田攀 ，周航 ，尹鋒 ，李建斌

(1. 重慶大學 土木工程學院，重慶，400045；2. 重慶大學 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室，重慶，400045)

圓柱孔擴張理論自1972年VESIC[1]將其用于樁基承載力問題之后，便在巖土工程領(lǐng)域包括土體原位試驗、隧道開挖、錨桿和樁基礎(chǔ)承載力等實際問題中得到了廣泛的應用[2]。BUTTERFIED等[3]提出了平面應變條件下的柱孔擴張理論；蔣明鏡等[4]基于統(tǒng)一強度理論和體積平衡原理，研究了應變軟化Tresca材料的擴孔問題；賈尚華等[5]研究了砂土中柱孔擴孔理論中的擴孔壓力與擴孔半徑分布分析；肖昭然等[6?7]研究了飽和土體中圓柱孔擴張問題的彈塑性解析解；鄒金峰[8]基于塑性力學大變形理論，推導了柱孔和球孔擴張彈塑性解析解，并利用該解析解計算了飽和土體的劈裂灌漿壓力；章定文等[9?11]研究了不同初始條件下的柱孔擴張彈塑性解析解。在實際工程問題中，常見的飽和軟黏土土在擴孔作用下通常表現(xiàn)為Tresca材料特性[12]。EINAV等[13]分析樁體貫入試驗中的貫入阻力發(fā)現(xiàn)：由于樁體剛度和周圍土體剛度相差巨大，從而強大的擠壓作用將會使樁周土體實際的應力應變關(guān)系與理想的Tresca應力應變關(guān)系有差別，呈現(xiàn)出時間效應；DAYAL等[14]根據(jù)拉伸試驗得出土體的峰值強度比土體強度高5%~20%，呈現(xiàn)出應變率效應；梁發(fā)云等[15]研究了Tresca材料考慮應變軟化特性的擴孔解析解。基于以上分析可知，雖然基于Tresca屈服準則的擴孔理論有很多，但是目前的解答均未考慮土體的率效應和土體強度軟化作用，為此，本文作者提出一種考慮土體應變率和強度軟化的擴孔理想彈塑性解。

1 理論模型的建立

1.1 基本假設(shè)

1)圓孔周圍土體為各向同性的飽和土體，土體初始各向同性應力為σ0。

2)彈性區(qū)土體應力應變關(guān)系服從胡克定律。

3)柱孔擴張服從平面應變。

4)對于不排水的飽和黏土，在孔擴張過程中，土體的體積應變始終為0。

5)孔洞邊界變化率均勻變化。

圖1所示為無限飽和土體中柱孔擴張示意圖。

1.2 方程的建立

1.2.1 塑性區(qū)應力

柱孔擴張理論下的應力平衡方程為

式中：σr和σθ分別為極坐標系下的徑向應力以及切向應力；r為塑性區(qū)半徑。

理想彈塑性Tresca屈服條件為

式中：su為不排水抗剪強度。

將式(2)代入式(1)，平衡方程改寫為

圖1 柱孔擴張Fig. 1 Cylindrical cavity expansion

根據(jù)基本假定，在塑性區(qū)無體積變化，即

將式(4)兩邊同時對時間求導得

式中：r0為初始塑性區(qū)半徑；a0和a分別為初始圓孔半徑和擴孔后圓孔半徑，ZHOU等[16]指出貫入儀器直徑為初始圓孔直徑，而貫入儀器直徑為40~150 mm，故取初始圓孔直徑a0=100 mm；和分別為徑向坐標的變化率和孔洞邊界的變化率，取

在塑性區(qū)的環(huán)向應變同時符合指數(shù)原則：

將式(4)和(5)代入式(6)得

EINAV等[13]指出土體抗剪強度會受到土體應變率和土體強度退化的影響，存在如下關(guān)系：

式中：ξ為在高斯點處的累積塑性剪應變；su0為初始剪切強度；μ為應變率系數(shù)，且BISCONTIN等[17]指出μ為0.05~0.30；為最大剪應變率的絕對值；為參考點剪切應變率；ξ95和δrem為強度軟化系數(shù)，其中δrem為土體靈敏度的倒數(shù)；ξ95為土體強度退化到95%的累積塑性剪應變。

