廣東省中山市永寧中學(xué)(528415) 馮葉平

一元二次方程的解法一般都認(rèn)為有四種,包括直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法,而因式分解法又包含了提取公因式法、運(yùn)用公式法、十字相乘法,而運(yùn)用公式法又包括了運(yùn)用平方差公式及運(yùn)用完全平方公式.可以表示成下面的關(guān)系:

十字相乘法課本并不作要求,但由于在后續(xù)的一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的問題中,遇到的方程經(jīng)常是用十字相乘法解非常容易,因此在平時(shí)的教學(xué)中,一般都補(bǔ)充十字相乘法解一元二次方程這內(nèi)容的教學(xué).

從上圖不難看出,一元二次方程的解法細(xì)分就有常見的7種那么多,因此面對不同形式的一元二次方程,如何選擇最優(yōu)的方法進(jìn)行解題提高運(yùn)算的速度及準(zhǔn)確性,如何理解各種解法之間的關(guān)系也存在比較大的困難.本文結(jié)合平時(shí)的教學(xué),談?wù)勅绾卧谝辉畏匠痰慕夥ㄖ幸龑?dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“善學(xué)”.

1.觀察比較識(shí)真面目

下面通過展示教學(xué)中的部分環(huán)節(jié)來說明我是如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí),達(dá)到“善學(xué)”這目的的.

1.1 新解法引入時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較

通過一元二次方程第一課時(shí)的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)懂得運(yùn)用直接開平方法進(jìn)行解方程一元二次方程時(shí),方程都可以化成這兩種形式:x2=p(p≥0),(mx+n)2=p(p≥0).

第二課時(shí)教學(xué)配方法時(shí),其中引入新課的題目設(shè)計(jì)如下:

1.解方程:(1)4x2=25;(2)2(x-1)2=4;

(3)x2+6x+9=0.

(變式)2.解方程:x2+6x+4=0.

設(shè)計(jì)意圖非常明顯,第1題的前兩個(gè)小題為了復(fù)習(xí)直接開平方法的兩種類型,第(3)題及變式就是為了引導(dǎo)出配方法.

在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn),學(xué)生第1題的前兩個(gè)小題很快做出來,第(3)題也有部分同學(xué)完全平方公式非常熟練能夠順利完成,但有部分同學(xué)被卡住了.這時(shí),老師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察對比:

師:同學(xué)們,請大家觀察第(1)、(2)題與第(3)題方程的區(qū)別?

生:前兩題都是一個(gè)代數(shù)式的平方等于一個(gè)數(shù),第(3)題不是了.

師:與我的想法一樣!厲害!同學(xué)們再認(rèn)真觀察一下,第(3)個(gè)方程還有什么不同呢?

生1:方程右邊是0.

生2:是一元二次方程的一般形式.

生3:可以寫成一個(gè)代數(shù)式的完全平方.

師:大家觀察非常仔細(xì),都對!同學(xué)們生3告訴我們,可以寫成一個(gè)代數(shù)式的平方,那問題解決了嗎?

學(xué)生理解了第(3)題的解答.老師抓緊機(jī)會(huì)進(jìn)行小結(jié):同學(xué)們通過觀察、比較就能夠辨清題目之間的異同,就能夠找到問題解決的辦法,這種學(xué)習(xí)方法值得多使用.那么第2題呢?

師:我們繼續(xù)觀察這方程,看看又有什么不同?

生1:與第(3)是一樣的.

師(追問):為什么說一樣呢?

生1:方程右邊也是0,也是一元二次方程的一般形式.

師:非常準(zhǔn)確!這是相同的地方,能找出不同的地方嗎?

生2:這個(gè)方程左邊不能寫出一個(gè)完全平方式了.

師:你的觀察能力真強(qiáng)!

學(xué)生找到了方程的異同點(diǎn),學(xué)習(xí)了第(3)題,這道題學(xué)生就很容易找到了解題的突破口,找到了方向.

1.2 課堂練習(xí)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較

每節(jié)課在新解法的學(xué)習(xí)完成后,必然要進(jìn)行有針對性的練習(xí),此時(shí)學(xué)生也需要觀察方程的異同,選擇最優(yōu)的解法進(jìn)行求解.特別是學(xué)生在學(xué)習(xí)利用因式分解法求解時(shí),如果學(xué)生觀察不仔細(xì),那求解的速度及準(zhǔn)確性將大打折扣.下面通過用因式分解中的提取公因式法解一元二次方程的鞏固練習(xí)來說明:

7.解下列一元二次方程.

(1)x(x+2)-(x+2)=0;(2)x(2x-3)+5(3-2x)=0;

(3)x(x+2)=x+2;(4)3x(2x+1)=4x+2.

