馮雪磊，陳南若，李曉偉，魏檸陽

(中國船舶科學研究中心 深海載人裝備國家重點實驗室, 江蘇 無錫 214082)

0 引 言

聲吶設備通常采用換能器陣列和波束形成方法處理水聲信號[1]。傳統(tǒng)的波束形成方法是延時求和，這種方法可以簡單有效的處理窄帶水聲信號，但是隨著頻率的升高，延時求和方法形成的波束變窄并且產生旁瓣[2]，這會使得水聲信號產生嚴重的失真。為了不失真的處理寬帶水聲信號，就要求在工作頻帶范圍內形成恒定束寬的波束，并且盡可能減小旁瓣。

因此提出了很多基于信號處理理論的恒定束寬波束形成方法[3–6]和旁瓣抑制方法[7–9]，這些方法通常將寬帶劃分為多個窄帶，在每個窄帶中對水聲信號進行處理，這使得陣列必須采用隨頻率變化的復雜陣元權重，并且頻帶越寬計算越復雜。由美國海軍研究實驗室提出的恒定束寬換能器（CBT）陣列[10–12]，經過了多年的發(fā)展[13–15]，可以采用不隨頻率變化的簡單Legendre函數(shù)陣元權重，實現(xiàn)寬頻帶范圍內恒定束寬的波束，并且具有較小的旁瓣[16]。

和其他恒定束寬陣列一樣，CBT陣列有一定的工作頻率限制。CBT理論表明，對于Legendre函數(shù)加權的球冠或者圓弧形換能器，只存在工作頻率下限，即高于此頻率時即具有恒定束寬的波束特性[11]。然而CBT陣列是由離散的換能器組成，陣元間距會導致旁瓣[16]。為了使旁瓣小于某一特定值，通常將認為CBT陣列的工作頻率上限與常規(guī)的直線形陣列一樣，須滿足陣列理論的要求，即陣元間距須小于波長的一半[17–18]。然而研究表明，圓弧形CBT陣列的工作頻率上限比陣列理論要求的高[15,19]，所以根據陣列理論設計的CBT陣列沒有充分利用其工作頻帶，浪費了頻帶資源。因此本文系統(tǒng)計算分析CBT陣列的工作頻率上限。

1 陣列工作頻率上限理論分析

1.1 直線形陣列

直線形陣列的結構如圖1（a）所示，其中坐標原點O取為陣列中心，陣列方向取為x軸方向。不難得到在遠場空間任意點P處的聲壓為：

式中：l為陣列上任意一點Q的x坐標；L為陣列的長度；為點Q的陣元權重；r為點P到原點O的距離；θ為OP與y-O-z平面的夾角；k為波數(shù)；注意式（1）采用了遠場近似，即。通常情況下，直線形陣列是由N個陣元等距排列而成，不妨假定這些陣元為相同的點源，這樣式（1）離散化為

式中：為第n個陣元的權重；d為陣元間距

注意到式（2）中求和號外的項與θ無關，即與波束的形狀無關，因此波束形狀完全由式（2）中的求和部分決定。另外注意到的離散時間Fourier變換（DTFT）為

式中：Ω為數(shù)字角頻率。對比式（2）和式（3）不難發(fā)現(xiàn)，遠場聲壓是陣元權重的DTFT變換，即其中數(shù)字角頻率Ω與θ的關系為隨著θ的變化，Ω的變化區(qū)間為。注意到DTFT是周期為2π的周期函數(shù)，當Ω的變化區(qū)間大于一個周期時，就有可能出現(xiàn)與主瓣相同強度的柵瓣，為了確保柵瓣不出現(xiàn)，要求，即，其中λ為波長。雖然有些情況下即使d大于也不會出現(xiàn)柵瓣，例如波束偏轉為0°的均一陣列（即所有陣元權重為1）出現(xiàn)柵瓣的條件是[20]，但是考慮到在使用中波束偏轉會引入延時或相移而改變柵瓣出現(xiàn)的條件，例如波束偏轉90°的均一陣列出現(xiàn)柵瓣的條件是，因此取直線形陣列的工作頻率上限滿足的條件為，滿足這一條件時，無論波束如何偏轉均不會出現(xiàn)柵瓣。由于具有直線形的幾何結構[21]，延時直線形CBT陣列同樣需要滿足這一條件。類似的，對于二維平面CBT陣列，也可以通過類似分析得到相同的結論。

1.2 圓弧形陣列

圓弧形陣列的結構如圖1（b）所示，其中坐標原點O取為圓弧的圓心，陣列位于x-O-z平面，取z方向為圓心到陣列中點的方向。根據幾何關系，不難得到在遠場空間任意點P處的聲壓為