累積塑性剪應變ξ為

由于孔擴張過程中土體不排水(體應變?yōu)?)，從而有εr=-εθ，因此，ξ可以寫成

將式(4)和(6)代入式(10)得

在彈塑性交界處塑性剪應變ξb為

由式(12)可得：塑性區(qū)半徑rb為

另外，最大剪切應變率同樣存在如下關(guān)系：

將式(7)代入式(14)化簡得

將式(11)和(15)代入式(8)，su可改寫為

當r=rb時，將式(13)代入式(16)得彈塑性交界處su,b為

由式(17)可以確定彈塑性區(qū)交界處土體強度su,b，從而根據(jù)方程(13)可以確定塑性區(qū)半徑。

將式(16)代入式(3)后，積分變形可得

式中：i為正整數(shù)；A為常數(shù)。

當r=a時，由式(18)可得擴孔后的孔壁壓力σa為

將方程(16)代入方程(19)，可得σa：

式(20)可以通過數(shù)值積分獲得解答。

由式(2)和(18)可得塑性區(qū)應力分布：

式中：a≤r≤rb。

式(21)和(22)同樣可以通過數(shù)值積分獲得解答。

1.2.2 彈性區(qū)應力

根據(jù) CARTER等[18]對于不排水的飽和黏土中的擴張理論，其彈性解為：

2 理論模型的驗證

SHUTTLE[19]基于 Tresca屈服準則提出了一種理想柱孔擴張彈塑性解，為了驗證本文解的正確性，取μ=0，δrem=1，即在不考慮應變率和強度軟化下，本文解與Shuttle解對比結(jié)果如圖2和圖3所示。從圖2和圖3可知：在不考慮應變率和強度軟化情況下，本文孔壁正應力以及應力沿徑向分布解析解與 Shuttle解相吻合，驗證了本文解的合理性。

從圖 2可以看出：當μ=0.3，δrem=0.2，ξ95=50，G/su0=330，即考慮應變率和強度軟化影響時，由于受應變的影響，歸一化的柱孔孔壁壓力比未考慮時的要大，且孔壁壓力隨著擴孔半徑的增加，孔壁壓力可分為快速變化區(qū)、緩變區(qū)和衰減區(qū)3個區(qū)域：當擴孔半徑小于1.5倍初始半徑時，孔壁壓力處于快速變化區(qū)，當擴孔半徑超過 2.5倍初始半徑時，由于受強度軟化參數(shù)的影響，孔壁壓力處于衰減區(qū)，其余區(qū)域?qū)儆诰徸儏^(qū)，其孔壁壓力隨著擴孔半徑的增加緩慢變化。從圖3還可得到：離孔壁越遠，徑向應力越小，切向應力先減小后增加再減小，在塑性區(qū)其應力方向會發(fā)生改變，考慮應變率和強度軟化時的彈塑性分界位置位于未考慮應變率和強度軟化的左側(cè)，說明考慮應變率和強度衰減后，其塑性區(qū)范圍將會減小，同時在塑性區(qū)范圍內(nèi)，其徑向應力和切向應力的強度變化率較未考慮時的要大。而在彈性區(qū)，考慮應變率和強度軟化的曲線與未考慮時的重合。由以上分析可知：土體應變和強度軟化將會影響擴孔理想彈塑性解析解。

圖2 歸一化的孔壁壓力隨著擴孔半徑的變化Fig. 2 Variation of normalized cylindrical cavity pressure with cavity expansion radial

圖3 歸一化的徑向應力和切向應力沿著徑向分布Fig. 3 Normalized radial and circumference stress along radial distance

3 參數(shù)分析

3.1 剛度系數(shù)G/su0對擴孔彈塑性解的影響

圖4所示為歸一化的圓柱孔壁壓力隨著剛度系數(shù)的變化，其中，μ=0.15，δrem=0.2，ξ95=10。從圖 4可以看出：隨著擴孔半徑增加，孔壁壓力先快速增加，然后緩慢變化，最后當擴孔半徑超過初始半徑的3倍時，孔壁應力保持不變；同時，隨著剛度系數(shù)G/su0的增加，孔壁應力將會變大，且變化幅度呈現(xiàn)減小趨勢。由于剛度系數(shù)反映土體抵抗剪切變形能力，說明土體抗剪強度將會對考慮應變率和強度軟化的擴孔孔壁應力造成影響。

圖4 歸一化的孔壁壓力隨著G/su0的變化Fig. 4 Variation of normalized cylindrical cavity pressure with G/su0

3.2 應變率系數(shù)μ對擴孔彈塑性解的影響

歸一化的孔壁壓力、徑向應力和切向應力分布隨μ的變化分別如圖 5和圖 6所示，其中，δrem=0.2，ξ95=50，G/su0=330。從圖 5可得：隨著應變率系數(shù)μ的增加，孔壁壓力也相應增大，孔壁壓力的增長幅度與應變率系數(shù)μ的增長幅度基本一致，同時，當應變率系數(shù)μ=0.3時，當擴孔半徑超過2.5倍初始半徑時，其位于衰減區(qū)的孔壁應力呈現(xiàn)下降趨勢，即孔壁處應力呈現(xiàn)應力軟化現(xiàn)象。另外，從圖5還可以得出：應變率系數(shù)μ越大，孔壁處強度軟化現(xiàn)象越明顯，且只有當擴孔半徑需要超過2.5倍初始半徑時，才能夠在塑性區(qū)呈現(xiàn)出這種現(xiàn)象。

