錢建兵

【摘 要】日常生活經(jīng)驗(yàn)促使學(xué)生形成了“日常數(shù)學(xué)概念”，而在這些“日常數(shù)學(xué)概念”中，存在著個(gè)人的、生活化的、零散的對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與認(rèn)識(shí)，教學(xué)中要了解并利用“日常數(shù)學(xué)概念”中科學(xué)的、數(shù)學(xué)化的成分，引導(dǎo)學(xué)生在操作與思考的不斷深入與精致中，凸顯數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵，并認(rèn)識(shí)到原有知識(shí)中的不足，由模糊走向清晰，祛除非本質(zhì)屬性并進(jìn)行抽象概括，促進(jìn)顯性化數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成。

【關(guān)鍵詞】默會(huì)性；顯性化結(jié)構(gòu)；經(jīng)驗(yàn)；思維

一、教材與學(xué)情分析

蘇教版教材中“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”是在三角形的認(rèn)識(shí)之后編排的內(nèi)容。教材在編排這一內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生利用方格紙，畫出一個(gè)平行四邊形，從而發(fā)現(xiàn)平行四邊形的特征。這樣的編排，有利于學(xué)生充分利用原有認(rèn)知平行四邊形的經(jīng)驗(yàn)。

教材內(nèi)容如下圖：

學(xué)生在生活中見(jiàn)過(guò)、接觸過(guò)大量的平行四邊形，在圖形的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，也建立了平行四邊形的“標(biāo)準(zhǔn)式”：上下一組對(duì)邊平行、相等，并伴隨著一些直覺(jué)性的認(rèn)識(shí)，如有兩個(gè)銳角和兩個(gè)鈍角。因此，本課的教學(xué)，需要幫助學(xué)生排除生活概念的干擾，理清哪些是平行四邊形本質(zhì)的特性，哪些是平行四邊形非本質(zhì)的特性。在此探究的過(guò)程中，積累學(xué)習(xí)平面圖形的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。方格中的平行線、單位長(zhǎng)度，正好利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的特征，但也應(yīng)注意到，這種加工好的素材，也可能會(huì)限制學(xué)生的思考空間。

與原教材提供多種思路作（畫）平行四邊形相比，只提供一種材料（思路），是向真實(shí)兒童經(jīng)驗(yàn)的回歸。原教材中的一些方法只是成人想出的，并不是學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)想出來(lái)的。這也提醒我們，成人提供的經(jīng)驗(yàn)是否能與兒童的經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，是這種方法有無(wú)教學(xué)意義的依據(jù)。而讓學(xué)生在方格紙上畫平行四邊形，學(xué)生容易將經(jīng)驗(yàn)中的平行四邊形、平行線的認(rèn)識(shí)與方格紙上的條件聯(lián)系起來(lái)，產(chǎn)生一種聯(lián)結(jié)，學(xué)生在這一情境中更容易整體感知平行四邊形的特征。

課前的調(diào)查表明，學(xué)生在腦中有著標(biāo)準(zhǔn)的平行四邊形的表象，能認(rèn)識(shí)、判斷一個(gè)圖形是不是平行四邊形。如學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形與正方形的認(rèn)識(shí)一樣，在課堂學(xué)習(xí)之前，大量的社會(huì)性的、緘默的學(xué)習(xí)，使學(xué)生已經(jīng)建立了相關(guān)的認(rèn)識(shí)。但這種認(rèn)識(shí)是整體性的，這種認(rèn)識(shí)是一種默會(huì)性認(rèn)識(shí)，處于一種“不能言”的狀態(tài)，因而是不成形的、無(wú)結(jié)構(gòu)的。既然已認(rèn)識(shí)了平行四邊形，那么再讓學(xué)生去經(jīng)歷所謂的猜想、操作、驗(yàn)證，必定索然無(wú)味，學(xué)生的思維就會(huì)始終處在一個(gè)比較淺的應(yīng)對(duì)層次上面。另外，對(duì)平行四邊形特征的認(rèn)識(shí)，學(xué)生對(duì)平行的感知要強(qiáng)于對(duì)長(zhǎng)度特征的感知，特別是如何引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)式中左右一組對(duì)邊平行關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)對(duì)邊的相等關(guān)系，從而形成明確的結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)，這是教學(xué)中需要思考的問(wèn)題。

二、教學(xué)過(guò)程

基于以上的認(rèn)識(shí)與思考，我進(jìn)行了以下的教學(xué)實(shí)踐。

（一）引入

談話：四根小棒，可能圍成一個(gè)什么圖形？

生：長(zhǎng)方形。

師：能圍成一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？（給出四根都不一樣長(zhǎng)的小棒）

