蘇克義

[摘 要] 從兩個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題出發(fā)，著眼于學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生自然而輕松地學(xué)習(xí)直線(xiàn)的參數(shù)方程.

[關(guān)鍵詞] 直線(xiàn)；參數(shù)方程

問(wèn)題1：已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

？搖？搖？搖？搖？搖？搖l：x=1+■t，y=2+■t.

圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=2， 求直線(xiàn)和圓的兩交點(diǎn)A，B之間的距離和線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo).

問(wèn)題2：已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

？搖？搖？搖？搖？搖？搖l：x=1+t，y=2+t，

圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=2， 求直線(xiàn)和圓的兩交點(diǎn)A，B之間的距離和線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo).

對(duì)問(wèn)題1，學(xué)生甲首先想到的思路是，把l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程：y=x+1，然后代入圓O的直角坐標(biāo)方程，得2x2+2x-1=0，解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為

A-■-■，■-■， B-■+■，■+■，

AB=■，M-■，■.

問(wèn)題2和問(wèn)題1的結(jié)果完全相同.

學(xué)生乙認(rèn)為AB可以用弦長(zhǎng)公式計(jì)算.

x1+x2=-1，x1x2=-■，

AB=■■=■■=■.

學(xué)生丙認(rèn)為AB可以用勾股定理計(jì)算.

圓心O到直線(xiàn)l的距離

d=■=■，

則

AB=2■=2·■=■.

學(xué)生丁認(rèn)為直接用直線(xiàn)的參數(shù)方程可以求解.

問(wèn)題1的求解：將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入圓O的直角坐標(biāo)方程得

1+■t■+2+■t■=2，

即

t2+3■t+3=0，

則

？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖 t1+t2=-3■，t1t2=3，

所以

AB=t1-t2=■=■.

線(xiàn)段AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的t為

t=■=-■，

所以

x=1+■×-■=-■，y=2+■×-■=■，

所以M的坐標(biāo)為：M-■，■.

問(wèn)題2的求解：將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入圓O的直角坐標(biāo)方程得

（1+t）2+（2+t）2=2，

即

2t2+6t+3=0，

則

t1+t2=-3，t1t2=■，

所以

AB=t1-t2=■=■.

線(xiàn)段AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的t為

t=■=-■，

所以

x=1+-■=-■，y=2+-■=■，

所以M的坐標(biāo)為：M-■，■.

上述解法對(duì)問(wèn)題2中AB的計(jì)算出現(xiàn)了錯(cuò)誤.

■引發(fā)的思考

直線(xiàn)的參數(shù)方程不唯一，有無(wú)數(shù)種，可劃分為標(biāo)準(zhǔn)形式和一般形式.

1. 標(biāo)準(zhǔn)形式

過(guò)點(diǎn)M（x0，y0）且傾斜角為α的直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)形式參數(shù)方程為

x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，（t為參數(shù)）

在標(biāo)準(zhǔn)形式之下，t對(duì)應(yīng)直線(xiàn)上的點(diǎn)P（x，y），t1對(duì)應(yīng)A點(diǎn)，t2對(duì)應(yīng)B點(diǎn)，則PM=t，AB=t1-t2，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的t=■.

（2） 一般形式

x=x0+at，y=y0+bt，（t為參數(shù)且a2+b2≠1）

可以將一般形式化為標(biāo)準(zhǔn)形式

x=x0+■t′，y=y0+■t′，（t′為參數(shù)）

其中t′=■×t.

設(shè)t′對(duì)應(yīng)直線(xiàn)上的點(diǎn)P（x，y），t′1對(duì)應(yīng)A點(diǎn)，t′2對(duì)應(yīng)B點(diǎn)，則有

PM=t′=■t，

AB=t′1-t′2=■t1-t2，

線(xiàn)段AB的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的t′=■=■.

其中t′1=■×t1，t′2=■×t2，

現(xiàn)在對(duì)問(wèn)題2用題目給出的參數(shù)方程進(jìn)行正確求解：將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入圓O的直角坐標(biāo)方程得

（1+t）2+（2+t）2=2，

即

2t2+6t+3=0，

則

？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖t1+t2=-3，t1t2=■，

將直線(xiàn)的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式

x=1+■t′y=2+■t′

則？搖？搖？搖？搖？搖？搖

AB=t′1-t′2=■t1-t2=■■=■.

若用直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)形式參數(shù)方程求線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，則M對(duì)應(yīng)的t′為

t′=■=■ = ■=-■.

所以

x=1+■×-■=-■，y=2+■×-■=■，

所以M的坐標(biāo)為：M-■，■.

若用直線(xiàn)的一般形式參數(shù)方程求線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，則M對(duì)應(yīng)的t為

t=■=-■.

所以

x=1+-■=-■，y=2+-■=■，

所以M的坐標(biāo)為：M-■，■.

通過(guò)上述分析，使學(xué)生對(duì)直線(xiàn)的參數(shù)方程有了清楚的認(rèn)識(shí)，整個(gè)認(rèn)知過(guò)程水到渠成，自然舒適.