齊 輝，龔 曲，曾慶友

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

彈性波散射理論一直以來都是彈性動力學(xué)中重要研究課題之一，巧妙地運(yùn)用了一些數(shù)學(xué)物理方法解析地求解了一些復(fù)雜的波動問題，對地震工程、巖土工程及地下結(jié)構(gòu)工程等相關(guān)技術(shù)的研究與應(yīng)用有著重要價值。對彈性波在全空間中傳播時遇缺陷發(fā)生散射的研究已日趨完善，相關(guān)的研究已擴(kuò)展到半空間、四分之一空間等更復(fù)雜的情況，更多的界面模型被涉及[1-8]。雙相介質(zhì)半空間中的缺陷對SH波的散射問題是在近幾年才備受科研人員的重視，而且他們基本上是討論入射SH波與缺陷在同一個介質(zhì)中的情況[2-6]，對于缺陷與入射波處于不同介質(zhì)中的研究還非常少。本文中采用Green函數(shù)法、復(fù)變函數(shù)法、保角映射法、“鏡像”法、極坐標(biāo)移動技術(shù)以及“契合”的思想解析地求解雙相介質(zhì)彈性半空間內(nèi)橢圓彈性夾雜對透射SH波的散射問題。并通過具體的算例得出在不同的入射角、SH波頻率和介質(zhì)性質(zhì)的情況下橢圓夾雜周邊環(huán)向動應(yīng)力集中分布情況，以期獲得一些具體的理論結(jié)果為相關(guān)科研及工程實際應(yīng)用提供參考。

1 問題模型

如圖1所示，由介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ組成的雙相介質(zhì)半空間內(nèi)有一個橢圓夾雜，橢圓夾雜為介質(zhì)Ⅲ，這3種介質(zhì)均為連續(xù)、均勻、各向同性的彈性介質(zhì)。橢圓夾雜長半軸和短半軸長度分別為a和b，夾雜中心到垂直邊界BV的距離為h，到水平邊界BH距離為d，建立如圖1所示直角坐標(biāo)系xOy和x″O″y″。SH波從介質(zhì)Ⅱ中入射，遇垂直邊界BV產(chǎn)生透射SH波進(jìn)入介質(zhì)Ⅰ中。主要研究在不同參數(shù)條件下介質(zhì)Ⅰ中橢圓夾雜周邊在透射SH波作用下產(chǎn)生的環(huán)向動應(yīng)力集中情況，并對結(jié)果進(jìn)行分析，突出反映透射SH波的危害性。

2 控制方程

二維平面SH波位移函數(shù)W(x,y)與時間的依賴關(guān)系為e-iωt,滿足控制方程：

(1)

(2)

引入保角映射函數(shù)：

(3)

(4)

與式(4)相應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式為：

(5)

3 Green函數(shù)

本文中在求解實際問題之前先構(gòu)造問題的Green函數(shù)，其中Green函數(shù)Ⅰ具體為含橢圓彈性夾雜的四分之一空間在垂直邊界上任一位置處的出平面點源荷載作用下產(chǎn)生的位移場，四分之一空間為介質(zhì)Ⅰ，橢圓夾雜為介質(zhì)Ⅲ，如圖2所示。采用“虛設(shè)點源”法構(gòu)造Green函數(shù)入射波位移場表達(dá)式如下：

(6)

(7)

(8)

然后依據(jù)橢圓夾雜邊界上應(yīng)力和位移連續(xù)條件可建立如下方程組：

(9)

在方程兩邊同時乘以e-imθ，然后在(-π,π)區(qū)間內(nèi)積分并進(jìn)行有限項截斷求出系數(shù)An和Bn，本文中取n=8。Green函數(shù)Ⅰ為:

(10)

Green函數(shù)Ⅱ為四分之一空間中無橢圓夾雜時的位移場，即:

(11)

4 入射波、反射波、透射波和散射波

采用“鏡像”法將半空間雙相介質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為全空間雙相介質(zhì)問題，入射波、反射波和透射波可分別表示為：

(12)

(13)

(14)

運(yùn)用Snell定律可以得到入射波、反射波和透射波位移幅值之間的關(guān)系式如下：

(15)

由于入射波的作用，同樣在介質(zhì)Ⅰ中會產(chǎn)生散射波，在橢圓夾雜內(nèi)部會產(chǎn)生駐波，其過程及相關(guān)系數(shù)的求解參考構(gòu)造Green函數(shù)的過程，在此不再敘述。

5 定解積分方程組

(16)

介質(zhì)Ⅰ中存在透射波和散射波，即:

(17)

介質(zhì)Ⅱ中存在入射波和反射波，即:

(18)

(19)

(20)

利用垂直邊界處的關(guān)系：W(Ⅰ)+W(f1)=W(Ⅱ)+W(f2)，W(in)+W(re)=W(tr)可得到如下定解積分方程組：

(21)

(22)

式中:G1與G2分別為之前構(gòu)造的在介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中的Green函數(shù)，利用散射波的衰減性并進(jìn)行有限項截斷求得未知附加力系。

6 動應(yīng)力集中因子

本文中主要是運(yùn)用彈性波的散射理論來研究彈性波的繞射與動應(yīng)力集中問題。環(huán)向動應(yīng)力集中因子可寫成如下形式：

(23)

式中:τ0=μ2k2W4為半空間透射SH波應(yīng)力的最大幅值，τ為橢圓夾雜周邊環(huán)向總應(yīng)力。

在橢圓夾雜周邊環(huán)向應(yīng)力表達(dá)式：

(24)

7 算例及結(jié)果分析

8 結(jié) 論

SH波入射的角度、介質(zhì)的性質(zhì)、透射波的頻率以及橢圓夾雜與垂直邊界的距離對橢圓夾雜周邊環(huán)向動應(yīng)力集中因子的分布均有不同程度的影響。當(dāng)SH波水平入射產(chǎn)生透射波時，橢圓夾雜周邊環(huán)向動應(yīng)力集中程度較大。在一定范圍內(nèi)，垂直界面右側(cè)的介質(zhì)性質(zhì)對動應(yīng)力集中因子的極值影響較小，但在不同透射波頻率下該極值的位置會發(fā)生明顯變化。在中頻和高頻透射波情況下，橢圓夾雜的性質(zhì)對其周邊動應(yīng)力集中的分布影響較大，且在一定條件下動應(yīng)力集中程度會非常嚴(yán)重。當(dāng)橢圓夾雜距離垂直邊界一定距離后，該距離的影響可以忽略不計?？傊?，在實際工程中應(yīng)該重視雙相介質(zhì)中透射波對結(jié)構(gòu)可能造成的 不利影響。

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