這是用因式分解法解一元二次方程例題學(xué)習(xí)后的課堂練習(xí),課堂練習(xí)一般采用先練習(xí)后點(diǎn)評的教學(xué)方式.由于到這節(jié)課為止,課本介紹的所有解法都學(xué)習(xí)完畢,因此在設(shè)計(jì)題目的時(shí)候,并沒有規(guī)定學(xué)生用什么方法進(jìn)行求解.教師完全可以預(yù)計(jì)到,學(xué)生一定有各種不同的解法,教師通過展示不同的解法,讓學(xué)生進(jìn)行對比,從而認(rèn)識(shí)到選擇最合適方法達(dá)到省時(shí)、準(zhǔn)確的效果.

教師投影學(xué)生答案進(jìn)行點(diǎn)評:

第(1)題學(xué)生都能夠用因式分解法求解;

第(2)題投影兩個(gè)學(xué)生的答案,先投影錯(cuò)誤的,然后引導(dǎo)學(xué)生觀察比較兩個(gè)方程的區(qū)別在哪里,能否化成含有公因式的方程?如何化?最后投影一個(gè)準(zhǔn)確的答案進(jìn)行強(qiáng)化.

第(3)題,教師先投影一個(gè)去括號(hào)后用配方法求解的答案,然后提問是否有別的解法,再投影學(xué)生的解法,讓學(xué)生回答為什么能夠想到用因式分解法來完成?因?yàn)楹泄蚴?x+2),一個(gè)在左邊、一個(gè)在右邊,移到左邊就解決問題了.

第(4)題,公因式更加隱蔽了,因此更多的學(xué)生是采用了去括號(hào)后用配方法完成了.這時(shí),教師提出:同學(xué)們再觀察觀察第(4)題,用什么方法解最快呢?這時(shí),又有一部分學(xué)生能夠識(shí)別隱蔽公因式的真面目了.

教師進(jìn)行及時(shí)的追問,在解一元二次方程時(shí),我們應(yīng)該如何做:

生1:應(yīng)該先觀察方程,再選擇方法;

生2:應(yīng)該找到方程的不同的地方;

生3:應(yīng)該學(xué)會(huì)比較;

生4:應(yīng)該先考慮用因式分解法;

······

觀察是人的一種有目的、有計(jì)劃的知覺;比較是在思想上確定事物異同的思維過程.教師在同一教學(xué)時(shí)間內(nèi)向?qū)W生呈現(xiàn)兩種或多種不同的方程形式引導(dǎo)學(xué)生觀察,求同尋異,促進(jìn)和加深學(xué)生對不同類型的方程選擇不同解法的認(rèn)識(shí).教師通過教學(xué),引導(dǎo)與強(qiáng)化學(xué)生進(jìn)行觀察、比較,讓學(xué)生在潛移默化中養(yǎng)成一種習(xí)慣.找到異同,其實(shí)就是找到突破口了.

2.巧用轉(zhuǎn)化得真結(jié)果

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓,而轉(zhuǎn)化思想方法又是數(shù)學(xué)思想的核心和精髓.何為數(shù)學(xué)思想,布魯姆在《教育目標(biāo)分類學(xué)》中明確指出:數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力”,它可以從語言描述向圖形表示轉(zhuǎn)化,或從語言表達(dá)向符號(hào)形式轉(zhuǎn)化.數(shù)學(xué)以其獨(dú)特性,轉(zhuǎn)化的思想經(jīng)常用到,對于一元二次方程的解法當(dāng)然也不例外.因此在教學(xué)的過程中,要讓學(xué)生巧用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行一元二次方程的學(xué)習(xí).

2.1 復(fù)雜與簡單之間的轉(zhuǎn)化

一元二次方程相對一元一次方程來說復(fù)雜多了,在教學(xué)的過程中,通過開平方、因式分解等辦法,把相對較為復(fù)雜的一元二次方程轉(zhuǎn)化成了一元一次方程進(jìn)行求解,體現(xiàn)了復(fù)雜與簡單之間的轉(zhuǎn)化.在高次方程、多元方程組等初中的代數(shù)中經(jīng)常使用這種方法.學(xué)生理解了這種方法,懂得遷移運(yùn)用了,對于高中學(xué)習(xí)一元二次不等式就更容易理解.

2.2 已知與未知之間的轉(zhuǎn)化

這在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中太常見了,以前面提到的方程為例進(jìn)行說明.

1.解方程:(1)4x2=25;(2)2(x-1)2=4;

(3)x2+6x+9=0.

(變式)2.解方程:x2+6x+4=0.

學(xué)生已經(jīng)觀察、對比出上面方程之間的差別的,因此引導(dǎo)如何把第(3)題轉(zhuǎn)化成第(1)、(2)題的形式,問題就解決了.

第(3)題解決了,把9變成4,又應(yīng)該如何做呢?學(xué)生也自然想到了化成完全平方式.

用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程時(shí),學(xué)生通過觀察、比較,也非常容易想到應(yīng)該利用等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)系數(shù)化1,從而把未知的轉(zhuǎn)化成已知的.

