用“好”素材 促“真”理解
——以“確定位置”的教學為例

福建晉江市實驗小學（362200） 顏乙紅

【教學內(nèi)容】

北師大版教材四年級上冊第五單元第二課時“確定位置”

【課前慎思】

“確定位置”就是刻畫物體或圖形位置的方式——用有序數(shù)對（a，b）表示物體（點）在平面中的位置。其實質(zhì)是“在直角坐標系中，對于平面上的任意一點，都有唯一的一個有序數(shù)對與它對應，反過來，對于任意一個有序?qū)Γ加衅矫嫔衔ㄒ坏囊稽c與它對應”。這個知識點與其他知識點最大的不同在于它的本源是數(shù)學而不是生活，但又可依附于現(xiàn)實結(jié)構(gòu)，因此教材從學生的座位“某組某排”引入確定位置。通過課前問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，98%的學生自習課本就能依樣畫葫蘆用兩個數(shù)來表示位置，但對于“為什么要用數(shù)學語言來刻畫一個點的位置？如何刻畫？刻畫的價值在哪里？”則很茫然。其實從數(shù)學史的角度來看，笛卡爾發(fā)明坐標的用意是用它來解決幾何計算問題；從學生的認知來看，學生早在一年級時便有了在一維中刻畫位置的經(jīng)驗（如前后、上下、左右），在二維中刻畫位置的經(jīng)驗（如東南西北）。本課是在二維中正式學習如何用兩個數(shù)表達點的位置，而確定點的位置，就是確定好點的橫向位置和縱向位置，不管是行還是列、組還是排，都是生活語言表達的需要。在明確用數(shù)對確定位置的內(nèi)涵及教育價值后，就可以“用‘好”素材，促‘真’理解”為指導思想設計教學。

【教學實踐】

一、用“好”故事素材，從知識源頭出發(fā)

師：今天有一只蜘蛛要和我們一起上課。瞧，它來了。蜘蛛在哪里？它悄悄地爬上橫梁躲在某個燈籠后面。猜猜它在里？（課件出示圖1）

圖1

（學生隨意猜測）

師：給你們一點提示。（課件出示數(shù)字“2”）現(xiàn)在你覺得它在哪里？

生1：可能是從左邊數(shù)起第二個。

生2：可能是從右邊數(shù)起第二個。

師：到底是從右邊數(shù)起，還是從左邊數(shù)起呢？能確定么？

生（齊）：不能。

師：想一想，還要再提供什么信息才能確定蜘蛛的位置？（板書：確定位置）

生3：還要說是從左邊數(shù)起還是從右邊數(shù)起。

師：也就是還要提供數(shù)的———

生（齊）：方向。

師：再給你們一點提示（板書：→）。現(xiàn)在你能確定蜘蛛的位置了么？

生4：知道了，蜘蛛就藏在從左邊數(shù)起的第二個燈籠里。

師：你們真不簡單，給個方向和數(shù)字就馬上猜中了。這里有這么多燈籠，如果想讓人一眼看出每個燈籠對應是第幾個。怎么辦？

生5：標數(shù)字。

師：我們試著在對應燈籠的下面標上數(shù)字。（課件出示：在對應燈籠下標數(shù)字）

師（手指橫梁的起點）：這個地方標多少呢？

生6：0。因為0表示起點。

師：能用一個數(shù)表示蜘蛛現(xiàn)在的位置么？

生7：2 。

師：2表示什么意思？

生7：第2個燈籠的地方。

師：也就說燈籠的順序是2。

師：如果從起點開始一段一段地數(shù)，2還可以表示什么？

生8：距離起點2個間斷的地方。

師：2還能表示和起點的距離。

師：蜘蛛趴在這里好一會兒了，它想換個位置了，于是又繼續(xù)爬。（課件分別演示蜘蛛爬到第三、四、五個燈籠后面）現(xiàn)在的位置是——

生：3；4；5。

師：只要蜘蛛繼續(xù)在橫梁上爬，我們就可以用——

生9：一個數(shù)確定它的位置。

【設計意圖：把握用數(shù)對確定位置的數(shù)學本質(zhì)，以數(shù)學家笛卡爾用數(shù)對確定點的位置的素材為切入點，從方法源頭——一維空間出發(fā)，創(chuàng)設“蜘蛛在哪里”的問題情境，先讓學生觀察蜘蛛在橫梁上的位置，體會參照物（起點）、方向、距離在確定位置中的重要作用，喚醒學生用一個數(shù)確定點在一組線上的位置的經(jīng)驗?！?/p>

