環(huán)肋橢圓柱殼自由振動(dòng)分析的一種解析法

方 敏， 朱 翔,2， 李天勻,2， 胡曉芳

(1. 華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074； 2. 船舶與海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074； 3. 中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430064)

長(zhǎng)期以來(lái)，圓柱殼結(jié)構(gòu)在工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，由于肋骨的加強(qiáng)作用,關(guān)于環(huán)肋柱殼的研究具有重要意義。駱東平等[1]基于Flügge殼體理論和有限差分法系統(tǒng)研究了環(huán)肋增強(qiáng)柱殼的自由振動(dòng)特性；梁斌等[2]在Flügge理論的基礎(chǔ)上，考慮流體的影響，分析了水下環(huán)肋圓柱殼的固有頻率。

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，橢圓柱殼也被應(yīng)用于工程實(shí)際；另一方面，針對(duì)原設(shè)計(jì)的圓柱殼結(jié)構(gòu)，制造誤差[3]，甚至使用環(huán)境如深水壓力[4]等因素，也會(huì)使理想圓柱殼結(jié)構(gòu)的圓形截面產(chǎn)生不可忽略的橢圓度等偏差。與圓柱殼相比橢圓柱殼的解析解或半解析解的獲取相對(duì)困難一些，因?yàn)闄E圓截面的曲率半徑是一個(gè)變量，這使得橢圓柱殼的動(dòng)力平衡方程為一個(gè)變系數(shù)的偏微分方程，難以求解。因此關(guān)于橢圓柱殼，尤其是加肋橢圓柱殼的振動(dòng)特性研究開(kāi)展的并不廣泛。Boyd等[5]基于Love和Donnell的薄殼理論對(duì)簡(jiǎn)支橢圓柱殼的自由振動(dòng)進(jìn)行了研究，并將結(jié)果與早前的兩種理論進(jìn)行了比較，指出Rayleight-Ritzs法對(duì)所有范圍的橢圓度都相當(dāng)準(zhǔn)確，但是攝動(dòng)法只在橢圓度小于0.5時(shí)是可靠的；Chen等[6]基于Sander殼體理論，采用基于Hamilton準(zhǔn)則的模態(tài)展開(kāi)法對(duì)有限長(zhǎng)橢圓柱殼的自由振動(dòng)展開(kāi)了研究，指出該方法較Fourier分析法更為方便，并就多種邊界條件對(duì)橢圓柱殼自由振動(dòng)頻率的影響進(jìn)行了分析； Armenakas等[7]基于Flügge殼體理論，討論了簡(jiǎn)支橢圓柱殼自由振動(dòng)的對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)，并對(duì)比了基于Donnell, Love, Sander殼體理論所得出結(jié)果的差異，指出不同殼體理論結(jié)果的差異隨著橢圓度的增加而增大；熊路等[8-9]基于Love-Timoshenko薄殼理論，采用波傳播法以及模態(tài)疊加法將位移模式以雙Fourier級(jí)數(shù)形式展開(kāi)，推導(dǎo)出橢圓柱殼的自由振動(dòng)方程，并求解了橢圓柱光殼自由振動(dòng)的固有頻率；Boyd等[10]運(yùn)用Rayleight-Ritzs法討論了任意邊界條件下圓與非圓柱殼加筋與否的振動(dòng)模態(tài)，并分析了環(huán)筋與縱梁對(duì)振動(dòng)的貢獻(xiàn)程度大小，指出環(huán)筋對(duì)固有頻率的影響要大于縱梁帶來(lái)的影響；鄒時(shí)智等[11]基于一類柱殼諧振控制方程呈一階常微分矩陣方程形式以及傅里葉展開(kāi)，提出了一種新矩陣方法求解兩端簡(jiǎn)支環(huán)肋加強(qiáng)的非圓柱殼在諧外力下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；Brodsky等[12]基于Love殼體理論，使用能量原理推導(dǎo)出了兩端簡(jiǎn)支的環(huán)肋加強(qiáng)橢圓柱殼的穩(wěn)定性方程，并表明橢圓柱殼穩(wěn)定性受環(huán)肋的影響類似于圓柱殼，均勻側(cè)向壓力下橢圓柱體的屈曲載荷略微超過(guò)等效圓柱體的相應(yīng)值。