式中：；ψ為陣列上任一點Q對應的圓心角；為圓弧形陣列的半徑；φ為OP在y-O-z平面的投影與z軸的夾角。注意式（4）采用了遠場近似。

同樣考慮圓弧形陣列由N個等距排列的點源組成，考慮到通常對陣列所在平面的聲壓分布更為感興趣，即時的情形，這樣可以得到離散圓弧形陣列的聲壓分布為式中：Δψ為相鄰2個點源的圓心角之差。由式（5）可見，n與θ耦合，無法進行與直線形陣列類似的DTFT分析，陣列的聲壓分布較為復雜且不具有周期性，因此須采用數(shù)值方法分析圓弧形陣列的工作頻率上限。類似的，對于二維球面陣和柱面陣，也可以通過類似分析得到相同的結論。

2 陣列工作頻率上限數(shù)值分析

2.1 一維陣列

圓弧形CBT陣列如圖2（a）所示，其中表示陣元的黑色圓點越大表示其陣元權重越大。圓弧形CBT陣列的陣元權重滿足

其中，為ν階Legendre函數(shù)的第1個零點，且階數(shù)不必為整數(shù)。根據CBT陣列理論，在陣列所在平面，其遠場聲壓滿足[15–16]

由式（7）可見，遠場聲壓的角度θ和波數(shù)k解耦，波束形狀不隨頻率的變化而變化，因而具有恒定束寬的波束特性。另外注意到式（6）中，當時，因此一般取圓弧形CBT陣列對應的圓心角為，這樣式（5）中的滿足。

實際情況下CBT陣列由離散的換能器組成，離散陣列會導致旁瓣和主瓣的紋波。如圖3所示不同情況下圓弧形CBT陣列的波束，這里假定陣元為點源，圖中黑色粗線為由式（7）計算得到波束的理論值，灰色細線為不同頻率下的離散圓弧形CBT陣列的波束，相鄰頻率對應的波長相差，其中d為陣元間距，有由圖可見，陣列的離散性會產生旁瓣和主瓣紋波。不妨定義最大旁瓣為SIDE，紋波的最大峰-峰值為RIPP。研究表明[13]，頻率越高，波長越小，則SIDE和RIPP越大。另外，和直線形陣列不同，圓弧形陣列并不是靠改變陣元的延時或者相位實現(xiàn)波束偏轉，而是通過改變陣元權重的分布實現(xiàn)波束偏轉，即對式（6）中的加入一個常數(shù)相位而變?yōu)椋@然這并不會改變波束形狀，因此不失一般性本文分析波束方向為0°的情形。

其中：a，b，c為擬合系數(shù)；的單位為角度。采用最小二乘法得到，，10–4，擬合優(yōu)度。根據擬合結果，在要求不高的情況下可以進一步簡化式（8）為

考慮到通常情況下，聲吶的N不會太小，統(tǒng)計的情況可以得到即能使90%的情況下滿足對SIDE和RIPP的要求，這相對于陣列理論得到的工作頻率上限（）增加了超過0.76個倍頻程。如圖3所示為按照式（8）計算得到的工作頻率上限以內的波束，由圖可見，在此工作頻率上限以內圓弧形CBT的波束均能滿足SIDE和RIPP的要求。

2.2 二維陣列

其中，圖5（a）中代表陣元的黑色圓點的大小即代表陣元權重。對于柱面CBT陣列，其陣元滿足的曲面方程為，如圖5（b）所示，不難得到陣元加權方法仍由式（10）給出，圖5（b）中代表陣元的黑色圓點的大小即代表陣元權重。

同樣考慮SIDE≤–20 dB，RIPP≤3 dB，這樣計算得到如圖6所示，圖中圓點為數(shù)值計算結果，曲面為擬合結果。和圓弧形CBT陣列一樣，陣元個數(shù)N越大，對應的越大，即工作頻率上限越高；而越大，對應的越小，即工作頻率上限越低。仍然采用式（8）對球面CBT陣列和柱面CBT陣列進行擬合，對于球面CBT陣列，可得擬合系數(shù)為，擬合優(yōu)度為；對于柱面CBT陣列，可得擬合系數(shù)為，擬合優(yōu)度為。不難發(fā)現(xiàn)，柱面CBT陣列和圓弧形CBT陣列的計算結果極為接近。根據擬合結果，對于球面CBT陣列，在要求不高的情況下可以簡化式（8）為

