朱冬新

[摘 要] 初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的培育，面臨著“可操作性”的挑戰(zhàn). 基于基本的理論，構(gòu)建“三棱柱”模型，可以清晰地表達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的六個基本素養(yǎng)的關(guān)系，并在具體教學(xué)中予以體現(xiàn).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；學(xué)科核心能力；模型；應(yīng)用

一線數(shù)學(xué)教師對于核心能力的培育最關(guān)注的問題是“可操作性”的問題，如果核心能力易于理解、容易上手，那核心能力的培育自然就不是問題，反之如果對其理解生澀，到了課堂上不知道如何著力，那核心能力的培育自然也就是一句空話. 初中數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)性學(xué)科，數(shù)學(xué)課程在基礎(chǔ)教育課程中也有著較高的被關(guān)注度，某種程度上數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的培育影響著超越數(shù)學(xué)課程范圍的更多學(xué)科，甚至還會影響到整個基礎(chǔ)教育的核心能力的推進(jìn)情況——此前一輪課改中關(guān)于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的爭論，或可說明這一點(diǎn).

基于這個思路，筆者作為一個普通的數(shù)學(xué)教師，也在探究核心能力培育的可操作性，以盡一位普通教師的綿薄之力. 筆者探究的思路就是基于模型建立對數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的概括性認(rèn)識，基于模型探究核心能力培育的基本途徑. 本文即對此兩個話題展開討論，并談?wù)劰P者的實(shí)踐反思.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的模型建構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力是核心素養(yǎng)的下位概念，當(dāng)前關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的理解是從其六個基本要素來進(jìn)行的. 這六個基本要素是：運(yùn)算求解、推理論證、空間想象、數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)處理（又稱六項(xiàng)基本素養(yǎng)）. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要實(shí)現(xiàn)這六個基本能力的培育，首先要弄清這六者之間的關(guān)系，及其在具體的教學(xué)中是如何體現(xiàn)的. 這里筆者以“勾股定理及逆定理”的教學(xué)為例，先來進(jìn)行一個分析.

勾股定理描述的是直角三角形的邊長之間的關(guān)系，這本身是數(shù)形結(jié)合、以數(shù)述形的典型例子，有數(shù)形結(jié)合的思想蘊(yùn)含其中. 在實(shí)際教學(xué)中，教師會通過情境的創(chuàng)設(shè)，如畢達(dá)哥拉斯研究朋友家地面磚的圖形等，來讓學(xué)生對這些地磚進(jìn)行抽象——這里有一個簡單的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)表達(dá)過程（相應(yīng)的在利用勾股定理解決實(shí)際問題的時候，也有將實(shí)際問題抽象成直角三角形的過程，也是數(shù)學(xué)表達(dá)）；在得出勾股定理的過程中，首先面臨著推理工具的選擇問題，通常情況下首次證明會利用與直角三角形三邊相關(guān)的正方形的面積關(guān)系去證明，而這本身并非最直接的工具，能否想到用面積關(guān)系來證明，考驗(yàn)著核心能力的另一個因素——空間想象（準(zhǔn)確地說，這里主要體現(xiàn)的是對數(shù)學(xué)解題工具選擇的直覺能力，可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)直觀）；而在尋找到面積這一工具之后，證明得出三邊關(guān)系的過程，就是一個推理論證過程，顯然體現(xiàn)的是推理論證能力. 當(dāng)然，由勾股定理得出勾股定理逆定理的過程，更是體現(xiàn)著推理論證的重要過程，在該知識的教學(xué)中，教師的重心就應(yīng)當(dāng)落在推理論證這個層面之上；利用勾股定理及其逆定理解題的過程中，無論是數(shù)學(xué)習(xí)題還是實(shí)際問題，都會涉及數(shù)學(xué)處理與運(yùn)算求解，這是這兩個要素的體現(xiàn)，尤其值得一提的是，數(shù)學(xué)處理在勾股定理及逆定理的運(yùn)用中非常明顯，“3，4，5”“5，12，13”等勾股數(shù)必須能夠成為學(xué)生的一種數(shù)學(xué)直覺，看到它們就能夠想到與之對應(yīng)的三角形是直角三角形，這是數(shù)學(xué)處理變成一種直覺的體現(xiàn).

根據(jù)以上分析，在勾股定理及逆定理的教學(xué)與應(yīng)用中，可以說完全體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的六個要素，而再從這六個要素的體現(xiàn)來看，顯然數(shù)學(xué)表達(dá)、推理論證與數(shù)學(xué)建模在其中起著支撐作用，而另外三個要素則在這個層面的基礎(chǔ)上起著完善學(xué)生思維、體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特征的作用. 因此，筆者以為初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的模型可以是這樣的（如圖1）：數(shù)學(xué)表達(dá)、推理論證與數(shù)學(xué)建模形成了代表核心能力的三棱柱的三個支點(diǎn)，對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，構(gòu)建出了這三個支點(diǎn)，核心能力的培育基本上也就全面了（根據(jù)史寧中教授的研究，這三者其實(shí)是可以包括另外三個要素的）.

在這個模型中，一共9條邊意味著任意兩個核心之間都存在聯(lián)系，而在具體知識的教學(xué)中，核心能力的培育有可能是以“點(diǎn)”的形式存在的，即只有一個基本素養(yǎng)得到了培育；有可能是以“線”的形式存在的，還有可能是以“面”或“體”的形式存在的. 考慮到數(shù)學(xué)知識的教學(xué)為核心能力的培育提供了基礎(chǔ)與情境，在實(shí)際教學(xué)不可為了追求核心能力的培育，而刻意地將“點(diǎn)”拓成“線”，將“線”拓成“面”.