本文采用Flügge殼體理論[13]，并采用剛度均攤法考慮環(huán)肋與殼體的關(guān)系，利用波傳播法將殼體位移沿周向和軸向展開(kāi)成雙Fourier級(jí)數(shù)的形式，并結(jié)合Marguerre[14]對(duì)于非圓截面曲率半徑的處理方法推導(dǎo)出了環(huán)肋橢圓柱殼的自由振動(dòng)方程。為了驗(yàn)證所建立方程和算法程序的準(zhǔn)確性，文中將環(huán)肋橢圓柱殼退化成環(huán)肋圓柱殼和橢圓柱光殼，并將兩個(gè)退化模型的計(jì)算結(jié)果與相應(yīng)參考文獻(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比分析。深入的研究了橢圓度參數(shù)ε，殼肋間距比d/mr0，以及環(huán)肋高度a1對(duì)環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率的影響。

1 研究對(duì)象

圖1 環(huán)肋橢圓柱殼幾何參數(shù)及坐標(biāo)系Fig.1 Geometric parameters and coordinate system of elliptic cylindrical shell with ring stiffeners

無(wú)量綱化坐標(biāo)為

(1)

2 環(huán)肋橢圓柱殼自由振動(dòng)理論模型

2.1 殼體自由振動(dòng)方程

由Flügge薄殼理論的基本公式出發(fā)，并考慮到橢圓截面的曲率半徑R(s)是與無(wú)量綱周向坐標(biāo)s有關(guān)的函數(shù)，可推導(dǎo)出殼體的幾何方程以及內(nèi)力表達(dá)式，并將二者帶入殼體平衡方程中，便可得到位移形式表達(dá)的環(huán)肋橢圓柱殼的自由振動(dòng)方程

(2)

式中： 矩陣[L]3×3的各元素的表達(dá)式為

2.2 橢圓截面曲率半徑及殼體位移的展開(kāi)

為了求解式(2)，需將算子Lij(i,j=1,2,3)從變系數(shù)形式轉(zhuǎn)換為易于求解的常系數(shù)形式，曲率半徑r(s)需給出具體形式，根據(jù)文獻(xiàn)[14],橢圓柱殼曲率半徑的無(wú)量綱表達(dá)形式為

(3)

式中：s為橢圓截面無(wú)量綱化的周向弧長(zhǎng)坐標(biāo)，0≤s≤2π；ε為截面的橢圓度參數(shù)，為了不產(chǎn)生負(fù)曲率，ε不能超過(guò)1，定義0≤|ε|≤1，改變?chǔ)诺恼?fù)號(hào)只是相當(dāng)于將殼體沿其對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)π/2弧度，因此，只需考慮橢圓度為正的情況，即0≤ε≤1。對(duì)于給定的長(zhǎng)短軸a,b，橢圓度參數(shù)可表達(dá)為[15]

(4)

值得注意的是，橢圓柱殼在周向的對(duì)稱軸僅有長(zhǎng)軸和短軸兩條，而圓柱殼則有無(wú)數(shù)條，故圓柱殼的對(duì)稱模態(tài)和反對(duì)稱模態(tài)的振型相同，這對(duì)橢圓柱殼并不成立。因此，對(duì)橢圓柱殼的對(duì)稱模態(tài)和反對(duì)稱模態(tài)的變化規(guī)律需要分開(kāi)討論。殼體各位移在殼體周向是以2π為周期的，將它們?cè)谳S向和周向展開(kāi)成雙Fourier級(jí)數(shù)形式。

對(duì)稱模態(tài)的展開(kāi)形式為

(5)

反對(duì)稱模態(tài)的展開(kāi)形式為

(6)

式中：ω為圓頻率；m為軸向半波數(shù);n為周向模態(tài)階數(shù)；Umn,Vmn,Wmn分別為不同m,n下殼體軸向、周向和徑向位移的Fourier系數(shù)；λm=kmr0，km為殼體的軸向波數(shù)，可根據(jù)梁函數(shù)推導(dǎo)出其近似值[16]。

將式(3)、式(5)代入平衡方程式(2)中，即可得到三個(gè)關(guān)于Umn,Vmn,Wmn沿周向模態(tài)階數(shù)n相互耦合的新的方程

(7)