而對于柱面CBT陣列，式（8）簡化為式（9）。同樣對時的計算結果進行統(tǒng)計，對于球面CBT陣列，可以得到即能使90%的情況下滿足對SIDE和RIPP的要求，這相對于陣列理論得到的工作頻率上限增加了超過0.57個倍頻程；對于柱面CBT陣列，可以得到即能使90%的情況下滿足對SIDE和RIPP的要求，這相對于陣列理論得到的工作頻率上限增加了超過0.76個倍頻程。

3 討論

可以考慮旁瓣SIDE和主瓣紋波RIPP對頻率上限的影響。如圖7所示，為不同的SIDE和RIPP要求情況下各個陣列的工作頻率上限對應的按照式（8）擬合的結果，其中實線對應，虛線對應橫坐標對應SIDE的要求，其中–13.26 dB對應常規(guī)的直線形均一陣列的最大旁瓣[22]。另外注意到圓弧形CBT陣列和柱面CBT陣列的計算結果即為接近，因此圖7中圓弧形CBT陣列的曲線與柱面CBT陣列的曲線幾乎重合。由圖7可見，主瓣紋波RIPP對計算結果的影響較小，而旁瓣SIDE對計算結果的影響較大。另外，由圖7（d）可見，大部分情況下擬合優(yōu)度都大于0.9，表明式（8）對計算結果有較好的擬合。

同樣可以對時的計算結果進行統(tǒng)計分析，如圖8所示即為能使90%情況下均能滿足旁瓣SIDE和主瓣紋波RIPP要求的工作頻率上限對應的，同樣實線對應，虛線對應，橫坐標對應SIDE的要求。由圖可見，大部分情況下圓弧形CBT陣列和柱面CBT陣列的工作頻率上限對應的，表明其工作頻率上限對于陣列理論可以至少拓展0.59個倍頻程；而對于球面CBT陣列，大部分情況下工作頻率上限對應的，表明其工作頻率上限對于陣列理論可以至少拓展0.38個倍頻程。

4 結 語

首先，理論分析了CBT陣列的工作頻率上限。對于延時直線形CBT陣列，可以得到工作頻率上限的理論解，即需滿足陣列理論的要求，陣元的間距需小于最大工作頻率對應的波長的1/2。而對于圓弧形CBT陣列，無法得到理論解，需采用數(shù)值方法求解。

其次，采用數(shù)值方法分析了主瓣紋波不大于3 dB、旁瓣不大于–20 dB時的圓弧形CBT陣列的工作頻率上限，并采用最小二乘法對結果進行擬合，給出了具體的擬合公式。結果表明圓弧形CBT陣列的工作頻率上限要大于陣列理論規(guī)定的工作頻率上限，大部分情況下工作頻率上限可以拓展至少0.76個倍頻程。此外還進一步分析了球面CBT陣列和柱面CBT陣列，其中球面CBT陣列的工作頻率上限略小，但大部分情況下仍比陣列理論規(guī)定的工作頻率上限大0.57個倍頻程；而柱面CBT陣列的結果和圓弧形CBT陣列的結果幾乎一致。

最后，分析了主瓣紋波和旁瓣的不同要求對工作頻率上限的影響。結果表明，主瓣紋波的影響較小，而旁瓣的影響較大。

參考文獻：

[ 1 ]閔瑞紅, 肖杰雄. 世界潛艇綜合聲吶系統(tǒng)發(fā)展現(xiàn)狀及趨勢[J]. 艦船科學技術, 2013, 35(2): 134–141.MIN Rui-hong, XIAO Jie-xiong. The state and development of submarine integrated sonar systems around the world [J], Ship Science and Technology 2013, 35(2): 134–141.

[ 2 ]鄢社鋒, 馬遠良. 基于二階錐規(guī)劃的任意傳感器陣列時域恒定束寬波束形成 [J]. 聲學學報, 2005, 30(4): 309–316.YAN She-feng, MA Yuan-liang. Broadband constant beamwidth beamforming for arbitrary sensor arrays in time domain via second-order cone paogramming [J]. Acta Acustica, 2005, 30(4): 309–316.

[ 3 ]甘甜, 王英民. 一種穩(wěn)健的恒定束寬波束形成方法 [J]. 聲學學報, 2012, 37(1): 18–24.GAN Tian, WANG Ying-min. A robust broadband beamforming method of constant beam width [J]. Acta Acustica, 2012, 37(1): 18–24.

[ 4 ]付彥, 劉勁軍. 一種基于Notch濾波器的恒定束寬波束形成技術 [J]. 聲學技術, 2013, 32(1): 50–53.FU Yan, LIU Jin-jun. Constant beamwidth beamforming based On adaptive filter. [J]. Technical Acoustics, 2013, 32(1):50–53.

