卜一波, 梁乃升, 邵 丹, 吳 寧

(1. 吉林大學 通信工程學院, 長春130012; 2. 中國移動通信集團吉林公司 省網(wǎng)優(yōu)中心, 長春 130021)

0 引 言

在沙漠地震信號中存在著大量的自然噪聲和人文噪聲[1,2], 這嚴重降低了地震信號的信噪比, 影響了地震信號的分析工作, 因此采用合適的噪聲壓制方法對原始地震信號中的噪聲進行壓制很有必要[3-5]。

復合稀疏去噪[6]是由全變差去噪[7-11]發(fā)展起來的, 全變差去噪只考慮了信號的導數(shù)是稀疏的這一特性, 而復合稀疏去噪在此基礎上考慮信號本身也具有一定的稀疏性, 并且其還聯(lián)合使用了低通濾波器, 在去除高斯白噪聲的同時還可以去除低頻噪聲。筆者通過對沙漠地震信號的特征進行分析, 發(fā)現(xiàn)沙漠地震信號中同時含有低頻噪聲和高斯白噪聲, 并且地震信號自身和它的導數(shù)都具有一定的稀疏性。由此筆者提出使用復合稀疏去噪方法同時壓制沙漠地震信號中的低頻噪聲和高斯白噪聲。實驗表明, 復合稀疏去噪可以有效地同時壓制沙漠地震信號中的低頻噪聲和高斯白噪聲而使同向軸更加清晰。

1 沙漠噪聲特征分析

對于不同的噪聲和信號特征選取不同的噪聲壓制方法。首先對沙漠地震信號的特征進行分析, 然后根據(jù)這些特征選擇合適的噪聲壓制方法。根據(jù)李光輝等[1,2]對沙漠噪聲的研究, 沙漠噪聲主要分為自然噪聲和人文噪聲, 人文噪聲又可分為近場人文噪聲和遠場人文噪聲。自然噪聲的頻率一般在10 Hz以下, 近場人文噪聲頻率在2～25 Hz, 遠場人文噪聲頻率在0～200 Hz左右。張慶淮等[12]指出沙漠噪聲中還含有寬頻高能噪聲。鑒于以上研究, 筆者使用低頻噪聲和高斯白噪聲的疊加表示沙漠噪聲具有一定的合理性。

2 含噪信號模型及去噪方法

在分析不同的噪聲和信號特征的基礎上, 首先根據(jù)噪聲和信號的特征建立一個含噪信號的模型, 然后對符合該模型的信號采取相應的去噪方法。

對于含有高斯白噪聲的低頻信號, 一般采用以下模型表示

y(n)=f(n)+w(n)

(1)

其中y(n)是含噪信號,f(n)是低頻信號,w(n)是高斯白噪聲。對于符合該模型的含噪信號, 可以用低通濾波器對其進行去噪

(2)

其中LPF(Low Pass Filter)表示低通濾波器。

對于含有高斯白噪聲且具有稀疏導數(shù)的信號, 筆者采用以下模型表示

y(n)=x(n)+w(n)

(3)

其中y(n)是含噪信號,x(n)是具有稀疏導數(shù)的信號,w(n)是高斯白噪聲。對于符合該模型的含噪信號, 可采用全變差去噪方法對其進行去噪

(4)

其中TVD(Total Variation Denoising)表示全變差去噪。

沙漠地震信號含有低頻噪聲和高斯白噪聲, 并且自身和它的一階導數(shù)都是稀疏的, 可用以下模型表示

y(n)=f(n)+x(n)+w(n)

(5)

其中y(n)是含噪信號,f(n)是低頻信號(這里是低頻噪聲),x(n)是純凈信號,w(n)是高斯白噪聲。對于符合該模型的含噪信號, 可采用復合稀疏去噪方法對其進行去噪

(6)

其中CSD(Compound Sparse Denoising)表示復合稀疏去噪。

3 全變差去噪原理

(7)

式(7)等價于

(8)

展開表示為

(9)

式(7)和式(8)分別是全變差去噪的約束形式和無約束形式, 其中無約束的形式(8)更為常用。至此可以對全變差去噪進行定義, 用TVD(y,λ)表示全變差去噪, 則有如下定義

(10)

全變差去噪雖然沒有顯式的求解方法, 但已有一種快速算法[14]用于計算式(8)。

4 復合稀疏去噪

4.1 復合稀疏去噪模型

復合稀疏去噪在全變差的基礎上進行了兩點改進:

