抓好解題后的反思 培養(yǎng)良好思維品質(zhì)

袁愛(ài)珍

抓好解題后的反思是 培養(yǎng)良好思維品質(zhì)不可缺少的重要環(huán)節(jié)，通過(guò)反思題目特征培養(yǎng)思維的深刻性；結(jié)合反思解題思路培養(yǎng)思維的廣闊性；深入反思解題途徑培養(yǎng)思維的批判性；探討反思題目結(jié)論培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性；熟悉反思解題過(guò)程培養(yǎng)思維的敏捷性；尋求反思題目條件特點(diǎn)培養(yǎng)思維的靈活性。

當(dāng)前，我國(guó)的基礎(chǔ)教育正從應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌。這就要求教師能把學(xué)生從題海中領(lǐng)出來(lái)，為此，就必須提高學(xué)生的解題能力。要提高學(xué)生的解題能力，除了做好審清題意、制定解題計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)解題計(jì)劃等工作之外，解題后的反思也是一個(gè)不可缺少的重要環(huán)節(jié)。

所謂解題后的反思是指在解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題后，通過(guò)對(duì)題目特征、解題思路、解題途徑、題目結(jié)論等的反思來(lái)進(jìn)一步暴露數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，從而開(kāi)發(fā)學(xué)習(xí)者的解題智慧，以達(dá)到事半功倍的效果，及培養(yǎng)學(xué)習(xí)者思維品質(zhì)的目的。

下面是筆者的一些做法和看法：

一、反思題目特征，培養(yǎng)思維的深刻性

思維的深刻性表現(xiàn)在能透過(guò)表面現(xiàn)象和外部聯(lián)系，揭露事物的本質(zhì)，進(jìn)而深入地思考問(wèn)題。解完一道題后，通過(guò)反思題目特征，加深對(duì)題目特征的本質(zhì)領(lǐng)悟，從而獲得一系列的思維成果，這有助于培養(yǎng)思維的深刻性。

例1 已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有（ ）

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

解：過(guò)P作直線a′∥a，b′∥b，則由已知可得a′和b′所成的角是50°和

130°。記a′和b′和所確定的平面為β。那么，在β平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P不存在與

a′、b′都成30°的直線。過(guò)點(diǎn)P且與a′、b′都成30°的直線，必在平面外，且在β內(nèi)的射影必平分a′、b′所成50°的對(duì)頂角，這樣的直線有且僅2條，它們關(guān)于平面β對(duì)稱。所以，過(guò)點(diǎn)P與a、b都成30°的直線有且僅有2條。

反思：在本題中，50°和30°的設(shè)置對(duì)答案起著重要的作用。因此，可通過(guò)改變50°和30°的大小來(lái)深化對(duì)這一類(lèi)題目的理解。如：

（1）若將30°改為25°，其余條件不變，則答案為（ ）。

（2）若將30°改為65°，其余條件不變，則答案為（ ）。

（3）若將30°改為70°，其余條件不變，則答案為（ ）。

（4）若將50°改為x°，30°改為y°，且答案為A，則x、y的關(guān)系式為 ；若答案B，則的x、y關(guān)系式為 ；若答案C，則x、y的關(guān)系式為 ；若答案D，則x、y的關(guān)系式為 。

二、反思解題思路，培養(yǎng)思維的廣闊性

思維的廣闊性指能從眾多的知識(shí)領(lǐng)域和多方面的知識(shí)出發(fā)來(lái)解決問(wèn)題，是思路開(kāi)闊而全面的品質(zhì)。解完一道題后，應(yīng)考慮能否根據(jù)該題的基本特征與特殊因素，進(jìn)行多角度的觀察、聯(lián)想，找到更多的思維通路，這有助于培養(yǎng)思維的廣闊性。

例2 已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，

GC⊥平面AC，GC=2。求點(diǎn)B到平面GEF的距離。

解：連結(jié)BD、AC，AC和BD相交于O，

AC和EF交于H，連結(jié)GH，如右圖所示。

由已知條件易得出EF⊥AC，EF⊥GC，

所以EF⊥平面GHC，

所以平面GHC⊥平面GEF。

∵BD∥EF，∴BD∥平面GEF。

∴BD和平面GEF的距離就是點(diǎn)B到平面GEF的距離。

過(guò)O在平面GHC內(nèi)作OK⊥HG，垂足為K，則OK⊥平面GEF，所以O(shè)K的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面GEF的距離。