[ 5 ]黃聰, 李迪. 基于相干干擾抑制的時域恒定束寬波束形成[J]. 哈爾濱工程大學學報, 2017, 38(1): 25–30.HUANG Cong, LI Di. Constant beamwidth beamforming in time domain based on coherent interference suppression [J].Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(1): 25–30.

[ 6 ]鄢社鋒, 馬曉川. 寬帶波束形成器的設計與實現(xiàn) [J]. 聲學學報, 2008, 33(4): 316–326.YAN She-feng, MA Xiao-chuan. Designs and implementations of broadband beamformers [J]. Acta Acustica, 2008,33(4): 316–326.

[ 7 ]鄢社鋒, 侯朝煥, 馬曉川, 等. 基于凸優(yōu)化的時域寬帶旁瓣控制自適應波束形成 [J]. 聲學學報, 2007, 32(1): 5–9.YAN She-feng, HOU Chao-huan, Ma Xiao-chuan, et al.Convex optimization based FIR beamforming with sidelobe control [J]. Acta Acustica, 2007, 32(1): 5–8.

[ 8 ]幸高翔, 蔡志明. 旁瓣約束方向不變恒定束寬波束自適應綜合 [J]. 聲學技術, 2009, 28(2): 172–175.XING Gao-xiang, CAI Zhi-ming. Synthesis of adaptive steering-invariant constant-beamwidth pattern with sidelobe constraints [J]. Technical Acoustics, 2009, 28(2): 172–175.

[ 9 ]夏歡, 張興敢, 柏業(yè)超. 一種改進的共形陣方向圖綜合方法[J]. 數(shù)據采集與處理, 2016, 31(4): 761–766.XIA Huan, ZHANG Xing-gan, BAI Ye-chao. Improved method for conformal array pattern synthesis [J]. Journal of Data Acquisition and Processing, 2016, 31(4): 761–766.

[10]JARZYNSKI J, TROTT W J. Array shading for a broadband constant directivity transducer [J]. J. Acoust. Soc. Am., 1978,64(5): 1266–1269.

[11]ROGERS P H, BUREN A L. New approach to a constant beamwidth transducer [J]. J. Acoust. Soc. Am., 1978, 64(1):38–43.

[12]BUREN A L, LUKER L D, JEVNAGER M D, et al.Experimental constant beamwidth transducer [J]. J. Acoust.Soc. Am., 1983, 73(6): 2200–2209.

[13]FENG X, SHEN Y, KEELE D B, et al. Directivitycustomizable loudspeaker arrays using constant-beamwidth transducer (CBT) overlapped shading [C]//Audio Engineering Society Convention, Audio Eng. Soc., New York, 2015.

[14]朱舸, 沈勇, 夏潔, 等. 恒定束寬揚聲器線陣列優(yōu)化研究 [J].應用聲學, 2017, 36(2): 95–104.ZHU Ge, SHEN Yong, XIA Jie, et al. Optimization of constant beam-width transducer line array [J]. Journal of Applied Acoustics, 2017, 36(2): 95–104.

[15]KEELE D B. The application of broadband constant beamwidth transducer (CBT) theory to loudspeaker arrays[C]//Audio Engineering Society Convention 109, Audio Eng.Soc., Los Angeles, 2000.

[16]KEELE D B. Full-sphere sound field of constant-beamwidth transducer (CBT) loudspeaker line arrays [J]. J. Audio Eng.Soc., 2003, 51(7/8): 611–624.

[17]ANDERSON B E, HUGHES W J, HAMBRIC S A. Grating lobe reduction in transducer arrays through structural filtering of supercritical plates [J]. J. Acoust. Soc. Am., 2009, 126(2):612–619.

[18]WOOH SC, SHI Y. Optimum beam steering of linear phased arrays [J]. Wave Motion, 1999, 29(3): 245–265.

[19]KEELE D B. A performance ranking of seven different types of loudspeaker line arrays [C]//Audio Engineering Society Convention 129, Audio Eng. Soc., San Francisco, 2010.

[20]杜功煥, 朱哲民, 龔秀芬. 聲學基礎 (第 2版) [M]. 南京: 南京大學出版社, 2001.DU Gong-huan, ZHU Zhe-min, GONG Xiu-fen. Fundamentals of acoustics (2nd edition) [M]. Nanjing: Nanjing University Press, 2001.

[21]KEELE D B. Implementation of straight-line and flat-panel constant beamwidth transducer (CBT) loudspeaker arrays using signal delays [C]//Audio Engineering Society Convention 113,Audio Eng. Soc., Los Angeles, 2002.

[22]URBAN M, HEIL C, BAUMAN P. Wavefront sculpture technology [J]. J. Audio Eng. Soc., 2003, 51(10): 912–932.