2.3 一般與特殊之間的轉(zhuǎn)化

在一元二次方程中,如果方程具備“ax2+bx=0(a/=0)”這種形式時(shí),均可用因式分解法中的提取公因式法解一元二次方程.但是“ax2+bx=0(a/=0)”中的“x”,既可以代表單項(xiàng)式,也可以代表多項(xiàng)式,方程也不一定是右邊等于0的形式,因此,在教學(xué)的過程中,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)準(zhǔn)這種類型的特征:含有因式、方程可以看成由兩大項(xiàng)組成,學(xué)生就比較容易把(2)、(3)、(4)這種特殊的方程轉(zhuǎn)化成一般的熟悉的(1)的形式進(jìn)行解答了.

7.解下列一元二次方程.

3.自我效能感促成功

數(shù)學(xué)知識(shí)是一環(huán)緊扣一環(huán),螺旋上升的.在教學(xué)中如果能夠根據(jù)這特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué),學(xué)生不但明白了知識(shí)與知識(shí)之間的關(guān)系,學(xué)生的知識(shí)體系也構(gòu)建起來了,學(xué)習(xí)起來更加輕松.一元二次方程的學(xué)習(xí)同樣具有這特點(diǎn),教學(xué)中讓學(xué)生明白,本節(jié)課相對以前知識(shí)只是多了一步或者兩步的解答過程,學(xué)生感覺可以接受,學(xué)起來就有信心了.下面舉例說明:

1.在直接開平方法中:

從解答過程的比較中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn),本節(jié)課相對以前的內(nèi)容只是多了答題這一步,學(xué)生感覺我要學(xué)會(huì)本節(jié)課內(nèi)容的心理距離就非常小了,自我效能感就高,學(xué)起來就有信心了.

2.在配方法中:

從對比中不難發(fā)現(xiàn),配方法只是比直接開平方法多了兩步而已,而移項(xiàng)非常簡單,對于配方這一步,用以下四道練習(xí)進(jìn)行尋找規(guī)律與鞏固,學(xué)生發(fā)現(xiàn)這節(jié)課最難的地方居然自己也輕松掌握了,自我效能感自然也特高.

①x2+12x+___=(x+___)2;

②x2-10x+____=(x-____)2;

③x2-x+___=(x-___)2;

④x2+3x+____=(x+____)2.

對于二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí),如2x2-3x+1=0,只需要利用等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)系數(shù)化1,轉(zhuǎn)化成已知的方程就可求解了,發(fā)現(xiàn)也不難,只是在運(yùn)算的過程中出現(xiàn)了分?jǐn)?shù).

為了了解教學(xué)效果,我找了一個(gè)班級(jí)進(jìn)行對比,以下數(shù)據(jù)是初二年級(jí)下學(xué)期期末考試兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)成績的分析,可以發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)班的成績明顯低于對比班的成績(見下圖表1—表3).

表1 單個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量

表2 單個(gè)樣本檢驗(yàn)

表3 相關(guān)性

在一元二次方程的單元測驗(yàn)中,解法占30分,我再次統(tǒng)計(jì)兩個(gè)班解法這部分的分?jǐn)?shù),并進(jìn)行分析,可以看出實(shí)驗(yàn)班在這次測驗(yàn)中,已經(jīng)超越對比班,取得了可喜的成績(見下圖表4—表6).

表4 單個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量

表5 單個(gè)樣本檢驗(yàn)

表6 相關(guān)性

結(jié)合測驗(yàn)數(shù)據(jù)分析,回顧一元二次方程解法的教學(xué)過程,感覺大部分學(xué)生學(xué)都掌握了一元二次方程的解法,學(xué)生的學(xué)習(xí)效果比較明顯,達(dá)到了“善學(xué)”的目標(biāo):通過教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)了觀察、學(xué)會(huì)了比較,能夠把轉(zhuǎn)化的思想、整體的思想運(yùn)用到學(xué)習(xí)中;通過教學(xué),幫助學(xué)生了解知識(shí)間的關(guān)系,對學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系、融會(huì)貫通的運(yùn)用知識(shí)解決問題起到重要的作用;通過解法過程的觀察與對比,學(xué)生能夠每節(jié)課突破難點(diǎn),增強(qiáng)了學(xué)生的自我效能感.班杜拉等人的研究表明,個(gè)體的自我效能感對其行為的堅(jiān)持性、遇到困難時(shí)的態(tài)度以及活動(dòng)時(shí)的情緒狀態(tài)都有影響.我們有理由相信,學(xué)生將會(huì)越學(xué)學(xué)有興趣,也會(huì)越學(xué)學(xué)會(huì)學(xué)!

[1]義務(wù)教育教科書九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(2014年3月第1版)[M].人民教育出版社.1-14.

[2]林清.淺談轉(zhuǎn)化思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].福建教育學(xué)院學(xué)報(bào),2008(12).92.

[3]“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”出爐[EB/OL].[2016-9-20].http://news.jyb.cn/china/gnxw/201609/t20160920_674241.html

[4]淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的比較教學(xué)法[J].中小學(xué)教師培訓(xùn),1995(X2).

[5]全國統(tǒng)一(聯(lián)合)考試大綱及指南(教育學(xué)、心理學(xué))(2003年4月第5版)[M].北京師范大學(xué)出版社.