袁愛(ài)珍
抓好解題后的反思是 培養(yǎng)良好思維品質(zhì)不可缺少的重要環(huán)節(jié),通過(guò)反思題目特征培養(yǎng)思維的深刻性;結(jié)合反思解題思路培養(yǎng)思維的廣闊性;深入反思解題途徑培養(yǎng)思維的批判性;探討反思題目結(jié)論培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性;熟悉反思解題過(guò)程培養(yǎng)思維的敏捷性;尋求反思題目條件特點(diǎn)培養(yǎng)思維的靈活性。
當(dāng)前,我國(guó)的基礎(chǔ)教育正從應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌。這就要求教師能把學(xué)生從題海中領(lǐng)出來(lái),為此,就必須提高學(xué)生的解題能力。要提高學(xué)生的解題能力,除了做好審清題意、制定解題計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)解題計(jì)劃等工作之外,解題后的反思也是一個(gè)不可缺少的重要環(huán)節(jié)。
所謂解題后的反思是指在解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題后,通過(guò)對(duì)題目特征、解題思路、解題途徑、題目結(jié)論等的反思來(lái)進(jìn)一步暴露數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程,從而開(kāi)發(fā)學(xué)習(xí)者的解題智慧,以達(dá)到事半功倍的效果,及培養(yǎng)學(xué)習(xí)者思維品質(zhì)的目的。
下面是筆者的一些做法和看法:
一、反思題目特征,培養(yǎng)思維的深刻性
思維的深刻性表現(xiàn)在能透過(guò)表面現(xiàn)象和外部聯(lián)系,揭露事物的本質(zhì),進(jìn)而深入地思考問(wèn)題。解完一道題后,通過(guò)反思題目特征,加深對(duì)題目特征的本質(zhì)領(lǐng)悟,從而獲得一系列的思維成果,這有助于培養(yǎng)思維的深刻性。
例1 已知異面直線a與b所成的角為50°,P為空間一定點(diǎn),則過(guò)P點(diǎn)且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有( )
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
解:過(guò)P作直線a′∥a,b′∥b,則由已知可得a′和b′所成的角是50°和
130°。記a′和b′和所確定的平面為β。那么,在β平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)P不存在與
a′、b′都成30°的直線。過(guò)點(diǎn)P且與a′、b′都成30°的直線,必在平面外,且在β內(nèi)的射影必平分a′、b′所成50°的對(duì)頂角,這樣的直線有且僅2條,它們關(guān)于平面β對(duì)稱。所以,過(guò)點(diǎn)P與a、b都成30°的直線有且僅有2條。
反思:在本題中,50°和30°的設(shè)置對(duì)答案起著重要的作用。因此,可通過(guò)改變50°和30°的大小來(lái)深化對(duì)這一類(lèi)題目的理解。如:
(1)若將30°改為25°,其余條件不變,則答案為( )。
(2)若將30°改為65°,其余條件不變,則答案為( )。
(3)若將30°改為70°,其余條件不變,則答案為( )。
(4)若將50°改為x°,30°改為y°,且答案為A,則x、y的關(guān)系式為 ;若答案B,則的x、y關(guān)系式為 ;若答案C,則x、y的關(guān)系式為 ;若答案D,則x、y的關(guān)系式為 。
二、反思解題思路,培養(yǎng)思維的廣闊性
