何志華

(成都大學(xué)，四川 成都 610106)

大數(shù)定律，即隨機事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中呈現(xiàn)的一種必然趨勢規(guī)律。后來泊松在其基礎(chǔ)上提出了新的陳述和理論。通俗地說，這個定理是在恒定實驗條件下，大量試驗，隨機事件的頻率與概率幾乎相同。

切比雪夫大數(shù)定律三條定理之一可描述為：當N個數(shù)量的期望值及其各自平方的期望值不超過給定值的值時，此N個量的算術(shù)平均數(shù)和數(shù)學(xué)期望值的算術(shù)平均值之差不小于給定概率，當N趨于無窮大時，其值趨于1。用現(xiàn)在的符號表達且比雪夫大數(shù)定律，有：設(shè)X1，X2，…，Xn，…是相互獨立的隨機變量序列，數(shù)學(xué)期望E(Xi)和方差D(Xi)同時存在(i=1，2，…)，且D(Xi)0，有：

一、切比雪夫不等式

上述定理需利用切比雪夫不等式來推導(dǎo)，假設(shè)X1，X2，…，Xn，…是相互獨立的且不相關(guān)的隨機變量序列，并且都存在方差，則對于任何ε>0，有：

可以看出這就是切比雪夫不等式。

二、切比雪夫不等式的應(yīng)用

1.大數(shù)定律的推導(dǎo)依據(jù)。作為概率論極限理論的研究基礎(chǔ)，切比雪夫大數(shù)定律和切比雪夫不等式的地位是眾所周知的。首先，利用切比雪夫不等式推導(dǎo)出切比雪夫大數(shù)定律，可以說切比雪夫不等式也是其他大數(shù)定律的理論研究依據(jù)和關(guān)鍵手段，后續(xù)數(shù)學(xué)家們的研究將切比雪夫的研究推向更高地位。

2.在生活中概率事件的應(yīng)用。關(guān)于切比雪夫不等式的應(yīng)用，目前沒有合理的摘要。任何一個隨機變量，幾乎所有的值都是將接近“平均”。在概率論中,切比雪夫不等式是對事件的上下界的估計。切比雪夫不等式的有限形式多用于代數(shù)中。例如在積分形式和微分形式中，可用于解決困難的積分不等式情況。其推廣式在概率論中的應(yīng)用、在生活中的小概率事件中的應(yīng)用也較為廣泛。且切比雪夫多項式一直是研究熱點，其良好的特性，如正交性、奇偶性、有界性、完備性。對其應(yīng)用產(chǎn)生的恒等式，得到一些積和式，對其推導(dǎo)也有新的遞推式，其中切比雪夫多項式在各項研究應(yīng)用廣泛。

3.利用切比雪夫多項式可構(gòu)造一系列切比雪夫矩陣,切比雪夫-范德蒙矩陣(切-范矩陣)的相關(guān)矩陣(廣義切-范矩陣),等差型切比雪夫矩陣；可用來研究一元切-范導(dǎo)數(shù)矩陣、二元切-范偏導(dǎo)數(shù)矩陣、跨行切-范矩陣這三類廣義切-范矩陣與范德蒙矩陣及廣義切比雪夫多項式。國內(nèi)外眾多學(xué)者應(yīng)用切比雪夫譜方法研究數(shù)值分析等應(yīng)用。

首先，引入Markov不等式的介紹：假設(shè)XX是一個不小于0的隨機變量，則：P(X>a)≤E(X)aP(X>a)≤E(X)a

此不等式僅僅通過使用隨機變量的期望E(X)就給出了分布的概率范圍，但是顯然，該不等式被過度放大了，并不能提供正確的信息。進一步證明，就能夠得到切比雪夫不等式

切比雪夫定理推論：X1，X2，…，Xn，…是相互獨立的隨機變量序列，數(shù)學(xué)期望E(Xi)=μ和方差D(Xi)=σ2(i=1，2，…)，則對任意給定的ε>0，有

上式表明，當n足夠大時，把n次測量結(jié)果的算術(shù)平均值作為a的近似值，所產(chǎn)生的誤差是十分小的，具有一定的實際意義。

對于服從參數(shù)為p的0-1分布的隨機變量X1，X2，…，Xn，…，顯然DX(i)=p(1-p)<0.25(i=1,2,3,4,……),它符合服從切比雪夫大數(shù)定律的條件。

三、總結(jié)

綜上，經(jīng)過學(xué)者的研究，大數(shù)定律體系的發(fā)展已經(jīng)很完備，也出現(xiàn)了更廣泛的大數(shù)定律，生活中大多數(shù)概率事件都與大數(shù)定律、切比雪夫不等式相關(guān)，其應(yīng)用于社會和工業(yè)生產(chǎn)，為人類的研究奠基。

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