基于核心能力模型的教學(xué)實(shí)踐

通過以上模型，可以比較清晰地知道數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的六個基本素養(yǎng)之間的關(guān)系，那到了具體的實(shí)踐過程中，實(shí)際教學(xué)如何保證核心能力的培育得以實(shí)現(xiàn)呢？這里不妨將上面所舉的“勾股定理的逆定理”的教學(xué)為例來詳細(xì)說明.

首先，讓學(xué)生回憶勾股定理的題設(shè)與結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生對勾股定理描述直角三角形作為“形”的數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識，同時回顧從題設(shè)到結(jié)論的推理論證過程. 然后提出問題：如果一個三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2=c2的關(guān)系，那么這個三角形是不是就是直角三角形呢？為了強(qiáng)化學(xué)生對此問題的認(rèn)識，教師可以借助于古埃及人畫直角三角形的方法——將一根長繩打上等距的12個結(jié)，然后構(gòu)成三邊分別是3，4，5個結(jié)的三角形. 這個具體情境實(shí)際上呼應(yīng)了上面的問題，同時借助于具體的數(shù)據(jù)，利用學(xué)生對勾股數(shù)的直覺來更好地認(rèn)識勾股定理逆定理證明的題設(shè)與條件.

其次，證明勾股定理的逆定理. 具體過程交給學(xué)生，要求學(xué)生根據(jù)問題，在自己的草稿紙上畫出圖形，寫出題設(shè)和結(jié)論. 這個過程對于優(yōu)生而言通常問題不大，但對于中等生及其學(xué)困生而言，會存在一些問題，而解決這些問題的過程，就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的基本素養(yǎng)得以體現(xiàn)的過程（實(shí)際教學(xué)中可以將這些過程呈現(xiàn)給所有的學(xué)生，以讓優(yōu)生也能看到其中可能存在的思維不足）. 如，有學(xué)生的思路先是根據(jù)具體數(shù)值來畫三角形的，但他畫的是任意三角形，然后也在三邊上標(biāo)了3，4，5，這顯然是數(shù)據(jù)處理能力存在問題，或者說沒有良好的空間想象，甚至可以說是缺乏基本的推理能力（當(dāng)然這里的推理是合情推理）——都已經(jīng)指明了要證實(shí)直角三角形，為什么還畫一個一般三角形呢？又比如說有學(xué)生在畫圖的時候在三角形的實(shí)際直角處標(biāo)了一個直角符號，這個細(xì)節(jié)是否值得研究呢？顯然是搞亂了題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系，是需要強(qiáng)調(diào)的. 當(dāng)然，這個環(huán)節(jié)中的核心是構(gòu)造一個直角邊分別是a和b的直角三角形，然后先用勾股定理證實(shí)其斜邊長為c，然后再利用三角形全等證出其為直角三角形.

最后，引導(dǎo)學(xué)生反思這一學(xué)習(xí)過程，包括從題設(shè)與結(jié)論的描述，到利用全等三角形來作為證明工具，再到逆定理的具體表述. 在反思的過程中，教師可以基本核心能力為主線，比如說題設(shè)與結(jié)論的描述運(yùn)用了推理論證；對細(xì)節(jié)的強(qiáng)調(diào)幫學(xué)生理清了邏輯關(guān)系，從而也就強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)處理與數(shù)學(xué)直觀的必要性；對全等三角形證明工具的選擇來構(gòu)造一個直角三角形，這是證明的核心過程，也是勾股定理描述的直角三角形關(guān)系模型與空間想象共同作用的產(chǎn)物. 總之，這個過程中，核心能力的體現(xiàn)是充分的，同時又是不突兀的，可以視作是一個有效的核心能力培育過程.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力培育的反思

數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的培育尚處于起步階段，迅速上手、高效實(shí)施是核心能力培育的基本要求. 根據(jù)有限的實(shí)踐去反思數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的培育，筆者以為還是要遵循兩個基本原則：一是要保證自己對核心能力的理解是清晰的. 坦率地說，完全從理論層面建立起復(fù)雜的理解，對于一線教師來說是有困難的，是很難實(shí)現(xiàn)的. 但要保證自己所懂的是正確的，譬如數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的六個基本能力，這個理解不能有偏差. 而基于已有的理解去構(gòu)建新的理解，需要從理論邏輯與實(shí)踐兩個方面去進(jìn)行. 筆者所構(gòu)造的正三棱柱模型固然粗糙，但其可以基本上明晰六個核心能力之間的關(guān)系，可以反映六個核心能力之間的不同的重要性及互相影響，因此至少是具有初步的應(yīng)用價值的. 二是要在實(shí)踐當(dāng)中總結(jié)核心能力培育思路. 事實(shí)證明，只有在教學(xué)中對核心能力進(jìn)行連續(xù)不斷的思考，才能有新的認(rèn)識生成，這意味著在教學(xué)中，教師要關(guān)注數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建，要關(guān)注學(xué)生的考試成績，同時也要關(guān)注知識構(gòu)建、問題解決、教學(xué)評價過程中學(xué)生的核心能力是否得到有效培育的問題，又或者說需要思考如何更好地解決這些問題.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有通過持續(xù)不斷的反思，才能讓反思具有深刻性，才能讓核心能力成為教師教學(xué)研究的一條主線. 而反思的結(jié)果，必然是讓教師心中的關(guān)于學(xué)科核心能力的模型更加清晰，從而在增強(qiáng)了操作性的前提下，更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的培育.