生：不能。四根小棒要兩根兩根一樣長(zhǎng)，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的對(duì)邊相等。

師：除了對(duì)邊相等，長(zhǎng)方形還有什么特征？

生：四個(gè)角都是直角。

師：看來(lái)，我們研究一個(gè)圖形可以從邊與角這兩方面去描述一個(gè)圖形的特征。這四根小棒只能圍成長(zhǎng)方形嗎？

生：還可以斜過(guò)來(lái)，圍成平行四邊形。

師：今天我們就來(lái)認(rèn)識(shí)平行四邊形。

【反思】回顧長(zhǎng)方形的特征，喚起已有平面圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。同樣的四根小棒，既可圍成長(zhǎng)方形，也可圍成平行四邊形，說(shuō)明學(xué)生對(duì)對(duì)邊相等有一定的認(rèn)識(shí)，只是在教學(xué)中我們需要將這些特征顯性化和系統(tǒng)化，將其納入平行四邊形的特征系統(tǒng)。

（二）研究特征

1.呈現(xiàn)“標(biāo)準(zhǔn)式”，反思中初現(xiàn)邊的特征

師：你能在方格紙上畫一個(gè)平行四邊形嗎？畫好了在小組里交流一下。（學(xué)生在作業(yè)紙上操作）

集體交流。

生：我畫的時(shí)候先畫出一組邊（指水平方向的），再畫出另一組邊（指左右方向的）。

生：也可以這樣豎著畫。

師：老師注意到了，不管是先畫上下一組邊還是先畫左右一組邊，都要正好畫在這些格子的邊線上。

生：因?yàn)榉礁窦埳蠙M著的線都互相平行，豎著的也互相平行。

師：你們的意思是說(shuō)平行四邊形有什么特點(diǎn)？

生：這兩條邊是平行的。

【反思】借助方格紙，讓學(xué)生將原有認(rèn)識(shí)中的平行四邊形的“標(biāo)準(zhǔn)式”呈現(xiàn)出來(lái)，并借助這一“標(biāo)準(zhǔn)式”，來(lái)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平行四邊形的特征。學(xué)習(xí)的社會(huì)性告訴我們，人的社會(huì)性本質(zhì)所驅(qū)動(dòng)的學(xué)習(xí)都是基于有意識(shí)和無(wú)意識(shí)的模仿。小組的學(xué)習(xí)形式讓不同質(zhì)的學(xué)生有效地進(jìn)行交互，促使每一個(gè)個(gè)體原有經(jīng)驗(yàn)的激活。學(xué)生對(duì)平行四邊形的原有認(rèn)識(shí)具有整體性，能從整體外觀上判斷一個(gè)圖形是“像”還是“不像”平行四邊形。即便有學(xué)生在畫的時(shí)候把兩邊畫得不一樣長(zhǎng)，但在自己的觀察之后，能及時(shí)地改正過(guò)來(lái)，并認(rèn)識(shí)到自己錯(cuò)誤的原因。這也充分說(shuō)明他內(nèi)心不斷地將所畫與平行四邊形的標(biāo)準(zhǔn)式表象進(jìn)行比較。因此，這里畫平行四邊形是對(duì)特征的整體呈現(xiàn)。教學(xué)中，要讓學(xué)生充分地畫，并讓其充分地進(jìn)行自我反思與同伴交流，即與心里表象不斷對(duì)質(zhì)。這是默會(huì)認(rèn)識(shí)走向顯性的前提。但此時(shí)學(xué)生對(duì)平行四邊形缺少精確的把握，即特征的明確。弗賴登塔爾說(shuō)過(guò)，只要學(xué)生沒(méi)能對(duì)自己的活動(dòng)進(jìn)行反思，他就達(dá)不到高一級(jí)的層次。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)畫法的反思，即對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)走向了顯性化的第一步。

2.思維聚焦，明晰特征

師：我們已會(huì)在方格紙上畫平行四邊形，下面兩條直線，你能利用它們，畫一個(gè)平行四邊形嗎？

出示：

生：不能，因?yàn)檫@兩條直線不平行。

師：它能成為兩組對(duì)邊中的任意一組嗎？

生：不能。平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行。

師：你是怎么知道平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行的？拿出剛才畫的平行四邊形，你準(zhǔn)備怎么檢驗(yàn)？