由已知可求出 ， 因?yàn)?和 有一個(gè)銳角是公共角，所以△HKO∽△HCG，所以，

。

從而B(niǎo)到EFG的距離是 。

反思：上面的解法是把點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為線面距離。我們也可考慮把點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為面面距離。這便得出思路2：在CG上取點(diǎn)P，使CP=2PG，連結(jié)PD、PB?？梢宰C明平面PDB∥平面GFE。這樣，平面PDB和平面GEF的距離就是點(diǎn)B到平面GFE的距離。

點(diǎn)到平面的距離又可看作是三棱錐的高。這就啟發(fā)我們還可利用體積法來(lái)解決本題。由此又得出思路3：因?yàn)?，所以 。故只需求出 、 、GC的值，就能計(jì)算出h，即得到B到平面GFE的距離。

三、反思解題途徑，培養(yǎng)思維的批判性

思維的批判性是指在思維活動(dòng)中獨(dú)立思考，精確檢查思維過(guò)程，有根據(jù)地作出肯定接受或否定質(zhì)疑的品質(zhì)。在解完一道題后，反思哪些過(guò)程可以合并或轉(zhuǎn)換，這樣的反思，有助于縮短解題長(zhǎng)度，從而培養(yǎng)了思維的批判性。

例3 方程 的解是 。

解：去分母，得

即 ，

兩邊乘以 ，得關(guān)于 的二次方程

，

分解，得 ，

因?yàn)?，所以 ，

解得 。

反思：上面的求解過(guò)程中，最能產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性進(jìn)展的是兩邊乘以 處理負(fù)指數(shù)這一步，去分母和移項(xiàng)整理這兩步只起轉(zhuǎn)換作用，而且兩邊乘以 對(duì)于是否去分母都是可以施行的，抓住了這一實(shí)質(zhì)，直接對(duì)原式處理負(fù)指數(shù)，可得如下的較優(yōu)解法。

另解1.兩邊乘以 ，有

，

即 ，

。

再進(jìn)一步分析另解1可看出，它實(shí)質(zhì)上揭示了分子、分母間有公共的式子，可以相約，所以想到變乘以 為提取 ，得如下的更優(yōu)解法。

另解2.原方程變形為

。

所以，

。

四、反思題目結(jié)論，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

思維的創(chuàng)造性是指在思維活動(dòng)中，能以獨(dú)特的心理操作方式來(lái)展開(kāi)思維，是其思維成果新穎，與眾不同的品質(zhì)。在解完一道題后，應(yīng)思考根據(jù)此題要求解的結(jié)論，能否從其它的角度重新審視題目，得出更加簡(jiǎn)捷優(yōu)美的解法，這樣的反思，有助于培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性。

例4 有甲、乙、丙三種貨物，若購(gòu)甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元；若購(gòu)甲4件、乙10件、丙1件，共需4.20元；現(xiàn)在購(gòu)甲、乙、丙各一件共需多少元？

解：設(shè)甲、乙、丙的單價(jià)分別為 ，由題意，得

①×4—②×3，得

，

∴

把 代入②，可得

，

∴ ，

故購(gòu)甲、乙、丙、各一件共需1.05元。

反思：上面的解法是采用主元法（視 ）。若重新審視題目的結(jié)論是求 的值，啟發(fā)我們?cè)冖俸廷谥谐霈F(xiàn) ，并把它作為一個(gè)整體來(lái)處理，從而得出如下的新穎途徑：

將原方程組變形為

這可看作關(guān)于 的一次方程組，從而可求得 。

五、反思解題過(guò)程，培養(yǎng)思維的敏捷性

思維的敏捷性是指思維過(guò)程中的簡(jiǎn)縮性和快速性。具有這一品質(zhì)的學(xué)生能縮短運(yùn)算環(huán)節(jié)和推理過(guò)程，“直接”得出結(jié)果。

運(yùn)算過(guò)程或推理過(guò)程的縮短，表面看來(lái)好像沒(méi)有經(jīng)過(guò)完整的推理，其實(shí)它還是有一個(gè)完整的過(guò)程的。