二、用“好”簡單素材，依知識本質(zhì)建構(gòu)

1.制造沖突

師：蜘蛛趴在橫梁上太久了。它說：“外面的世界那么大，我要去看看。”它又繼續(xù)爬了。（課件出示蜘蛛從第3個燈籠往上爬）什么變了？

生1：位置變了，爬的方向也變了。剛才是從左往右爬，現(xiàn)在是從下往上爬。（板書↑）

師：現(xiàn)在蜘蛛爬到哪里了？

生2：3 的上面。

師：如果蜘蛛再往上爬一點呢？

生3：還是3的上面。

師：再往上爬一點呢？

生4：還是3的上面。

師：如果蜘蛛不小心往下掉了一點呢？

生5：也是3的上面。

師：都說是3的上面，這樣真的能說清楚蜘蛛的具體位置么？

生6：不能。

師：怎么辦？

生7：在左邊的柱子上標數(shù)字。

師：怎么知道在多高的地方標幾？

生8：1段高的地方標1,2段高的地方標2……（學生用手比畫起點到第1個燈籠的距離為一段）

師：我跟你們想到一塊了。（課件出示：在柱子上掛上燈籠）

師（指著第一個燈籠）：這里標多少？

生9：1。

師：課件出示數(shù)字：現(xiàn)在能看出蜘蛛往上爬了幾段么？

生10：2 段。

【設計意圖：制造認知沖突，讓學生體會僅僅用一個數(shù)已經(jīng)無法準確表示出蜘蛛的位置，從而深入思考，提出解決問題的辦法，這是學生的思維從一維向二維發(fā)展的過程。】

2.嘗試建構(gòu)

師：為了便于觀察蜘蛛的位置，我們可以把橫梁和柱子看成線，燈籠和起點的位置看成點，蜘蛛可以化身為點。老師已經(jīng)把這只蜘蛛，也就是點變到你們的學習單上去了，請你們拿出學習單1，用自己的方法表示蜘蛛的位置。

生11：蜘蛛的位置是“3上面2段的地方”。3表示從左往右橫著數(shù)3段，2表示從下往上豎著數(shù)2段。

生12：蜘蛛的位置是“橫3豎2”。我也是從左往右橫著數(shù)3段，從下往上豎著數(shù)2段。

生13：蜘蛛的位置是“3、2”。

師：這些記錄的方法中有什么共同的地方？

生14：都用到了數(shù)字3和2。

師：你真善于觀察和比較，我要把你的發(fā)現(xiàn)記錄下來。（板書：3 2）

師：3表示——從左往右橫著數(shù)3段的位置，表示的是點的橫向位置（板書：橫向位置）。2表示——從下往上縱著數(shù)2段的位置，表示的是點的縱向位置。（板書：縱向位置）蜘蛛在橫梁的時候，我們只要用一個數(shù)就能確定它的位置，現(xiàn)在為什么要用兩個數(shù)？

生15：用兩個數(shù)能更準確地表示蜘蛛的位置。

師：是啊，現(xiàn)在蜘蛛是在一個平面上，它既有——橫向位置，又有——縱向位置，所以要用兩個數(shù)來確定它的位置。你們真是善于總結(jié)，數(shù)學家笛卡爾可是經(jīng)過漫長的思考才想到用2個數(shù)表示點的位置,而我們只用了短短的十幾分鐘就做到了?？纯磾?shù)學家笛卡爾是怎么想的。（微課展示笛卡爾創(chuàng)造數(shù)對的故事和數(shù)對的讀、寫法）

