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      巧用斜率求參數(shù)的范圍

      2018-06-09 03:47:39朱帥
      關(guān)鍵詞:原點(diǎn)切線實(shí)數(shù)

      ◎朱帥

      例1:[2014·山東理20]設(shè)函數(shù)(k為常數(shù),e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

      (1)當(dāng) k≤0時(shí),求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間;

      (2)若函數(shù) f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求 k的取值范圍.

      解析:本題問(wèn)題(2)要求k的取值范圍,我們可以用斜率來(lái)解決問(wèn)題:

      若函數(shù) f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),則方程 f′(x)=0在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∵x∈(0,2),∴x3>0,x-2<0,所以f′(x)=0等價(jià)于ex-kx=0,

      從而方程ex-kx=0在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。∴表示函數(shù)y=ex在x∈(0,2)內(nèi)圖像上的點(diǎn)P(x,ex)與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)的連線l的斜率,由圖(1)知,l介于切線l1與割線l2之間,從而k介于切線k1與割線k2之間.

      設(shè)切點(diǎn)為 (x0,y0),則 y′=ex,所以 k1=ex0,

      例2:[2016·廣州二模理21]已知函數(shù) f(x)=e-x-ax(x∈ R).

      (Ⅰ)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;

      (Ⅱ)若x≥0時(shí),f(-x)+ln(x+1)≥1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

      (Ⅲ)求證:.

      解析:本題問(wèn)題(2)求a的取值范圍,我們可以用斜率來(lái)解決問(wèn)題:

      依題意,x≥0時(shí),即 f(-x)+ln(x+1)≥1即 ex+ax+ln(x+1)-1≥0.

      ∴ ax≥1-ex-ln(x+1)

      當(dāng)x=0時(shí),上式恒成立,此時(shí)a∈R

      令,則k表示函數(shù)

      g(x)=ex+ln(x+1)-1圖像上的點(diǎn)

      P(x,ex+ln(x+1)-1)(x∈(0,+∞))與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)的連線l的斜率,由圖(2)知,l介于切線 l1與 y軸之間,因?yàn)?g′(x)=ex+,∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)遞增且遞增速度越來(lái)越快,又g(x)過(guò)原點(diǎn) O(0,0),∴ k>g′(0) =2,即,

      從而a≥-2,綜上所述,a∈[-2,+∞)

      例3:[2016·湛江一模理21]設(shè)函數(shù) f(x)=(ax+1)e-x(a∈ R).

      (I)當(dāng) a>0時(shí),求 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

      (II)對(duì)任意 x∈[0,+∞),f(x)≤x+1恒成立,求實(shí)數(shù) a的取值范圍

      解析:本題問(wèn)題(2)求a的取值范圍,我們可以用斜率來(lái)解決問(wèn)題:

      f(x)=(ax+1)e-x≤x+1恒成立,x∈[0,+∞)

      當(dāng)x=0時(shí),上式恒成立,此時(shí)a∈R

      則 k表示函數(shù)g(x)=ex(x+1)-1圖像上的點(diǎn)P(x,ex(x+1)-1)(x∈(0,+∞))與坐標(biāo)原點(diǎn) O(0,0)的連線l的斜率,由圖(3)知,l介于切線 l1與 y軸之間。因?yàn)?g′(x)=(x+2)ex,∴函數(shù) g(x)在 (0,+∞)遞增且遞增速度越來(lái)越快,又g(x)過(guò)原點(diǎn)O(0,0),∴ k>g′(0)=2,即,從而a≤2,綜上所述,a∈(-∞,2]

      點(diǎn)評(píng):例1—例3中解法,不僅省去了復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程,而且它的原理更貼近初等數(shù)學(xué),學(xué)生也非常容易掌握.在高中數(shù)學(xué)中,有關(guān)函數(shù)的證明題,學(xué)生大都會(huì)首先想到構(gòu)造函數(shù),通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明.經(jīng)過(guò)多年的解題訓(xùn)練,很多學(xué)生都形成了慣性思維,很難再有新的突破.但如果我們認(rèn)真觀察,用心去想,很多問(wèn)題是可以跳出慣性的約束,另外一種再平凡不過(guò)的方法或許會(huì)讓我們柳暗花明.特別是高等數(shù)學(xué)的方法用之于初等數(shù)學(xué)時(shí),一定要抓住實(shí)質(zhì).導(dǎo)數(shù)離散化之后就是斜率,從這個(gè)意義上講,斜率更具有根本意義,而且在高中數(shù)學(xué)中斜率還是一個(gè)核心概念.

      構(gòu)造斜率只是解決恒成立問(wèn)題中求參數(shù)的取值范圍的一種方法,并非適用于所有的問(wèn)題,但是如果條件適合,構(gòu)造斜率往往能讓我們變抽象為直觀,減少分類討論的麻煩,甚至簡(jiǎn)化許多繁瑣的計(jì)算,達(dá)到事半功倍的效果。

      [1] 劉有良.構(gòu)造解析幾何模型解代數(shù)問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2002,11(下),50-51.

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