiàn)多個滿足條件的屬性，任選其中一個。

步驟6返回{B1,B2,…,Bm}。

類似于算法1，還可以得到?jīng)Q策信息系統(tǒng)的樂觀上近似分布約簡，以及悲觀下/上近似分布約簡。

5　實驗分析

為了驗證本文所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型的優(yōu)勢，利用本文所提出的近似分布約簡算法和其他多粒度粗糙集模型的近似分布約簡算法分別對相同的數(shù)據(jù)集進行約簡，最后對分布約簡的大小和分布約簡的分類性能進行比較。參與實驗的數(shù)據(jù)集如表1所示，這些數(shù)據(jù)集均來自于UCI機器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)集庫。

實驗中選取的對比算法分別為:1)模糊多粒度決策理論粗糙集模型的近似分布約簡算法[19](記為算法A1和算法A2);2)多粒度雙量化決策理論粗糙集的近似分布約簡算法[20](記為算法B1和算法B2);3)可變多粒度粗糙集模型的近似分布約簡算法[12](記為算法C1和算法C2)。記本文所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集的近似分布約簡算法為算法D1和算法D2。上述中標記為1的算法均為樂觀下近似分布約簡，標記為2的算法均為樂觀上近似分布約簡。另外，由于本文提出的是直覺模糊關(guān)系下的多粒度粗糙集模型，對象之間的直覺模糊關(guān)系采用文獻[21]提出的構(gòu)造方法，即通過證據(jù)理論中信任函數(shù)和似然函數(shù)等函數(shù)去度量直覺模糊關(guān)系中的隸屬度和非隸屬度。

本實驗參與比較的均為各類多粒度粗糙集模型下的近似分布約簡算法，在進行實驗前需要構(gòu)造出一組屬性子集。表2所示的是表1中6個數(shù)據(jù)集構(gòu)造出的屬性子集結(jié)果，其中屬性子集的結(jié)果用屬性子集的大小來表示，例如對于數(shù)據(jù)集wine，屬性子集的大小結(jié)果為{4,4,5}，即對應(yīng)的3個屬性子集分別為{1,2,3,4},{5,6,7,8},{9,10,11,12,13}。同理，其余5個數(shù)據(jù)集也是用同樣的方法來表示。

表1　UCI數(shù)據(jù)集Tab. 1　UCI data sets

表2　多粒度屬性子集結(jié)果Tab. 2　Multi-granulation attribute subset results

表3、表4分別是四種下近似分布約簡算法和四種上近似分布約簡算法對表1各個數(shù)據(jù)集的屬性約簡結(jié)果比較。其中算法C1、C2、D1和D2均含有參數(shù)α，具體的取值在表中的括號里標注。由表3可以很明顯地看出，算法A1和算法B1約簡出的屬性子集包含了更少的屬性，這主要是由于算法A1和算法B1是在傳統(tǒng)多粒度粗糙集模型的基礎(chǔ)上構(gòu)造出的近似分布約簡，對近似目標的下近似粗糙逼近過于寬松，使得約簡集中每個屬性的屬性重要度評估不是特別的合理，約簡時剔除了一些比較重要的屬性，導(dǎo)致了每個屬性子集的約簡集比較小。而算法C1和算法D1相比算法A1和算法B1有著較大的約簡集，例如數(shù)據(jù)集wine、sonar、audio和move，這主要是由于算法C1和算法D1都是通過可變參數(shù)α的方式限制了多粒度粗糙集模型的近似逼近程度，改善了原先多粒度粗糙集模型中下近似逼近過于寬松的缺陷[12]，對于一些比較重要的屬性得到了保留，因此對應(yīng)的約簡集較大。算法D1是基于可變直覺模糊多粒度粗糙集構(gòu)造的約簡算法，直覺模型關(guān)系在刻畫數(shù)據(jù)相似性方面具有更高的優(yōu)越性，因此對屬性重要度有著更為精準的度量，從而使得算法D1的約簡集小于算法C1的約簡集。在表4中則可以觀察到相反的結(jié)果。算法A1和算法B1對近似目標的上近似粗糙逼近過于嚴格，導(dǎo)致了每個屬性子集的約簡集比較大，而算法C1和算法D1通過可變參數(shù)α的方式改善了這種上近似逼近過于嚴格的缺陷，使得算法C1和算法D1得到的約簡結(jié)果比較小，同時算法D1的約簡集更小，例如數(shù)據(jù)集wine、wdbc、iono和audio等。因此通過近似分布的約簡結(jié)果可以看出本文所提模型具有一定的優(yōu)越性。