師：你們跟數(shù)學家一樣，創(chuàng)造了兩個數(shù)來確定蜘蛛的位置。數(shù)學家規(guī)定，先寫——（表示橫向的位置的數(shù)），再寫——（表示縱向位置的數(shù)），接著——

生16：中間用逗號隔開。

師：是的，用逗號區(qū)分橫向位置和縱向位置。

生17：外面加括號。

師：沒錯，用括號表示一個整體。

師：這就是我們今天學習的確定位置的方法——用數(shù)對來確定位置。這個數(shù)對讀作——（數(shù)對三二），我們就用（3,2）來表示這個點的位置。

【設計意圖：學生自主嘗試，創(chuàng)造了表示蜘蛛（點）在平面上的位置的方法，體會到使用兩個數(shù)在平面上確定點的位置的必要性。用微課的形式呈現(xiàn)笛卡爾用數(shù)對表示點的位置的故事，再次巧妙地把數(shù)對的意義、讀法和寫法融入其中。這是數(shù)學史和數(shù)學文化的延伸，是數(shù)學知識與邏輯的進一步抽象和深化，能夠促進學生理解規(guī)則產(chǎn)生、表達和形成的過程。】

3.深化認知

師：一個點的位置可以用數(shù)對表示，如果有很多個點呢？老師把每個點的橫向位置和縱向位置用橫線和豎線畫出來，形成了方格圖?，F(xiàn)在就在方格圖上研究格點的位置。

圖2

師（把鼠標放在點（4,2）上）：怎么用數(shù)對表示這個點的位置？這個點能用（2,4）表示么？

生18：不能。

師：怎么不能？還不都是這兩個數(shù)字？

生19：（2,4）的橫向位置是 2，縱向位置是 4，而這個點的橫向位置是4，縱向位置是2。

師：你分析得真清楚。那（2,4）表示的點又在哪里?（請學生指出點（2,4）的位置）

師：原來（4,2）和（2,4）表示的位置是不一樣的啊。

師：用數(shù)對確定位置時應該注意什么？

生20：注意數(shù)的順序。

師：是啊，數(shù)對里的這兩個數(shù)是有序的。（板書：有序）數(shù)字的順序不一樣，表示的點的位置就不同。

師：一個數(shù)對對應幾個點？

生21：1 個點。

師：沒錯，唯一的一個點。反過來呢，一個點也只對應一個數(shù)對。

師：是的，唯一的一個數(shù)對。（板書：唯一）

師（出示圖3）：這里還有兩個神秘的點A、B，你能用數(shù)對表示它們的位置么？

圖3

生22：A 點是（0,2），B 點是（0,0）

師：依次連接A、B、C，得到一個什么圖形？

生23：三角形。

師：是的，確定了這三個點的位置，三角形的形狀和大小也就確定了。

師（課件出示三角形向右平3格）：三角形怎么了？

圖4

生24：平移后位置變了。

師：請用數(shù)對說說點的位置是怎么變的。

生25：原來 A點的位置是（0,2），現(xiàn)在是（3,2）。

生26：原來 B 點的位置是（0,0），現(xiàn)在是（3,0）。

生27：原來 C 點的位置是（4,2），現(xiàn)在是（7,2）。

師：真厲害，C點在格子外你都能看出來。怎么確定生27說的對不對？

生28：延長橫線和豎線，擴充格子圖。

師：聽你們的。（課件演示擴充格子圖）C點果然是（7,2）。

師（課件演示圖形旋轉(zhuǎn)）：三角形又怎么了？請用數(shù)對說說位置是怎么變的。

圖5

生29：原來 A點的位置是（3,2），現(xiàn)在是（1,0）。

……

師：正如著名數(shù)學家華羅庚所說，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！蔽覀円院筮€將通過研究數(shù)的規(guī)律來了解圖形的特征。

【設計意圖：由表示一點的位置到表示多點的位置，學生深刻體會到每個點都有一個橫向的位置和一個縱向位置，把兩個方向線標出來，便形成了方格圖，每個交叉點的位置可以用兩個數(shù)（數(shù)對）來表示。通過用點的位置描述圖形的位置變化，滲透了一一對應、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想，發(fā)展了學生的空間觀念?！?/p>