思維的廣闊性指能從眾多的知識(shí)領(lǐng)域和多方面的知識(shí)出發(fā)來(lái)解決問(wèn)題,是思路開(kāi)闊而全面的品質(zhì)。解完一道題后,應(yīng)考慮能否根據(jù)該題的基本特征與特殊因素,進(jìn)行多角度的觀察、聯(lián)想,找到更多的思維通路,這有助于培養(yǎng)思維的廣闊性。
例2 已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),
GC⊥平面AC,GC=2。求點(diǎn)B到平面GEF的距離。
解:連結(jié)BD、AC,AC和BD相交于O,
AC和EF交于H,連結(jié)GH,如右圖所示。
由已知條件易得出EF⊥AC,EF⊥GC,
所以EF⊥平面GHC,
所以平面GHC⊥平面GEF。
∵BD∥EF,∴BD∥平面GEF。
∴BD和平面GEF的距離就是點(diǎn)B到平面GEF的距離。
過(guò)O在平面GHC內(nèi)作OK⊥HG,垂足為K,則OK⊥平面GEF,所以O(shè)K的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面GEF的距離。
由已知可求出 , 因?yàn)?和 有一個(gè)銳角是公共角,所以△HKO∽△HCG,所以,
。
從而B(niǎo)到EFG的距離是 。
反思:上面的解法是把點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為線面距離。我們也可考慮把點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為面面距離。這便得出思路2:在CG上取點(diǎn)P,使CP=2PG,連結(jié)PD、PB??梢宰C明平面PDB∥平面GFE。這樣,平面PDB和平面GEF的距離就是點(diǎn)B到平面GFE的距離。
點(diǎn)到平面的距離又可看作是三棱錐的高。這就啟發(fā)我們還可利用體積法來(lái)解決本題。由此又得出思路3:因?yàn)?,所以 。故只需求出 、 、GC的值,就能計(jì)算出h,即得到B到平面GFE的距離。
三、反思解題途徑,培養(yǎng)思維的批判性
思維的批判性是指在思維活動(dòng)中獨(dú)立思考,精確檢查思維過(guò)程,有根據(jù)地作出肯定接受或否定質(zhì)疑的品質(zhì)。在解完一道題后,反思哪些過(guò)程可以合并或轉(zhuǎn)換,這樣的反思,有助于縮短解題長(zhǎng)度,從而培養(yǎng)了思維的批判性。
例3 方程 的解是 。
解:去分母,得
即 ,
兩邊乘以 ,得關(guān)于 的二次方程
,
分解,得 ,
因?yàn)?,所以 ,
解得 。
反思:上面的求解過(guò)程中,最能產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性進(jìn)展的是兩邊乘以 處理負(fù)指數(shù)這一步,去分母和移項(xiàng)整理這兩步只起轉(zhuǎn)換作用,而且兩邊乘以 對(duì)于是否去分母都是可以施行的,抓住了這一實(shí)質(zhì),直接對(duì)原式處理負(fù)指數(shù),可得如下的較優(yōu)解法。
另解1.兩邊乘以 ,有
,
即 ,
。
再進(jìn)一步分析另解1可看出,它實(shí)質(zhì)上揭示了分子、分母間有公共的式子,可以相約,所以想到變乘以 為提取 ,得如下的更優(yōu)解法。
另解2.原方程變形為
。
所以,
。
四、反思題目結(jié)論,培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性
思維的創(chuàng)造性是指在思維活動(dòng)中,能以獨(dú)特的心理操作方式來(lái)展開(kāi)思維,是其思維成果新穎,與眾不同的品質(zhì)。在解完一道題后,應(yīng)思考根據(jù)此題要求解的結(jié)論,能否從其它的角度重新審視題目,得出更加簡(jiǎn)捷優(yōu)美的解法,這樣的反思,有助于培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性。
例4 有甲、乙、丙三種貨物,若購(gòu)甲3件、乙7件、丙1件,共需3.15元;若購(gòu)甲4件、乙10件、丙1件,共需4.20元;現(xiàn)在購(gòu)甲、乙、丙各一件共需多少元?