例5 在講完“一元二次方程”一章以后，上了一節(jié)綜合練習(xí)課，其中編擬了一道題目：解方程

編擬這一題目的主要意圖在于利用代換 ，將原方程變形為 。這樣既能復(fù)習(xí)無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程的思想，又復(fù)習(xí)換元法、求根公式和根式運(yùn)算等知識(shí)。

反思：在上面的解題過(guò)程中，是按照常規(guī)的將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程的解題方法。如果不按“常規(guī)”的解法去做，這道題卻有一個(gè)“非常規(guī)”的簡(jiǎn)捷解法：如果 ， ，那么原方程的兩邊就相等，由此可知 滿足這個(gè)要求。而當(dāng)2≤ <4時(shí)，2 <8， < ；當(dāng) >4時(shí)，2 >8， > ，從而得出，除了 外，原方程沒(méi)有其他的根。

這里，幾乎是通過(guò)觀察方程的特征而“直接”獲得的；除外，方程沒(méi)有其他的根，是通過(guò)簡(jiǎn)縮的運(yùn)算過(guò)程和推理過(guò)程

獲得的。所以，這種“非常規(guī)”解法可以認(rèn)為是思維敏捷性的表現(xiàn)。

克魯切茨基（V.A.Krutetskii）的研究表明，推理的縮短取決于概括，“能‘立即進(jìn)行概括的學(xué)生，也能‘立即進(jìn)行推理的縮短”?？梢酝ㄟ^(guò)練習(xí)，提高學(xué)生思維的概括性，從而提高思維的敏捷性。

六、反思題目條件特點(diǎn)，培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性是指思維活動(dòng)的靈活程度，主要表現(xiàn)為具有超脫出習(xí)慣處理方法界限的能力。即一旦所給條件發(fā)生變化，便能改變先前的思維途徑，找到新的解決問(wèn)題的方法。學(xué)生思維的靈活性主要表現(xiàn)為隨新的條件而迅速確定解題方向；表現(xiàn)為從一種解題途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑的靈活性；也表現(xiàn)為從已知數(shù)學(xué)關(guān)系中看出新的數(shù)學(xué)關(guān)系，從隱蔽的形式中分清實(shí)質(zhì)的能力。

例6 當(dāng) 為何值時(shí)，直線 被曲線 所截得的線段之長(zhǎng)為 ？

一般的解題思路是：將直線方程代入曲線方程，求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)（或坐標(biāo)之間的關(guān)系），再借助韋達(dá)定理和距離公式來(lái)解。（解：略）

反思：注意題目的條件給出的曲線是圓，圓的半徑為 ；直線 被圓截得的弦長(zhǎng)為 ，即為圓的直徑。于是， 必須通過(guò)圓心，所以 。

思維靈活性的反面是思維的呆板性，或稱心理惰性。知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)經(jīng)常被人們按著一定的、個(gè)人習(xí)慣的“現(xiàn)成途徑”反復(fù)認(rèn)識(shí)，這就產(chǎn)生了一種先入之見(jiàn)，使思維傾向于某種具體的方式和方法，使人在解題過(guò)程中總是遵循業(yè)已知道的規(guī)則系統(tǒng)——這即是思維的呆板性。

思維的呆板性是發(fā)明和創(chuàng)造性活動(dòng)的極大障礙。思維的呆板性是部分學(xué)生思維的特點(diǎn)，表現(xiàn)為片面強(qiáng)調(diào)解題模式，缺少應(yīng)變能力。

例7 解方程 。

許多學(xué)生用求根公式或用十字相乘法因式分解來(lái)解。（解：略。）

反思：注意到題目的條件中624與625（5的平方）差1，所以這道題有下面的解法：

原方程變形為： ，

所以有 ，

兩邊開(kāi)平方，得 ，或

所以， 。

當(dāng)然，許多學(xué)生固有的思維的呆板性也有好的一面，即在解同一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，他們可不必重新安排解題程序。教師的主要任務(wù)是幫助學(xué)生克服“呆板性”的消極的一面，及時(shí)地讓他們了解新的情況下新的解題途徑。

進(jìn)行解題后的反思，能培養(yǎng)學(xué)生思維的品質(zhì)，這就要求教師在教學(xué)中要有計(jì)劃、有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后代反思，以提高學(xué)生的解題能力。

（作者單位：福建省南平市武夷山一中）