三、用好生活素材，就知識的應用拓展

師：剛才我們用數(shù)對確定蜘蛛的位置也就是點的位置。你們在教室里也有自己的位置，比如說第一組、第二組、第三組，我們把這樣的排列稱為組，我們班一總共有八組；還有第一排、第二排、第三排，我們班一總共有八排。老師要把你們的位置搬到屏幕上來?？础@是咱們班的座位分布圖（課件出示班級座位圖）。請你對照座位圖，找找自己的位置。可以把組看成豎線，把排看成橫線。橫線和豎線的交點對應的就是座位。

圖6

生1：我的座位是（3,5）。

師：真棒。用數(shù)對表示位置顯得很——

生（齊）：簡潔。（板書：簡潔）

師：你們能用數(shù)對簡潔地表示自己的位置么？

生2：用數(shù)對表示我的位置是（3,2）。

師：剛才那只蜘蛛的位置用（3,2）表示，你的位置也用（3,2）表示，為什么？

生2：因為我的橫向位置和縱向位置都和蜘蛛一樣。

師：老師要考考你們的反應能力。我報數(shù)對，請對應的同學起立。（1,1），（2,2），…，（7，7）。（對應的學生起立，教師在課件上標出數(shù)對對應的點）

圖7

師：老師報的這些數(shù)對有沒有什么特點？

生3：數(shù)對的第一個數(shù)和第二個數(shù)一樣。

生4：橫向位置和縱向位置相同。

師：這些數(shù)對所對應的點：連起來是一條斜線。

師：真有想象力。我們現(xiàn)在來玩用數(shù)對開火車的游戲。請第三組的同學從前往后依次報出表示自己位置的數(shù)對。（學生依次報出：（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）（3,7）（3,8））

師：這些數(shù)對有沒有什么特別之處？

生5：同一組的同學，數(shù)對的第一個數(shù)字一樣。

師：同一組的同學在同一縱線上，他們的橫向位置一樣，所以數(shù)對的第一個數(shù)一樣。想一想，同一排的同學報出的數(shù)對又會有什么特點？

生6：數(shù)對的第二個數(shù)一樣。

師：是這樣么？我們用事實來說話。請同一排的同學報出數(shù)對。（學生依次報出：（1,2）（2,2）（3,2）（4,2）（5,2）（6,2）（7,2）（8,2））

師：果然和預料的結(jié)果一樣。同一排的同學，他們在同一橫線上，縱向位置一樣，所以數(shù)對的第二個數(shù)一樣。

師：大家真了不起，都學會了用數(shù)對來確定自己的位置。要感謝蜘蛛陪我們上了一節(jié)課，讓我們像數(shù)學家一樣經(jīng)歷了數(shù)對的產(chǎn)生過程。回頭看，當蜘蛛在橫梁上，我們用一個數(shù)確定蜘蛛的位置；當蜘蛛爬到墻面上，我們用2個數(shù)，也就是用數(shù)對確定它的位置?，F(xiàn)在，蜘蛛要回家了，它離開了墻面掛在了半空中，這時候確定它的位置該用幾個數(shù)呢？

生7：用3個數(shù)。因為既要橫著數(shù)，也要縱著數(shù)，還要豎著數(shù)。（用手比出了三個方向）

師：這是你們的想法，當蜘蛛變?yōu)樾l(wèi)星升上太空，或者化身為核潛艇潛入深海，我們又該怎么確定它的位置？這些問題都等待著你們?nèi)ヌ剿鳎グl(fā)現(xiàn)！

【設計意圖：把學生的座位圖抽象為方格圖，讓學生根據(jù)座位圖用數(shù)對描述自己的位置，從而感悟數(shù)學就在身邊。最后對所學知識做了一番梳理，從一維、二維到三維，展示了一個較為完整的知識體系，激發(fā)學生繼續(xù)學習的熱情。】