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      基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)實(shí)踐初探
      ——以“平面向量的分解定理”概念教學(xué)為例

      2018-06-09 03:58:43汪園娣
      關(guān)鍵詞:定理平面向量

      ◎汪園娣

      基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)是指基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之上的理解學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)者能夠批判性的學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí),并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中,能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系,并能夠?qū)⒁延械闹R(shí)遷移到新的情境中,作出決策和解決問題?;跀?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)是圍繞數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)分析六大核心內(nèi)容[1],引起學(xué)生的高級(jí)思維和認(rèn)知,從而形成對(duì)知識(shí)的理解和遷移,最終培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)新意識(shí)。筆者以“平面向量的分解定理”一課概念教學(xué)為例,結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,以深度學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo),在課堂教學(xué)中探索一套適應(yīng)于新高考背景下基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)模式。

      教學(xué)目標(biāo)

      以探究的形式體驗(yàn)平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程;

      理解平面向量分解定理,體會(huì)由特殊到一般的思想,感悟數(shù)學(xué)的化歸思想。

      教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

      重點(diǎn):平面向量的分解定理

      難點(diǎn):平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程

      教學(xué)過程

      本節(jié)課導(dǎo)入環(huán)節(jié),遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,在原有的認(rèn)知體系中,根據(jù)已學(xué)內(nèi)容向量的坐標(biāo)直接導(dǎo)入。[2]通過課堂對(duì)話,回顧坐標(biāo)的形成過程,得出基于兩個(gè)基本單位向量的向量的正交分解,為本課探究做鋪墊。

      環(huán)節(jié)一 坐標(biāo)導(dǎo)入

      提問1:平面任一的坐標(biāo)怎樣表示?回顧向量的坐標(biāo)表示的由來。

      提問2:向量的坐標(biāo)表示(代數(shù)角度),是通過怎樣的向量分解(幾何角度)實(shí)現(xiàn)的?

      提問3:平面內(nèi)任一向量的正交分解唯一嗎?

      本環(huán)節(jié)注重元認(rèn)知發(fā)展,開展深度學(xué)習(xí),鼓勵(lì)學(xué)生以探究的方式和合作的模式進(jìn)行新知識(shí)和信息與新問題的解決。注重學(xué)生對(duì)于現(xiàn)有知識(shí)的反思,并強(qiáng)調(diào)新知識(shí)內(nèi)化之后,與固有知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系。

      環(huán)節(jié)二 特例過渡

      適當(dāng)改變上述正交分解的條件,通過數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展,體驗(yàn)一般情形下正交分解的過程。

      數(shù)學(xué)活動(dòng):上述正交分解中的“兩個(gè)基本單位向量”改為“給定兩個(gè)互相垂直的非零”,能否進(jìn)行分解?分解有何特點(diǎn)?

      數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn):“互相垂直”條件改變可以分解嗎?

      數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)基于給定兩個(gè)互相垂直的非零向量,可以進(jìn)行正交分解。對(duì)于知識(shí)的處理,是基于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,由特殊到一般,循序漸進(jìn),在此基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)的獲取和解決問題的策略。深度學(xué)習(xí)的必要前提是學(xué)生對(duì)于知識(shí)有著比較濃厚的興趣,有探究的欲求。

      環(huán)節(jié)三 定理探索

      基于尋找向量分解的條件,進(jìn)一步引導(dǎo),激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索的欲望。

      (一) 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)

      探究1:除正交分解外,你還可以對(duì)平向量進(jìn)行怎樣的分解?

      探究2:對(duì)于滿足什么條件的兩個(gè)給定向量,平面內(nèi)任一向量可以分解?

      數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn):類比向量的正交分解,當(dāng)“兩個(gè)互相垂直的”變成“給定平面上兩個(gè)不平行向量”,你有什么發(fā)現(xiàn)?

      給定一組不垂直的非零向量,親身經(jīng)歷向量分解的過程,目的在于尋找向量進(jìn)行分解的條件。將已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)遷移作用于其它情境中,特殊到一般,通過類比發(fā)現(xiàn),給定平面上兩個(gè)不平行向量,該平面上任一向量都可以表示成這兩個(gè)不平行向量的線性組合。

      (二)數(shù)學(xué)體驗(yàn)

      活動(dòng)一 給定兩個(gè)方向,將一個(gè)分解成兩個(gè)向量的和.

