馬特,劉剛,何兵

(火箭軍工程大學(xué) 空間工程系,陜西 西安 710025)

0 引言

現(xiàn)代小衛(wèi)星發(fā)源于20世紀(jì)80年代，是通信技術(shù)、測(cè)控技術(shù)、遙測(cè)技術(shù)以及小衛(wèi)星的管理等相關(guān)關(guān)鍵技術(shù)大力發(fā)展的基礎(chǔ)上涌現(xiàn)的產(chǎn)物?，F(xiàn)代小衛(wèi)星采用創(chuàng)新概念設(shè)計(jì)，在大型衛(wèi)星涉及領(lǐng)域廣、技術(shù)復(fù)雜、研制周期較長(zhǎng)、成本過高的背景下，小衛(wèi)星因其“新、快、靈、省”的特點(diǎn)以及其巨大的發(fā)展?jié)撃埽霈F(xiàn)井噴的態(tài)勢(shì)。隨著小衛(wèi)星的蓬勃發(fā)展和廣泛應(yīng)用，小衛(wèi)星的各項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)已經(jīng)成為航天裝備和空間應(yīng)用領(lǐng)域關(guān)鍵技術(shù)的重要組成部分，其中小衛(wèi)星發(fā)射技術(shù)則引起各個(gè)國(guó)家的廣泛關(guān)注。

小衛(wèi)星發(fā)射方法可以分別為兩大類[1]。一是采用專用小型運(yùn)載火箭發(fā)射；二是利用大型運(yùn)載火箭搭載發(fā)射。后者發(fā)射周期長(zhǎng)，發(fā)射點(diǎn)固定，不利于實(shí)現(xiàn)需要機(jī)動(dòng)靈活的應(yīng)急發(fā)射任務(wù)。而利用現(xiàn)有型號(hào)導(dǎo)彈經(jīng)過改裝成為衛(wèi)星發(fā)射不但可以節(jié)省衛(wèi)星發(fā)射運(yùn)載器的研制周期和經(jīng)費(fèi)，同時(shí)還可做到機(jī)動(dòng)發(fā)射、應(yīng)急組網(wǎng)。

目前，世界各國(guó)都對(duì)小衛(wèi)星機(jī)動(dòng)發(fā)射技術(shù)有所突破。例如，美國(guó)利用退役的“民兵-2”固體導(dǎo)彈一、二級(jí)和“飛馬座-KL”火箭末修級(jí)改造成的“人牛怪”運(yùn)載火箭[2]，能把340 kg的有效載荷送入740 km的太陽同步軌道，并可較其他火箭節(jié)省30%的發(fā)射費(fèi)用；同時(shí)俄羅斯也將RS-18導(dǎo)彈和SS-25導(dǎo)彈改造成為呼嘯號(hào)運(yùn)載火箭[3]和起飛1號(hào)運(yùn)載火箭[4]用于衛(wèi)星發(fā)射。

本文研究的對(duì)象是彈載小衛(wèi)星機(jī)動(dòng)發(fā)射彈道設(shè)計(jì)與優(yōu)化。以經(jīng)典型號(hào)彈道導(dǎo)彈為例，通過改造導(dǎo)彈的末修艙，加裝高集成緊耦合微衛(wèi)星，在傳統(tǒng)彈道導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)導(dǎo)彈飛行程序，最終實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星發(fā)射入軌。

1 基礎(chǔ)力學(xué)模型

1.1 地球引力

地球引力場(chǎng)為有勢(shì)力場(chǎng)[5]，地球外質(zhì)點(diǎn)引力位函數(shù)為

(1)

式中:fM為引力常數(shù)地球;m和r分別為質(zhì)量和質(zhì)點(diǎn)到地心距離。

于是，引力加速度為

(2)

1.2 發(fā)動(dòng)機(jī)推力

火箭發(fā)送機(jī)雖有液體固體之分，但其產(chǎn)生機(jī)理相同，所以其基本推力計(jì)算公式相同。在不考慮控制的情況下，彈體系Ozy1和Ozz1軸方向的推力可以直接去零，由于存在大氣靜壓力，而發(fā)動(dòng)機(jī)噴口上沒有大氣靜壓力，在燃?xì)忪o壓力和大氣靜壓力的共同作用下，發(fā)動(dòng)機(jī)推力[6]為

