范友玉

回歸教材，宏觀感悟——積定才有和的最小值

人教版教材必修5第98頁講到：“√（ab ）≤（a+b）/2（a>0，b>0）（*）是一個基本不等式，它在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（小）值問題的有力工具。”隨后第99頁有兩個例題，此處選擇例1再做分析：（1）用籬笆圍一個面積為100m^2的矩形菜園，問這個矩形菜園的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個菜園的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？（選修4-5第6頁例3類似）

教師：面積不確定的矩形，能求出其周長嗎？能得到其周長的最小值嗎？其中面積不確定不是面積可測量而沒測量，而是面積不能通過測量得到，是一個變化的值。

學生甲：面積不確定的矩形，不可能確定其周長，更不可能得到其最小值。（眾生認同）

教師：結(jié)論完全正確，理由呢？

學生乙：設(shè)矩形兩鄰邊分別為a、b，則基本不等式（a+b）/2≥√（ab ）（a>0，b>0）（*）可形象的理解為：矩形周長/4≥√矩形面積，顯然面積不確定的矩形，不可能得到其最小值。由此可知，對基本不等式（*），若沒有ab為定值就不會有a+b的最小值。

實踐操作—限制條件的深入理解，保過三關(guān)

1.調(diào)整符號，化負為正，使之適合“一正”條件，保過第一關(guān)

例1，教材101頁第一題求最大面積及相應(yīng)小x的值，由題意列出函數(shù)解析式并化簡得到面積S=-6x-432/x+108 （0

學生甲： S=-6x-432/x+108

=-（6x+432/x）+108

≤-2√（6x?432/x）+108

=108-36√2

當且僅當6x=432/x即x=6√2時取等號，即當x=6√2時面積有最大值108-36√2。

教師點評：此處自然過渡，本來x>0，顯然-6x與-432/x乘積為定值，但都是負數(shù)，要想利用基本不等式提出負號自然過渡為正，但要注意不等號的方向。

2.拆添配湊、變動為定，使之適合“二定”條件，保過第二關(guān)

例2，求函數(shù)y=x+4/（x-1）+1（x>1）的最小值。

學生乙：y=x+4/（x-1）+1≥2√（x?4/（x-1））+1，當且僅當 x=4/（x-1）即x=（1+√17）/2時函數(shù)有最小值1+√17。

學生丙：y=x+4/（x-1）+1= x+1+4/（x-1）≥2√（（x+1）?4/（x-1）），當且僅當 x+1=4/（x-1）即x=√5時函數(shù)有最小值6+2√5

學生丁：y=x+4/（x-1）+1= x-1+4/（x-1）+2≥2√（（x-1）?4/（x-1））+2=6，當且僅當 x-1=4/（x-1）即x=3時函數(shù)有最小值6。

教師點評：你們的解答無外乎這幾種，看起來方法似乎差不多，可結(jié)果不一樣！到底誰的解法正確呢？原因何在？請看下這組變形式y(tǒng)=x+4/（x-1）+1= x+1+4/（x-1）= x-1+4/（x-1）+2= x+2+4/（x-1）-1=…，有問題嗎？

學生：沒有問題，解析式類似的變形舉不勝舉。

教師：那你們清楚問題在哪了嗎？

學生：乘積為定值的變形只有一種，最小值唯一，學生丁的解答完全正確。和或積若不為定值，我們要拆添配湊，保證定值方可驗證等號是否可以取得。

3.化歸轉(zhuǎn)化，尋求相等，保過第三關(guān)

例3，已知x>0，求y=（x+1）?（2+1/x）的最小值。

學生A： y=（x+1）?（2+1/x）≥2√x?2√（2/x）=4√2，∴函數(shù)的最小值為4√2。

學生B：y=（x+1）?（2+1/x）=2 x+1/x+3≥2√2+3， ∴函數(shù)的最小值為2√2+3。

學生C點評：兩種做法看似都對，但忽略了等號是否成立，學生A的解答若要取得最小值，當且僅當x=1且2= 1/x 成立，顯然此時x無解，所以4√2無法取到，學生B的解答正確，但必須要考慮等號何時取得。

4.“三關(guān)”難過，前進受阻，應(yīng)另尋出路

例4，已知a、b∈R^+， 1/a+1/b=1，求y=a+b的最小值。

解1：由1/a+1/b=1得b=a/（a-1 ） ，則y=a+b=a+a/（a-1 ）=a+1+1/（a-1 ） ，以下解答同例2。

解2：由1/a+1/b=1得a+b=ab≤〖（（a+b）/2）〗^2 ，又因為a、b∈R^+，解a+b≤〖（a+b）〗^2/4得a+b≥4，當且僅當a=b且 1/a+1/b=1即a=b=2時，取得最小值4。

另解：由1/a+1/b=1得a+b=ab，又因為a、b∈R^+，ab=a+b≥2√ab，所以√ab≥2，則a+b≥4，當且僅當a=b且 1/a+1/b=1即a=b=2時，取得最小值4。

解3：y=a+b=（a+b）（1/a+1/b）=2+b/a+a/b≥2+2=4，當且僅當b/a=a/b 且 1/a+1/b=1，即a=b=2時，取得最小值4。

學生：這個題的解答中，ab與a+b都不是定值，卻也利用基本不等式求得最值，是否與前面講的三關(guān)有矛盾呢？

老師點評：其實從本質(zhì)上講，對于一個不等式問題，可以隨意利用任何一個成立的不等式，連著用多次也沒關(guān)系，但要保證不等號的方向一致，且到最后一定能放縮到一個定值，并且等號成立的條件一致，就可以取得最值。

三、結(jié)束語

本文研究的問題其實是歷屆學生學習過程中共有的困惑，對于學生提出的質(zhì)疑，難住了不少老師。本文筆者已基本解決了基本不等式（*）應(yīng)用過程中的所有困惑，實施過程中效果良好。當然還需繼續(xù)實踐，繼續(xù)改進。