生：我們畫的時(shí)候，一組對(duì)邊就正好是方格的邊線，另一組雖然不在邊線上，但是都一樣地斜過(guò)去，角度一樣，所以我判斷是平行的。

生：但也不能代表它們一定平行。我覺(jué)得可以用畫平行線的方法檢查一下。

生：可以看成是這邊上的一個(gè)三角形平移過(guò)去，那么平移后的對(duì)應(yīng)邊應(yīng)該是平行的。

師：想象一下，怎樣調(diào)整，就能成為平行四邊形？調(diào)整之后的平行四邊形是什么樣子的？

師：（出示第2組）能利用它們畫一個(gè)平行四邊形嗎？

生：也不能，長(zhǎng)度不相等。

生：可以，雖然現(xiàn)在看上去它們不等，但可以延長(zhǎng)其中的一條，使兩條一樣長(zhǎng)。

師：你們的意思是說(shuō)平行四邊形的對(duì)邊還要相等？你能驗(yàn)證嗎？

生：我是數(shù)的（指方格紙上的平行四邊形）。上下兩條邊一樣，左右兩條邊也一樣。

師：左右兩邊也能數(shù)嗎？

生：可以量。

生：它們都是同樣大的長(zhǎng)方形對(duì)角的連線。

生：我還是平移的，平移后對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度相等。

師：想象一下，怎樣使它們成為平行四邊形的一組對(duì)邊？想一想這個(gè)平行四邊形的樣子。

小結(jié)：平行四邊形的特征；變式判斷。

【反思】通過(guò)這個(gè)層次的操作，將學(xué)生的思維引向精致化的過(guò)程，從關(guān)注整體感覺(jué)到局部特征，幫助學(xué)生超越經(jīng)驗(yàn)。學(xué)習(xí)新知的過(guò)程，是與標(biāo)準(zhǔn)比較的過(guò)程。因?yàn)閷W(xué)生已認(rèn)識(shí)平行四邊形，這兩個(gè)沒(méi)有完成的圖形，分別指向了平行與相等的特征，引導(dǎo)學(xué)生將自己的經(jīng)驗(yàn)與平行四邊形的特征進(jìn)行對(duì)比，從而引導(dǎo)學(xué)生重新發(fā)現(xiàn)特征。這里的驗(yàn)證，是學(xué)生為了對(duì)自己直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的一種確定，因此具有自主性，不是讓學(xué)生在教師的指揮下進(jìn)行的“驗(yàn)證”。正因?yàn)槿绱耍瑢W(xué)生能積極地思維，能夠激活已有的經(jīng)驗(yàn)與畫平行四邊形時(shí)的體驗(yàn)。特別是對(duì)于對(duì)邊相等，不正好畫格子線上，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。這種思維方式正是在小學(xué)需要適時(shí)培養(yǎng)的。不少學(xué)生在高年級(jí)，仍依賴“眼見(jiàn)為實(shí)”的直觀思維思考問(wèn)題，圖形看上去是直角，就認(rèn)為是直角，線段之間的長(zhǎng)度看見(jiàn)是什么關(guān)系就認(rèn)為是什么關(guān)系，思維缺少嚴(yán)謹(jǐn)性。不給出完整的圖形，而是讓學(xué)生想象，是需要加工的“半成品”，這樣的發(fā)現(xiàn)就有一種思維上的探究，在嘗試、想象的過(guò)程中強(qiáng)化的平行四邊形的表象，對(duì)邊的特征有了新的認(rèn)識(shí)，發(fā)展了空間想象力。

（三）研究高

出示標(biāo)準(zhǔn)式平行四邊形，你能根據(jù)對(duì)三角形高的理解說(shuō)說(shuō)什么是平行四邊形的高嗎？

生：這一組對(duì)邊之間的距離就是它的高。

師：畫一條它的高。想一想可以畫幾條？它們的長(zhǎng)度相等嗎？

生：這一組對(duì)邊上的高有無(wú)數(shù)條，長(zhǎng)度都相等。

出示高的定義：像這樣從平行四邊形一條邊上的一點(diǎn)到它對(duì)邊的垂直線段，是平行四邊形的高，這條對(duì)邊是平行四邊形的底。高用虛線，并且及時(shí)畫上垂直記號(hào)。