(3)

1.3 空氣動(dòng)力

對(duì)于高速飛行的導(dǎo)彈來說，其空氣動(dòng)力的產(chǎn)生機(jī)理與飛機(jī)機(jī)翼升力產(chǎn)生機(jī)理完全一樣，與導(dǎo)彈的外部形狀、姿態(tài)、速度、空氣密度和飛行高度有關(guān)。只是作用在導(dǎo)彈的空氣動(dòng)力[7]是空間中的一個(gè)向量。其表達(dá)式為

R=CRqSm，

(4)

1.4 柯氏慣性力和牽連慣性力

柯氏慣性力[8]和牽連慣性力[9]是由于坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生，對(duì)導(dǎo)彈的作用力也很小。

柯氏慣性力在發(fā)射坐標(biāo)系下的分量為

(5)

式中:Fcx，F(xiàn)cy，F(xiàn)cz為柯氏慣性力在發(fā)射系下分量；m為導(dǎo)彈實(shí)時(shí)質(zhì)量；acx，acy，acz為柯氏慣性力產(chǎn)生的加速度。

(6)

(7)

牽連慣性力在發(fā)射坐標(biāo)系下的分量為

(8)

式中：Fex，F(xiàn)ey，F(xiàn)ez為牽連慣性力在發(fā)射系下分量；aex，aey，aez為牽連慣性力產(chǎn)生的加速度。

(9)

(10)

2 彈載小衛(wèi)星發(fā)射彈道優(yōu)化模型

以經(jīng)典型號(hào)彈道導(dǎo)彈為例，小衛(wèi)星發(fā)射彈道包括一級(jí)飛行段、二級(jí)飛行段和自由段，達(dá)到目標(biāo)軌道后，利用末修級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)施加推力最終達(dá)到入軌條件，在飛行過程中，導(dǎo)彈按標(biāo)準(zhǔn)彈道飛行，其姿態(tài)角根據(jù)優(yōu)化的飛行程序角變化。

2.1 導(dǎo)彈飛行程序設(shè)計(jì)

(1) 一級(jí)飛行程序

導(dǎo)彈一級(jí)飛行程序又可以分為垂直上升、程序轉(zhuǎn)彎、跨聲速飛行和一級(jí)分離4段[10]。由于導(dǎo)彈一級(jí)飛行處于稠密的大氣層中，而且要經(jīng)歷跨音速等復(fù)雜情況。一般對(duì)一級(jí)飛行不做太大改動(dòng)。一級(jí)飛行程序如下：

(11)

式中：

(12)

t1為導(dǎo)彈垂直上升段的時(shí)間；t2為程序轉(zhuǎn)彎結(jié)束的時(shí)刻；t3為跨聲速飛行段飛行結(jié)束的時(shí)刻；tk1為一級(jí)結(jié)束時(shí)刻；α為二級(jí)飛行攻角，其中α和a控制彈道的轉(zhuǎn)彎速率；θ為彈道傾角。

(2) 二級(jí)飛行程序

本文中的二級(jí)飛行開始段已經(jīng)飛至臨近空間中上層，空氣產(chǎn)生的阻力相對(duì)一級(jí)要小，控制也比一級(jí)容易，所以主要優(yōu)化參數(shù)也都在二級(jí)段。將二級(jí)飛行分段線性化設(shè)計(jì)，具體如下：

(13)

(3) 自由段飛行程序

自由段飛行導(dǎo)彈已經(jīng)飛出大氣層，彈體處于無控制飛行狀態(tài)，直至導(dǎo)彈達(dá)到目標(biāo)軌道以及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)要求，末修發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，最終完成小衛(wèi)星入軌任務(wù)。在此過程中，飛行程序角保持不變。

φcx(t)=φcx5，tk2

(14)

式中：φcx5為導(dǎo)彈二級(jí)飛行結(jié)束時(shí)的飛行程序角；tk3為自由段結(jié)束時(shí)刻即末修級(jí)點(diǎn)火時(shí)刻。

而后在末修級(jí)點(diǎn)火時(shí)刻tk3即彈道最高點(diǎn)，末修級(jí)點(diǎn)火實(shí)現(xiàn)微衛(wèi)星增速入軌。