圖5 歸一化的孔壁壓力隨著μ的變化Fig. 5 Variation of normalized cylindrical cavity pressure with μ

圖6 歸一化的徑向、切向應力分布隨μ的變化Fig. 6 Variation of normalized radial and circumference stress with μ along radial distance

從圖6可以得出：應變率系數(shù)μ越大，其徑向應力和切向應力的彈塑性邊界越靠近孔壁，即塑性區(qū)范圍將會越小。同時，分析塑性區(qū)應力可得：由于應變率系數(shù)μ將會提高孔壁峰值應力，且μ越大，孔壁塑性區(qū)相同位置處，其徑向應力和切向應力越大。分析塑性區(qū)應力變化率可得：μ越大，塑性區(qū)應力降低越快，即塑性區(qū)強度軟化越顯現(xiàn)，而位于彈性區(qū)的徑向應力和切向應力并不會受到應變率系數(shù)μ的影響。

3.3 強度軟化系數(shù)ξ95和δrem對擴孔彈塑性解的影響

圖7和圖8所示分別為歸一化的徑向應力和切向應力對強度軟化系數(shù)ξ95和δrem的影響，其中，μ=0.2，G/su0=330。從圖7可知：離孔壁越遠處，徑向應力越小，而切向應力先減小，后增大，再減小，同時切向應力在塑性區(qū)方向會發(fā)生改變。而隨著ξ95增大，在相同位置處，其應力也會變大。從圖7還可以看出：當ξ95超過1時，強度軟化系數(shù)ξ95對于應力沿著徑向分布的影響很小。ξ95越大，塑性區(qū)越小，但減小的弧度較小。由于ξ95越小，則累計塑性剪應力越小，也就是發(fā)生剪切變形越小，土體呈現(xiàn)壓縮變形，即造成在孔壁附近的切向應力較小，而徑向應力較大。此外，由于強度軟化系數(shù)越大，塑性區(qū)土體強度軟化越快，從而造成應力下降速度越快，而土體屈服強度在不變的情況下，因此，會造成塑性區(qū)半徑越小，從而越靠近孔壁。

從圖8可以看出：強度軟化系數(shù)越大δrem越大，其孔壁應力越大，同時塑性區(qū)范圍越小，應力減小得越快，強度軟化現(xiàn)象表現(xiàn)得更加明顯，同時δrem增長得越快，其對于應力分布的影響越小。由于δrem與土體靈敏度呈現(xiàn)倒數(shù)關(guān)系，從而可以推斷在柱孔擴張過程中，土體靈敏度將會影響土體中應力沿著徑向分布。

圖7 歸一化的徑向應力和切向應力分布隨ξ95的變化Fig. 7 Variation of normalized radial and circumference stress with ξ95 along radial distance

圖8 歸一化的徑向應力和切向應力分布隨δrem的變化Fig. 8 Variation of normalized radial and circumference stress with δrem along radial distance

4 結(jié)論

1)剛度系數(shù)G/su0越大，孔壁應力越大，應變率效應越明顯。

2)應變率系數(shù)μ越大，擴孔后，孔壁應力越大，塑性區(qū)范圍越小。應變率系數(shù)μ越大，強度軟化現(xiàn)象越明顯，同時，只有當擴孔半徑超過初始半徑2.5倍時，孔壁應力才會表現(xiàn)強度軟化現(xiàn)象。

3)強度軟化系數(shù)ξ95越大、塑性累積應變越大，強度衰減得越快，而強度軟化系數(shù)δrem越大，土體靈敏度越小，強度軟化現(xiàn)象越明顯。

[1]VESIC A S. Expansion of cavities in infinite soil mass[J].Journal of Soil Mechanics and Foundations Division, 1972,98(3): 265?290.

[2]YU H S. Cavity expansion methods in geomechanics[M]. A H Dordrecht: Kluwer Academic, 2000: 16?18.

[3]BUTTERFIED R, BANERJEE P K. Advance geotechnical analyses[M]. London: Elsevier Applied Science, 1991.

[4]蔣明鏡, 沈珠江. 考慮材料應變軟化的柱形孔擴張問題[J].巖土工程學報, 1995, 17(4): 10?19.JIANG Mingjing, SHEN Zhujiang. Expansion of cylindrical cavity of materials with strain-softening behavior[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1995, 17(4): 10?19.