      活動(dòng)二是平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向量,是該平面內(nèi)的任意一個(gè)非零向量,之間的關(guān)系.

      通過數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),得出向量分解的條件;開展數(shù)學(xué)活動(dòng),經(jīng)歷平面向量的分解。初步形成:平面內(nèi)的任意一個(gè)非零都可以表示成這兩個(gè)不平行的線性組合,即分解可行.

      (三)數(shù)學(xué)探究

      從兩個(gè)特殊向量出發(fā),師生共同完成這兩個(gè)特殊向量的分解,得出可以分解且唯一。

      探究三 當(dāng)平面上兩個(gè)不平行的取定時(shí),任一向量的分解唯一嗎?

      探究的思路始終遵循學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),由已知到未知,由特殊到一般,進(jìn)行邏輯推理,得出當(dāng)平面上兩個(gè)不平行的向量取定時(shí),任一向量的分解唯一。學(xué)生結(jié)合自身的內(nèi)在需求對(duì)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行比較深刻的思考和探究,通過使用與學(xué)習(xí)材料相適應(yīng)的學(xué)習(xí)方法,對(duì)知識(shí)進(jìn)行批判性的接收和創(chuàng)造性的使用,從而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的真正意義,達(dá)到深度學(xué)習(xí)的效果。

      環(huán)節(jié)四 定理形成

      學(xué)生通過定理探索,經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)體驗(yàn)、數(shù)學(xué)探究,概括平面向量分解定理:

      探究一 條件中“不平行向量”,改為“平行向量”,如何?

      探究二兩繩子可以以任意角度懸掛同一重物,重物因?yàn)榫哂兄亓?,?huì)對(duì)兩繩子產(chǎn)生拉伸效果。

      思考:兩根繩子的懸掛的角度不同,重力分解的結(jié)果如何?

      探究三對(duì)于給定的一組基,向量的分解是否唯一?

      以探究的形式體會(huì)定理的涵義,從物理實(shí)例出發(fā),在熟悉的問題情境中,經(jīng)歷物理問題數(shù)學(xué)化的過程,感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理,加深數(shù)學(xué)理解,得出平面上任一向量可以有無窮多種分解,即有無數(shù)組基,且對(duì)給定的一組基分解唯一。

      環(huán)節(jié)五 定理應(yīng)用

      通過定理探索,得出平面向量分解定理,如何夯實(shí)該定理,通過下面的幾個(gè)實(shí)例來實(shí)現(xiàn)。

      解決實(shí)際問題,體會(huì)基向量思想在運(yùn)算化簡(jiǎn)中的作用,可以讓向量運(yùn)算更加有目的性,體會(huì)平面向量分解定理的意義。深度學(xué)習(xí),注重對(duì)于知識(shí)的解釋與剖析,并且隨著知識(shí)種類的不同而有著不同的內(nèi)化模式。

      教學(xué)后記:以探究的形式體驗(yàn)平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程,教學(xué)緊緊圍繞向量分解展開。在教學(xué)過程中,學(xué)生無論經(jīng)驗(yàn)的積淀、基本思想的形成,還是數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的培養(yǎng),都離不開學(xué)生的主動(dòng)參與、獨(dú)立思考和親身實(shí)踐,離不開學(xué)生的自我建構(gòu)。因此,學(xué)生發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)之后所積淀和升華的產(chǎn)物,這種產(chǎn)物對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)上的全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展起決定作用。[3]

      課堂教學(xué)采用探究形式,有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力,通過親身實(shí)踐探索獲得的知識(shí),實(shí)現(xiàn)自我建構(gòu),以實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。在實(shí)際操作中,學(xué)生思維一旦打開,探究問題方向多樣,而易脫離教學(xué)主線,影響教學(xué)進(jìn)度的推進(jìn),需要提前預(yù)想到多種可能情況,合理安排探究?jī)?nèi)容和時(shí)間,以達(dá)到更好的教學(xué)效果。

      [1]教育部課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組.普通高中各學(xué)科核心素養(yǎng)一覽表 [EB/OL].http://learning.sohu.com/20160422/n445632409.shtml

      [2]吳秀娟,張浩,倪廠清.基于反思的深度學(xué)習(xí):內(nèi)涵與過程[J].電化教育研究,2014(12):23-28.33.

      [3]孔凡哲.學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化切實(shí)提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2015(6):孔凡哲.學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化切實(shí)提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué),2015,(9).

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