2.2 約束條件

衛(wèi)星發(fā)射彈道優(yōu)化的約束條件包含微分方程約束、路徑約束和自由端結(jié)束狀態(tài)約束等。

路徑約束包括動(dòng)壓約束[11]和過載約束[12]等。具體表示如下：

(15)

式中：的q和ny分別為動(dòng)壓和過載；qmax和nymax分別為動(dòng)壓約束最大值和法向過載約束最大值。

自由段結(jié)束狀態(tài)約束即末修級(jí)點(diǎn)火時(shí)刻約束，指的是末修級(jí)點(diǎn)火時(shí)衛(wèi)星及末修級(jí)的位置與速度狀態(tài)約束。形式如下：

(16)

式中：Θtk3為tk3時(shí)刻即末修級(jí)點(diǎn)火時(shí)刻導(dǎo)彈的當(dāng)?shù)貜椀纼A角；Θmax為當(dāng)?shù)貜椀纼A角的限定值；Htk3為tk3的軌道高度；Htar為目標(biāo)軌道的軌道高度；Dev為軌道高度偏差限定值。

2.3 優(yōu)化變量設(shè)計(jì)

本文研究的是利用經(jīng)典型號(hào)的導(dǎo)彈改裝后搭載發(fā)射小型衛(wèi)星的彈道優(yōu)化問題，整體設(shè)計(jì)彈道時(shí)需要優(yōu)化的變量多，直接得到滿足所有內(nèi)點(diǎn)約束的全局最優(yōu)解難度較大，因此合理的設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)至關(guān)重要，本文對(duì)目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)主要包括以下幾步：

由2.1節(jié)分析可得，衛(wèi)星發(fā)射彈道優(yōu)化的變量為

X= (x1,x2,x3,x4,x5,x6)T=

(17)

式中：x1，x2對(duì)應(yīng)的是一級(jí)飛行程序轉(zhuǎn)彎控制參數(shù)；x3，x4，x5，x6對(duì)應(yīng)的是二級(jí)飛行轉(zhuǎn)彎控制參數(shù)。

2.4 目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)

選擇末修級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)刻的速度vf作為發(fā)射彈道優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，即

F(X)=min{1/vf(X)}.

(18)

3 優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

遺傳算法(genetic algorithms，GA)是一種基于基因遺傳機(jī)制和自然選擇的尋優(yōu)算法[13]，其具體步驟包括：初代群體確立、求解適應(yīng)度、依照適者生存原則和一定概率選擇優(yōu)良個(gè)體、在優(yōu)良個(gè)體中隨機(jī)交叉和變異后生成下一代群體，按照此法，群體逐代進(jìn)化直至達(dá)到適應(yīng)度要求或者滿足進(jìn)化代數(shù)要求便終止。

該算法的基本步驟如下：

(1) 種群初始化

(2) 適應(yīng)度評(píng)價(jià)

運(yùn)行彈道程序，計(jì)算各個(gè)種群的適應(yīng)度值，使用輪盤賭法作為選擇算子對(duì)這些個(gè)體進(jìn)行排序篩選。

(3) 交叉

用A，B和A′，B′分別代表父代和子代的個(gè)體，運(yùn)用下列方法進(jìn)行交叉操作：

(19)

如果A′(B′)R，則A′(B′)=R。

(4) 變異過程

用C和C′分別表示父代和子代的個(gè)體，γ為(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，k∈[0,1]為變異系數(shù)，U(0,1)為隨機(jī)產(chǎn)生的整數(shù)0或1。

(5) 生成新一代種群

若滿足迭代次數(shù)要求便輸出最優(yōu)解，否則繼續(xù)上面的操作。

該算法的優(yōu)化流程如圖1所示。

4 仿真計(jì)算與結(jié)果分析

以經(jīng)典型號(hào)導(dǎo)彈為例，利用遺傳算法研究小衛(wèi)星發(fā)射彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

(1) 參數(shù)設(shè)置

取發(fā)射點(diǎn)的大地經(jīng)度Lf等于110.27°，取發(fā)射點(diǎn)的大地經(jīng)度Bf等于33.04°，發(fā)射點(diǎn)高程為500 m；發(fā)射方位角10.425 8°。目標(biāo)軌道定位450 km，當(dāng)?shù)貜椀纼A角限定值Θmax為1°。種群規(guī)模取40，進(jìn)化代數(shù)取100，交叉概率取0.6，變異概率取0.01。