[5]賈尚華, 趙春風, 趙程. 砂土中柱孔擴張問題的擴孔壓力與擴孔半徑分析[J]. 巖石力學與工程學報, 2015, 34(1): 182?188.JIA Shanghua, ZHAO Chunfeng, ZHAO Cheng. Analysis of expanded radius and internal expanding pressure of cylindrical hole[J]. Rock and Soil Mechanics, 2015, 34(1): 182?188.

[6]肖昭然, 張昭, 杜明芳. 飽和土體小孔擴張問題的彈塑性解析解[J]. 巖土力學, 2004, 25(9): 1373?1378.XIAO Zhaoran, ZHANG Zhao, DU Mingfang. An elastoplastic closed-form approach of approach of cavity expansion in saturated soil based on modified Cam clay model[J]. Rock and Soil Mechanics, 2004, 25(9): 1373?1378.

[7]綦春明, 莫斌, 聶春龍, 等. 飽和土體柱形擴孔時大變形不排水統(tǒng)一解析解[J]. 巖石力學與工程學報, 2009, 28(4): 827?833.QI Chunming, MO Bin, NIE Chunlong, et al. Unified analytical solution for cylindrical cavity expansion in saturated soil under large deformation and undrained conditions[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2009, 28(4): 827?833.

[8]鄒金峰, 徐望國, 羅強, 等. 飽和土中劈裂灌漿壓力研究[J].巖土力學, 2008, 29(7): 1802?1806.ZOU Jinfeng, XU Wangguo, LUO Qiang, et al. Study on grouting pressure of frasture grouting in saturated soil[J]. Rock and Soil Mechanics, 2008, 29(7): 1802?1806.

[9]章定文, 劉松玉, 顧沉穎. 各向異性初始應力狀態(tài)下圓柱孔擴張理論彈塑性分析[J]. 巖土力學, 2009, 30(6): 1631?1634.ZHANG Dingwen, LIU Songyu, GU Chenying. Elastoplastic analysis of cylindrical cavity expansion with anisotropic initial stress[J]. Rock and Soil Mechanics, 2009, 30(6): 1631?1634.

[10]ZHOU H, LIU H, KONG G, et al. Analytical solution of undrained cylindrical cavity expansion in saturated soil under anisotropic initial stress[J]. Computers and Geotechnics, 2014,55: 232?239.

[11]ZHOU H, KONG G, LIU H, et al. A semi-analytical solution for cylindrical cavity expansion in elastic–perfectly plastic soil under biaxial in situ stress field[J]. Géotechnique, 2016, 66(7):584?595.

[12]羅嗣海, 侯龍清, 胡中雄, 等. 預鉆孔孔徑對部分擠土樁擠土效應的影響研究[J]. 巖土力學, 2002, 23(2): 222?224.LUO Sihai, HOU Longqin, HU Zhongxiong, et al. Study on the influence of the diameter of pre-driven borehole on soil-displacement effect of partly soil-displaced piles[J]. Rock and Soil Mechanics, 2002, 23(2): 222?224.

[13]EINAV I, RANDOLPH M F. Combining upper bound and strain path methods for evaluation penetration resistance[J].International Journal for Numerical Methods in Engineer, 2005,63(14): 1991?2016.

[14]DAYAL U, ALLEN J H. The effect of penetration rate on the strength of remolded clay and sand samples[J]. Canadian Geotechnical Journal, 1975, 12(3): 336?348.

[15]梁發(fā)云, 陳龍珠. 應變軟化 Tresca材料中擴孔問題解答及其應用[J]. 巖土力學, 2004, 25(2): 261?265.LIANG Fayun, CHEN Longzhu. Analytical solution to cavity expansion in strain-softening soils with Tesca yield criterion and its applications[J]. Rock and Soil Mechanics, 2004, 25(2):261?265.

[16]ZHOU H, RANDOLPH M F. Computational techniques and shear band development for cylindrical and spherical penetrometers in strain-softening clay[J]. International Journal of Geomechanics, 2007, 7(4): 287?295.

[17]BISCONTIN G, PESTANA J M. Influence of peripheral velocity on vane shear strength of an artificial clay[J]. Geotechnical Testing Journal, 2001, 24(4): 423?429.

[18]CARTER J P, BOOKER J R, YEUNG S K. Cavity expansion in cohesive frictional soils[J]. Géotechnique, 1986, 36(3): 349?358.

[19]SHUTTLE D. Cylindrical cavity expansion and contraction in Tresca soil[J]. Géotechnique, 2007, 57(3): 305?308.