1) 在原來只對信號導數(shù)的稀疏性進行約束的基礎上加上了對信號自身的稀疏性進行約束;

2) 聯(lián)合使用了低通濾波器, 不僅可以去除高斯白噪聲, 也可去除信號中的低頻噪聲。

復合稀疏去噪可表示為

(11)

這種復合模型中含有兩個約束項, 它比只含有一個約束項的模型可提取更多特征。

4.2 復合稀疏去噪的沙漠噪聲壓制

考慮沙漠地震信號里面含有低頻噪聲和加性高斯白噪聲的問題, 如式(5)所示模型, 可簡寫為

y=f+x+w

(12)

假設高斯白噪聲w的方差為σ2,f為低頻噪聲,x為地震信號, 對x進行估計, 即

(13)

推導保真度條件。

(14)

這里LPF(Low Pass Filter)是低通濾波器。進一步推導得

(15)

(16)

(17)

(18)

可見等式(18)左邊形成了一個高通濾波器。

定義高通濾波器HPF(High Pass Filter), 寫成如下形式

(19)

(20)

據(jù)此可通過以下全變差去噪方法對x進行估計

(21)

其等價于無約束全變差去噪, 形式如下

(22)

進一步對信號自身的稀疏性進行約束, 則可以得到復合稀疏去噪方法

(23)

無約束公式(23)的計算可以由全變差去噪的計算直接導出[15], 因此計算非常簡單。

5 仿真實驗

筆者的目的是同時壓制沙漠地震信號中含有的低頻噪聲和高斯白噪聲, 為驗證復合稀疏去噪的有效性, 利用模擬沙漠地震信號和實際沙漠地震信號分別進行了仿真實驗。

5.1 模擬數(shù)據(jù)仿真實驗

模擬地震數(shù)據(jù)利用雷克子波作為地震子波, 每道中含有3個雷克子波, 主頻分別為30 Hz,35 Hz,45 Hz, 幅值分別為1,1,0.5, 速度為4 500 m/s。采樣間隔2 ms, 總共1 000個采樣點。道間距為20 m。總共30道, 模擬地震數(shù)據(jù)如圖1a所示。加入的噪聲是由李光輝等[1]合成的沙漠噪聲記錄, 噪聲幅值為1, 加噪信號如圖1b所示。將復合稀疏去噪結果和帶通濾波器去噪結果進行了比較(見圖1c, 圖1d), 可以看出帶通濾波器去噪后在信號的兩側會產(chǎn)生失真, 而復合稀疏去噪結果中在信號兩側幾乎沒有失真。

為比較效果, 筆者進行了單道對比, 圖2中顯示的是第15道記錄。從圖2中可見, 復合稀疏去噪成功地壓制了低頻噪聲和高斯白噪聲, 復合稀疏去噪的保幅略好于帶通濾波器, 在430采樣點附近帶通濾波器會產(chǎn)生較嚴重失真, 而復合稀疏去噪的失真較小。

a 純凈信號 b 含噪信號

c 帶通濾波去噪 d 復合稀疏去噪圖1 模擬沙漠地震信號濾波結果Fig.1 The filtering results of simulated desert seismic signals

圖2 單道波形圖Fig.2 Waveform of signal in single-channel

5.2 實際數(shù)據(jù)仿真實驗

最后利用復合稀疏去噪對實際地震信號進行處理, 如圖3所示。從結果可知, 信號中的低頻噪聲和高斯白噪聲得到了壓制, 同相軸變得更加連續(xù)。

a 原始地震記錄 b 帶通濾波器結果 c 復合稀疏去噪結果圖3 實際沙漠地震去噪結果Fig.3 The filtering results of real desert seismic data

6 結 語

沙漠地震信號同時含有低頻噪聲和高斯白噪聲, 一般去噪方法很難同時去除這兩種噪聲。筆者首先分析沙漠噪聲的特點, 然后根據(jù)沙漠地震信號的特點建立了合適的信號模型。對所建立的沙漠地震信號模型, 選擇了復合稀疏去噪的方法對其中的噪聲進行壓制。最后通過實驗仿真, 可看出復合稀疏去噪可以很好地同時去除沙漠地震信號中的低頻噪聲和高斯白噪聲。

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