表3　下近似分布約簡結(jié)果比較Tab. 3　Comparison of reduction results of lower approximation distribution

表4　上近似分布約簡結(jié)果比較Tab. 4　Comparison of reduction results of upper approximation distribution

為了評估四類模型近似分布約簡算法的約簡結(jié)果的有效性，本實驗通過粗糙集模型中關(guān)于決策屬性的近似精度度量來體現(xiàn)[9,12,18]，近似精度反映了粗糙集模型中近似目標的逼近程度。從表5中四種下近似分布約簡的近似精度度量結(jié)果可以看出，算法A1和A2約簡結(jié)果的近似精度和算法B1和B2約簡結(jié)果的近似精度普遍比較高，這主要是由于這兩種模型的下近似和上近似采用傳統(tǒng)的方法來描述，即下近似的逼近過于寬松，上近似的逼近過于嚴格，從而導(dǎo)致了近似精度過高，這顯然是不合理的。而算法C1和C2約簡結(jié)果的近似精度和算法D1和D2約簡結(jié)果的近似精度結(jié)果就稍微低一點，這主要是由于這兩種模型的參數(shù)α的加入能很好地改善原先多粒度粗糙集模型的缺陷，有利于反映出近似目標和屬性子集之間真實的近似度量效果，算法D1和D2約簡結(jié)果的近似精度在部分數(shù)據(jù)集的值更低一點，這主要是直覺模糊關(guān)系對數(shù)據(jù)相似性的刻畫具有更高優(yōu)越性的結(jié)果。從表5中四種上近似分布約簡的近似精度度量結(jié)果，同樣能看出類似的規(guī)律。因此通過對于近似精度整體分析，本文所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型具有更好的近似逼近效果。

在本文所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型中，參數(shù)α是一個很重要的參數(shù)，它的取值大小直接影響到了近似目標近似逼近效果。為了驗證參數(shù)α對近似分布約簡的影響，接下來將參數(shù)α在[0,1]區(qū)間上依次取值分別進行實驗，表1中各個數(shù)據(jù)集的下近似分布約簡和上近似分布約簡的實驗結(jié)果分別如圖1和圖2所示。

表5　近似分布約簡近似精度比較Tab. 5　Comparison of approximation accuracy of approximation distribution reduction

圖1　下近似分布約簡結(jié)果Fig. 1　Reduction results of lower approximation distribution

圖2　上近似分布約簡結(jié)果Fig. 2　Reduction results of upper approximation distribution

在圖1中，隨著參數(shù)α的逐漸增加，其下近似分布約簡中每個屬性子集的大小是逐漸增加的，這主要是由于參數(shù)α的值逐漸增大，逐漸增加了樂觀下近似定義的嚴格程度，使得約簡的嚴格程度也相應(yīng)增加，因此屬性子集逐漸增大。在圖2中，隨著參數(shù)α的逐漸增加，上近似分布約簡中每個屬性子集的大小是逐漸減少的，這主要是由于參數(shù)α的值逐漸增大，逐漸減小了上近似定義的嚴格程度，從而使得約簡的嚴格程度也相應(yīng)逐漸減小，屬性子集的大小逐漸減小。因此綜合起來分析可以發(fā)現(xiàn)，本文所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型在近似逼近和約簡方面都更具一定的靈活性，而參數(shù)α可以根據(jù)實際的需求靈活選取。

6　結(jié)語

多粒度粗糙集和直覺模糊粗糙集是粗糙集理論的兩種重要的模型，為了融合各自的優(yōu)點，本文提出直覺模糊多粒度粗糙集，針對該模型對于近似目標的粗糙逼近過于寬松和過于嚴格的問題作了進一步的改進，提出了可變直覺模糊多粒度粗糙集模型，并通過理論分析和實例驗證了該模型的合理性。同時本文進一步地給出了可變直覺模糊多粒度粗糙集模型的近似分布約簡算法，在UCI數(shù)據(jù)集上的實驗結(jié)果表明，所提出的屬性約簡算法具有更好的約簡性能，同時也驗證了本文的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型在近似逼近和數(shù)據(jù)降維方面均具有更高的優(yōu)越性。接下來，將針對所提出模型的規(guī)則提取方法作進一步研究。

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