進(jìn)一步考察式(7)， 其中Fourier系數(shù)關(guān)于不同周向模態(tài)階數(shù)n是相互耦合的，在數(shù)值計(jì)算時(shí)，需對(duì)周向模態(tài)階數(shù)進(jìn)行截?cái)嗵幚?。?dāng)n取有限項(xiàng)數(shù)p時(shí)，可以得到3p個(gè)線性方程，這些方程用矩陣形式表示為

(8)

式中： 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，X=[Um,1Um,3…Um,2p-1?Vm,1Vm,3…Vm,2p-1?Wm,1Wm,3…Wm,2p-1]T； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，X=[Um,0Um,2…Um,2p-2?Vm,2Vm,4…Vm,2p-2?Wm,0Wm,2…Wm,2p-2]T；M為3p階的實(shí)數(shù)方陣， 由式(7)中的系數(shù)循環(huán)而成；I為單位矩陣。

若式(8)中的X有非零解，則要求其系數(shù)矩陣行列式值為零，即

|M-Ω2I|=0

(9)

求解式(9)即可求解真空中環(huán)肋橢圓柱殼的自由振動(dòng)固有頻率。

3 橢圓柱殼自由振動(dòng)特性分析

3.1 收斂性分析及算法驗(yàn)證

計(jì)算的模型參數(shù)為：殼厚比h/r0=0.01，殼肋寬度比為b1/mr0=0.02，殼肋高度比為a1/mr0=0.04； 泊松比μ=0.3， 楊氏模量E=E1=2.06×1011Pa；邊界條件為殼體兩端簡(jiǎn)支。隨著截?cái)囗?xiàng)數(shù)p的改變，環(huán)肋橢圓柱殼自由振動(dòng)的無(wú)量綱固有頻率Ω計(jì)算結(jié)果變化，如圖2所示。計(jì)算結(jié)果收斂時(shí)對(duì)應(yīng)的截?cái)囗?xiàng)數(shù)，如表1所示。

圖2 無(wú)量綱固有頻率的計(jì)算值隨截?cái)囗?xiàng)數(shù)的變化(m=1,n=8)Fig.2 The change of the non-dimensional natural frequency versus truncated number(m=1,n=8)

L/mr0d/mr0ε0.20.40.60.81.030.6161618181830.3161618181830.1161618181810.11616181818100.11616181818200.11616181818

由圖2可知，隨著截?cái)囗?xiàng)數(shù)p的增大，環(huán)肋橢圓柱殼的無(wú)量綱固有頻率Ω的計(jì)算值最終會(huì)趨向于一個(gè)穩(wěn)定值；同時(shí)，由表1可知，在L/mr0≤20，d/mr0≤0.6的范圍內(nèi)，當(dāng)取截?cái)囗?xiàng)數(shù)p=25時(shí)，能夠保證計(jì)算結(jié)果收斂，同時(shí)也能使計(jì)算量不至于過(guò)大，本文后續(xù)的計(jì)算中均取p=25。

為了驗(yàn)證本文建立的控制方程和計(jì)算程序的正確性，首先設(shè)置ε=0，這樣就得到了退化驗(yàn)證的第一個(gè)模型。計(jì)算了兩端簡(jiǎn)支的退化環(huán)肋圓柱殼的自由振動(dòng)固有頻率，并與文獻(xiàn)[17]進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證，本文計(jì)算結(jié)果與參考文獻(xiàn)吻合良好，具體結(jié)果見(jiàn)表2。計(jì)算模型為L(zhǎng)=0.470 9 m,r0= 0.103 7 m,h=0.001 19 m,a1=0.002 91 m,b1=0.002 18 m,d=0.031 4 m，殼體和肋骨材料相同，密度ρ=7 850 kg/m3, 楊氏模量E=2.06×1011Pa， 泊松比為μ=0.3。

