◎方國(guó)飛
引言:從現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教學(xué)情況來(lái)看,學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣并不高,其重要原因就在于高中數(shù)學(xué)知識(shí)比較復(fù)雜,學(xué)生理解起來(lái)比較困難。很多高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都產(chǎn)生了一種恐懼心理,不知道怎樣去學(xué),經(jīng)常以“依葫蘆畫(huà)瓢”的方法去解答數(shù)學(xué)題,因此所取得的效果并不理想。所以對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō),可以對(duì)他們的數(shù)學(xué)解題思想進(jìn)行改變,通過(guò)導(dǎo)數(shù)對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行解決,利用數(shù)形結(jié)合的思想,提升他們的做題速度與做題質(zhì)量,進(jìn)而提高他們的數(shù)學(xué)成績(jī)。
利用導(dǎo)數(shù)可以對(duì)函數(shù)圖像的變化規(guī)律進(jìn)行研究,進(jìn)而對(duì)它的單調(diào)性進(jìn)行準(zhǔn)確判斷。如果f(x)在區(qū)間M內(nèi)可導(dǎo),并且對(duì)于定義域內(nèi)?x∈M,都有 f′(x)≥0,那么 f(x)在該區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù);反之如果 f(x)在區(qū)間M內(nèi)可導(dǎo),并且對(duì)于定義域內(nèi)?x∈M,都有 f′(x)≤0,那么 f(x)在該區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)。另外,通過(guò)導(dǎo)數(shù),也可以對(duì)函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行有效解決。函數(shù)最值指的是在某區(qū)間M內(nèi)的最大值以及最小值,利用導(dǎo)數(shù)的思想,借助函數(shù)圖像,就可以對(duì)函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行有效研究[1]。
根據(jù)最近幾年的高考情況來(lái)看,不等式問(wèn)題具有思維量大以及綜合性強(qiáng)等特點(diǎn),屬于歷年高考的重點(diǎn)與難點(diǎn)。通過(guò)導(dǎo)數(shù)對(duì)不等式進(jìn)行證明,實(shí)際上就是通過(guò)函數(shù)和不等式之間的關(guān)系,在等價(jià)變形之后,按照不等式的特征,對(duì)相應(yīng)函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造,在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上,對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷,將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題,進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行有效解決[2]。比如對(duì)于下面這道不等式問(wèn)題:
證明:ex>1+x(x>0)
在這道數(shù)學(xué)題中,我們可以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,將不等式和導(dǎo)數(shù)進(jìn)行有效結(jié)合。首先需要對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行構(gòu)造,即f(x)=ex-1-x,然后再對(duì)函數(shù) f(x)進(jìn)行求導(dǎo),進(jìn)而得到 f′(x),對(duì)其圖像進(jìn)行觀察,當(dāng)x>0時(shí),其導(dǎo)數(shù)圖像在x軸上方,也就是說(shuō)函數(shù)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),進(jìn)而得知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)>f(0)=0,最后得到ex>1+x。
高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題也是高考必考內(nèi)容,并且占有較大分值。在對(duì)數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行解答時(shí),我們可以將數(shù)列當(dāng)成一種特殊函數(shù),其特殊性主要體現(xiàn)在自變量是正整數(shù),因此可以在函數(shù)與數(shù)列之間關(guān)系的基礎(chǔ)上,通過(guò)導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行快速解決[3],比如對(duì)于下面這道數(shù)列問(wèn)題:
求數(shù)列:1+2a+3a2+4a3+··· +nan-1的和。(其中a≠0,a≠1)
在這道數(shù)學(xué)題當(dāng)中,我們可以知道nan-1為an的導(dǎo)數(shù),也就是說(shuō)(an)′=nan-1,我們可以設(shè)數(shù)列bn=an,那么可以對(duì)數(shù)列n的前n項(xiàng)和進(jìn)行計(jì)算,即,之后再將等式兩邊對(duì)a進(jìn)行求導(dǎo),就會(huì)得到:
對(duì)于導(dǎo)數(shù)而言,不僅可以對(duì)函數(shù)問(wèn)題、不等式以及數(shù)列等問(wèn)題進(jìn)行解決,同時(shí)也可以對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行有效解決。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō),學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最主要目的是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)一些生活當(dāng)中的問(wèn)題進(jìn)行有效解決,所以教師在教學(xué)過(guò)程中,需要對(duì)學(xué)生解題意識(shí)、解題能力以及解題方法等進(jìn)行培養(yǎng),如此一來(lái),不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī),同時(shí)也鍛煉了他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力[4]。比如對(duì)于下面這道數(shù)學(xué)題:
某企業(yè)在對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行生產(chǎn)時(shí),已知每天所生產(chǎn)的次品數(shù)m是關(guān)于每天產(chǎn)量n的函數(shù),當(dāng)n≤100時(shí),,當(dāng) n>100時(shí),m=n,如果該企業(yè)每賣(mài)出一件正品,那么就會(huì)獲利L元,如果生產(chǎn)一件次品,那么就會(huì)損失元,當(dāng)企業(yè)想要獲得最大利潤(rùn)時(shí),那么每天的產(chǎn)量應(yīng)該是多少?
在這道數(shù)學(xué)題當(dāng)中,我們首先需要對(duì)日產(chǎn)量、正品數(shù)以及次品數(shù)等進(jìn)行明確,然后再對(duì)利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行建立,最后對(duì)日產(chǎn)量進(jìn)行計(jì)算。
由題意我們可知,m屬于次品數(shù),那么在n件產(chǎn)品中,正品數(shù)應(yīng)為n-m,設(shè)每日獲利總數(shù)是 D(n),那么,則,設(shè) D′(n)=0,我們可以得到,再根據(jù)n≤100時(shí),,當(dāng) n>100時(shí),m=n,我們可以知道,當(dāng)n>100時(shí),所有的產(chǎn)品都屬于次品,企業(yè)就會(huì)產(chǎn)生損失,因此,只有在n≤100的范圍內(nèi)對(duì)最佳日產(chǎn)量進(jìn)行計(jì)算,根據(jù),可以得到n約等于89.4,又因?yàn)閚應(yīng)該為正整數(shù),因此n的值應(yīng)為89或者是90,但是由于 D(89)=79.11L,D(90)=70.09L,因此當(dāng) n的值為89的時(shí)候,D(n)取得最大值,也就是說(shuō)當(dāng)企業(yè)的日產(chǎn)量為89時(shí),所獲利潤(rùn)最大。
結(jié)論:總而言之,對(duì)于導(dǎo)數(shù)而言,不僅是一種數(shù)學(xué)知識(shí),同時(shí)也是一種解題工具、解題思想,解題方法,具有一定的數(shù)學(xué)價(jià)值,為學(xué)生提供了新的解題思路,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要意義。因此對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師而言,在日常教學(xué)中,應(yīng)該更多從函數(shù)問(wèn)題、不等式問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題以及實(shí)際問(wèn)題等方面對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行合理應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的導(dǎo)數(shù)思想,進(jìn)而提高他們做數(shù)學(xué)題的速度與質(zhì)量,為他們后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
[1]陳展潘.基于導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用淺析高中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(教研版),2017(7).
[2]許楚濱.基于高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與思考——以高中《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》為例[J].考試周刊,2017(42):131-132.
[3]曹云輝.淺談高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[J].小品文選刊:下,2015(6):107-107.
[4]陳展潘.基于導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用淺析高中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(教研版),2017(7).