(2) 結(jié)果分析

給定后話變量的取值范圍即滿足其控制約束和過載約束，基于遺傳算法進(jìn)行彈道優(yōu)化，最終得到優(yōu)化變量的準(zhǔn)最優(yōu)結(jié)果，如表1所示。

表1 優(yōu)化變量的結(jié)果

地心大地直角坐標(biāo)系下衛(wèi)星發(fā)射導(dǎo)彈彈道如圖2所示。導(dǎo)彈飛行的高度隨時(shí)間變化曲線如圖3所示。導(dǎo)彈當(dāng)?shù)貜椀纼A角隨時(shí)間變化曲線如圖4所示。飛行程序角隨時(shí)間變化曲線如圖5所示。導(dǎo)彈速度隨時(shí)間變化曲線如圖6所示。仿真100代其適應(yīng)度函數(shù)收斂曲線如圖7所示。

由圖1所示彈載衛(wèi)星發(fā)射的軌道。由圖7可見其適應(yīng)度收斂曲線，遺傳算法平均耗時(shí)2 782 s，搜索時(shí)間較快。

由圖5所示彈載衛(wèi)星發(fā)射的主動(dòng)段的程序角。與傳統(tǒng)的彈道導(dǎo)彈的主動(dòng)段程序角[14]相比轉(zhuǎn)彎速率更快，但并沒有很大的差別而且滿足其過載約束，進(jìn)一步論證了將現(xiàn)有彈道導(dǎo)彈改裝成為衛(wèi)星發(fā)射運(yùn)載器的可行性。

由圖3,4,6可見，導(dǎo)彈的飛行的姿態(tài)和速度隨時(shí)間變化而變化，主動(dòng)段按照優(yōu)化結(jié)果程序轉(zhuǎn)彎，在主動(dòng)段結(jié)束時(shí)達(dá)到速度最大值，而后進(jìn)入自由段飛行，軌道高度不斷增高，自由段開始當(dāng)?shù)貜椀纼A角隨速度和位置變化而變化，本文優(yōu)化目標(biāo)為當(dāng)?shù)貜椀纼A角為零時(shí)的速度最大即當(dāng)?shù)貜椀纼A角為0時(shí)的速度最大。案例現(xiàn)實(shí)當(dāng)?shù)貜椀纼A角為0時(shí)速度達(dá)到6 000多m/s，處于臨界入軌狀態(tài)，而后末修發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火補(bǔ)充差速度，差速度計(jì)算方法由文獻(xiàn)[15]提供，最終將小衛(wèi)星推達(dá)入軌條件。

如圖8所示，設(shè)定不同目標(biāo)軌道高度下的末速度，隨著目標(biāo)軌道高度的不同能夠達(dá)到的末速度也不同，在目標(biāo)軌道高度設(shè)置為300～400 km時(shí)末速度為5 400 m/s左右；在目標(biāo)軌道450 km左右達(dá)到末速度最大值6 100 m/s 左右，而后末速度隨目標(biāo)軌道的高度變高而變小。

5 結(jié)論

本文針對(duì)彈載入軌小衛(wèi)星的彈道優(yōu)化計(jì)問題，主要工作和研究結(jié)論如下：

(1) 本文建立了利用彈道導(dǎo)彈改裝后發(fā)射小衛(wèi)星的彈道優(yōu)化模型。基于彈道優(yōu)化模型，本文設(shè)計(jì)了衛(wèi)星發(fā)射的彈道飛行程序。

(2) 在多約束、多階段彈道飛行程序的基礎(chǔ)上，以衛(wèi)星能夠精確入軌作為目標(biāo)，利用遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解，得出路徑約束和末端約束下的優(yōu)化變量最優(yōu)解。

(3) 根據(jù)優(yōu)化變量最優(yōu)解，仿真得出衛(wèi)星發(fā)射的發(fā)射軌道以及衛(wèi)星入軌后的空間軌道。

(4) 本文論證了將末型號(hào)廢舊導(dǎo)彈加裝小衛(wèi)星和末修級(jí)能夠發(fā)射衛(wèi)星的可行性，并提出彈載衛(wèi)星發(fā)射的基礎(chǔ)方案。

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