師：另一組對(duì)邊可以畫高嗎？這樣的高可以畫多少條？跟另一組對(duì)邊上的高一樣嗎？

生：可以。

師：原來(lái)平行四邊形兩組對(duì)邊間都可以畫高。

師：角頂點(diǎn)上的一點(diǎn)。這一點(diǎn)可以怎么畫高？有不同的畫法嗎。為什么這一點(diǎn)可以畫兩條不同的高？

三、教學(xué)反思

（一）對(duì)比反思中將經(jīng)驗(yàn)的、模糊的認(rèn)識(shí)顯性化

學(xué)生的已有認(rèn)識(shí)是一切教學(xué)的起點(diǎn)。正是對(duì)起點(diǎn)有了比較準(zhǔn)確的判斷，對(duì)于特征的認(rèn)識(shí)，沒(méi)有費(fèi)多少周折，讓學(xué)生自己去探索、發(fā)現(xiàn)。重點(diǎn)是通過(guò)學(xué)生的反思內(nèi)省，達(dá)到對(duì)特征的認(rèn)識(shí)由模糊走向清晰，由緘默走向顯性，由零散走向結(jié)構(gòu)。在這些過(guò)程中，讓學(xué)生的思維參與到課堂中，注重的是空間想象，而不是不假思索地動(dòng)手。比如對(duì)對(duì)邊相等的再確定，學(xué)生能夠沉靜在思考中，進(jìn)行論證推理。其實(shí)，有時(shí)候教學(xué)被教師復(fù)雜化反而讓學(xué)生不知所措，學(xué)生真正用于思考的時(shí)間很少。特征的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，沒(méi)有多少花哨的活動(dòng)，只是不斷地引導(dǎo)學(xué)生與所畫的標(biāo)準(zhǔn)式進(jìn)行對(duì)比，從而發(fā)現(xiàn)熟悉地方的風(fēng)景。

（二）提供的材料要能夠讓學(xué)生突破原有的樸素認(rèn)識(shí)，聚焦概念本質(zhì)

在課上討論平行四邊形與長(zhǎng)方形的關(guān)系時(shí)，不少學(xué)生一致認(rèn)為長(zhǎng)方形不具備平行四邊形的特征，理由是長(zhǎng)方形四個(gè)角是直角，而平行四邊形的四個(gè)角是兩個(gè)銳角與兩個(gè)鈍角。這使筆者深刻地意識(shí)到學(xué)生對(duì)平行四邊形原有的認(rèn)識(shí)：學(xué)生原先認(rèn)識(shí)的平行四邊形的特征，不僅有邊的，更有角的。因?yàn)樵械恼J(rèn)識(shí)圖形特征（長(zhǎng)方形、正方形）的經(jīng)驗(yàn)就有對(duì)角的關(guān)注。兩個(gè)鈍角和兩個(gè)銳角，這是學(xué)生對(duì)平行四邊形樸素的認(rèn)識(shí)，因?yàn)檫@一“特征”比較外顯、直觀，而且掩蓋、干擾了對(duì)實(shí)質(zhì)——對(duì)角相等的認(rèn)識(shí)。雖然教材沒(méi)有提及，但這確實(shí)是學(xué)生會(huì)提及的真的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們無(wú)法也不能回避。這個(gè)問(wèn)題不解決，學(xué)生難以理解平行四邊形與長(zhǎng)方形的關(guān)系就很正常。因?yàn)樗麄兛吹降钠叫兴倪呅蔚慕谴_實(shí)是這樣的，且這樣的觀念根深蒂固。如果認(rèn)識(shí)了平行四邊形，學(xué)生對(duì)角的認(rèn)識(shí)還是原有認(rèn)識(shí)，這樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)是有缺陷的。從知識(shí)的獲取方面來(lái)說(shuō)，讓學(xué)生不限于一種方式（邊的特征）定義，多視角認(rèn)識(shí)概念，有利于形成“概念域”，是概念學(xué)習(xí)過(guò)程中深層次的精致。直面學(xué)生的各種真問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)，是兒童立場(chǎng)的根本。因此，提供的材料要能夠讓學(xué)生突破原有的對(duì)平行四邊形角的樸素認(rèn)識(shí)，聚焦概念本質(zhì)。

教學(xué)研究就是這樣，就是不斷地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題而后又發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、解決新問(wèn)題的過(guò)程。如果利用兩個(gè)完全一樣的三角形拼一個(gè)平行四邊形，一方面，可以感知對(duì)邊相等，另一方面，主要是為學(xué)生研究平行四邊形的角的特征提供一個(gè)平臺(tái)，同時(shí)豐富圖形轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)，為三角形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)做好鋪墊。在交流時(shí)，明確問(wèn)題：四個(gè)角有什么關(guān)系，而不是模棱兩可“角有什么特征”，學(xué)生就自然而然地表達(dá)為“對(duì)角相等”。因?yàn)樵诓僮鲿r(shí)，他們是能發(fā)現(xiàn)平行四邊形的一組對(duì)角是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)的一個(gè)內(nèi)角，而另一組則是由三角形另外兩個(gè)角拼成的，并且是相等的。這樣就可能沒(méi)有說(shuō)教，讓學(xué)生自覺(jué)地放棄了“兩個(gè)鈍角、兩個(gè)銳角”的直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)，從而上升到特征的認(rèn)識(shí)，理解平行四邊形與長(zhǎng)方形的關(guān)系時(shí)也就沒(méi)有什么障礙了。

（江蘇省南通市通州區(qū)西亭小學(xué) 226301）