解:設(shè)甲、乙、丙的單價(jià)分別為 ,由題意,得
①×4—②×3,得
,
∴
把 代入②,可得
,
∴ ,
故購(gòu)甲、乙、丙、各一件共需1.05元。
反思:上面的解法是采用主元法(視 )。若重新審視題目的結(jié)論是求 的值,啟發(fā)我們?cè)冖俸廷谥谐霈F(xiàn) ,并把它作為一個(gè)整體來(lái)處理,從而得出如下的新穎途徑:
將原方程組變形為
這可看作關(guān)于 的一次方程組,從而可求得 。
五、反思解題過(guò)程,培養(yǎng)思維的敏捷性
思維的敏捷性是指思維過(guò)程中的簡(jiǎn)縮性和快速性。具有這一品質(zhì)的學(xué)生能縮短運(yùn)算環(huán)節(jié)和推理過(guò)程,“直接”得出結(jié)果。
運(yùn)算過(guò)程或推理過(guò)程的縮短,表面看來(lái)好像沒(méi)有經(jīng)過(guò)完整的推理,其實(shí)它還是有一個(gè)完整的過(guò)程的。
例5 在講完“一元二次方程”一章以后,上了一節(jié)綜合練習(xí)課,其中編擬了一道題目:解方程
編擬這一題目的主要意圖在于利用代換 ,將原方程變形為 。這樣既能復(fù)習(xí)無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程的思想,又復(fù)習(xí)換元法、求根公式和根式運(yùn)算等知識(shí)。
反思:在上面的解題過(guò)程中,是按照常規(guī)的將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程的解題方法。如果不按“常規(guī)”的解法去做,這道題卻有一個(gè)“非常規(guī)”的簡(jiǎn)捷解法:如果 , ,那么原方程的兩邊就相等,由此可知 滿足這個(gè)要求。而當(dāng)2≤ <4時(shí),2 <8, < ;當(dāng) >4時(shí),2 >8, > ,從而得出,除了 外,原方程沒(méi)有其他的根。
這里,幾乎是通過(guò)觀察方程的特征而“直接”獲得的;除外,方程沒(méi)有其他的根,是通過(guò)簡(jiǎn)縮的運(yùn)算過(guò)程和推理過(guò)程
獲得的。所以,這種“非常規(guī)”解法可以認(rèn)為是思維敏捷性的表現(xiàn)。
克魯切茨基(V.A.Krutetskii)的研究表明,推理的縮短取決于概括,“能‘立即進(jìn)行概括的學(xué)生,也能‘立即進(jìn)行推理的縮短”??梢酝ㄟ^(guò)練習(xí),提高學(xué)生思維的概括性,從而提高思維的敏捷性。
六、反思題目條件特點(diǎn),培養(yǎng)思維的靈活性
思維的靈活性是指思維活動(dòng)的靈活程度,主要表現(xiàn)為具有超脫出習(xí)慣處理方法界限的能力。即一旦所給條件發(fā)生變化,便能改變先前的思維途徑,找到新的解決問(wèn)題的方法。學(xué)生思維的靈活性主要表現(xiàn)為隨新的條件而迅速確定解題方向;表現(xiàn)為從一種解題途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑的靈活性;也表現(xiàn)為從已知數(shù)學(xué)關(guān)系中看出新的數(shù)學(xué)關(guān)系,從隱蔽的形式中分清實(shí)質(zhì)的能力。
例6 當(dāng) 為何值時(shí),直線 被曲線 所截得的線段之長(zhǎng)為 ?
一般的解題思路是:將直線方程代入曲線方程,求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)(或坐標(biāo)之間的關(guān)系),再借助韋達(dá)定理和距離公式來(lái)解。(解:略)
反思:注意題目的條件給出的曲線是圓,圓的半徑為 ;直線 被圓截得的弦長(zhǎng)為 ,即為圓的直徑。于是, 必須通過(guò)圓心,所以 。
思維靈活性的反面是思維的呆板性,或稱心理惰性。知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)經(jīng)常被人們按著一定的、個(gè)人習(xí)慣的“現(xiàn)成途徑”反復(fù)認(rèn)識(shí),這就產(chǎn)生了一種先入之見(jiàn),使思維傾向于某種具體的方式和方法,使人在解題過(guò)程中總是遵循業(yè)已知道的規(guī)則系統(tǒng)——這即是思維的呆板性。
思維的呆板性是發(fā)明和創(chuàng)造性活動(dòng)的極大障礙。思維的呆板性是部分學(xué)生思維的特點(diǎn),表現(xiàn)為片面強(qiáng)調(diào)解題模式,缺少應(yīng)變能力。
例7 解方程 。
許多學(xué)生用求根公式或用十字相乘法因式分解來(lái)解。(解:略。)
反思:注意到題目的條件中624與625(5的平方)差1,所以這道題有下面的解法:
原方程變形為: ,
所以有 ,
兩邊開(kāi)平方,得 ,或
所以, 。
當(dāng)然,許多學(xué)生固有的思維的呆板性也有好的一面,即在解同一類(lèi)問(wèn)題時(shí),他們可不必重新安排解題程序。教師的主要任務(wù)是幫助學(xué)生克服“呆板性”的消極的一面,及時(shí)地讓他們了解新的情況下新的解題途徑。
進(jìn)行解題后的反思,能培養(yǎng)學(xué)生思維的品質(zhì),這就要求教師在教學(xué)中要有計(jì)劃、有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后代反思,以提高學(xué)生的解題能力。
(作者單位:福建省南平市武夷山一中)