表2 兩端簡(jiǎn)支的環(huán)肋圓柱殼固有圓頻率的對(duì)比驗(yàn)證

將肋條的高度a1和b1寬度設(shè)為零，這樣將環(huán)肋橢圓柱殼退化成第二個(gè)驗(yàn)證模型，也即無(wú)筋橢圓柱殼。計(jì)算了兩端簡(jiǎn)支橢圓柱光殼的無(wú)量綱固有頻率，與基于變分原理求解橢圓柱光殼固有頻率的文獻(xiàn)[18]進(jìn)行了對(duì)比分析，本文退化結(jié)果與文獻(xiàn)的結(jié)果吻合良好，具體結(jié)果見(jiàn)表3。計(jì)算模型為h/r0=0.002,μ=0.3,ε=0.5,m=1,E=2.1×1011Pa。這進(jìn)一步表明本文所建立的理論模型及求解方法的準(zhǔn)確性。

同時(shí)，本文基于文獻(xiàn)[17]的模型參數(shù)，通過(guò)改變殼體長(zhǎng)度，保持環(huán)肋數(shù)量不變，對(duì)橢圓度ε=0.5、不同殼長(zhǎng)比的環(huán)肋橢圓柱殼的固有頻率用商用有限元軟件ANSYS進(jìn)行了計(jì)算驗(yàn)證，其中殼體采用SHELL63單元建模，環(huán)向肋骨采用BEAM188單元建模。對(duì)比驗(yàn)證結(jié)果如表4所示，部分FEM計(jì)算模態(tài)振型圖如圖3所示。可以看到，本文結(jié)果在不同殼長(zhǎng)比下的計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合較好。但同時(shí)，在殼長(zhǎng)比增大，也即肋骨間距逐漸增大時(shí)，兩種計(jì)算結(jié)果的誤差也會(huì)相應(yīng)增大，這是因?yàn)槲闹袑?duì)于環(huán)肋的模擬采用了涂抹式的“剛度均攤法”，該方法對(duì)于越密、且尺寸越大的加筋結(jié)構(gòu)，結(jié)果越準(zhǔn)確，而當(dāng)殼體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于肋骨間距時(shí)，結(jié)果會(huì)存在較大誤差[19-20]。本文采用的計(jì)算模型均考慮了肋骨間距的要求，保證振動(dòng)波長(zhǎng)大于肋距。

表3 橢圓柱光殼的無(wú)量綱固有頻率對(duì)比驗(yàn)證

表4 環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率對(duì)比驗(yàn)證

圖3 FEM計(jì)算的環(huán)肋橢圓柱殼模態(tài)振型及對(duì)應(yīng)頻率Fig.3 Mode shapes and its corresponding natural frequencies of elliptic cylindrical shell with ring stiffeners obtained by FEM

3.2 環(huán)肋橢圓柱殼模態(tài)振型和固有頻率

正如“2.2節(jié)”提到的，不同于圓柱殼，由于橢圓柱殼的對(duì)稱軸僅有長(zhǎng)軸和短軸兩條，因此有必要分開(kāi)討論其對(duì)稱模態(tài)和反對(duì)稱模態(tài)頻率。圖4給出了本文計(jì)算方法得到的不同周向模態(tài)階數(shù)的環(huán)肋橢圓柱殼的對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)振型。與圖3對(duì)比可見(jiàn)模態(tài)吻合良好。

圖4 環(huán)肋橢圓柱殼的模態(tài)振型Fig.4 Mode shapes of elliptic cylindrical shell with ring stiffeners

同時(shí)，本文基于文獻(xiàn)[17]的模型參數(shù)，肋骨高度取a1=0.002 91 m，計(jì)算出了兩端簡(jiǎn)支環(huán)肋橢圓柱殼軸向半波數(shù)m=1的固有圓頻率。具體結(jié)果見(jiàn)表5，S表示對(duì)稱模態(tài)頻率，A表示反對(duì)稱模態(tài)頻率。

表5 環(huán)肋橢圓柱光殼的固有圓頻率

3.3 橢圓度對(duì)殼體固有頻率的影響

橢圓度是橢圓柱殼區(qū)別圓柱殼的一個(gè)重要參數(shù)，因此，有必要研究環(huán)肋橢圓柱殼的固有頻率隨其橢圓度的變化規(guī)律。圖5給出了在m=1時(shí)， 不同L/mr0及不同d/mr0下，橢圓度ε對(duì)兩端簡(jiǎn)支環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率的影響。

(——對(duì)稱模態(tài)；……反對(duì)稱模態(tài))圖5 環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨橢圓度的變化Fig.5 The change of the natural frequency of elliptic cylindrical shell with ring stiffeners versus ellipticity

從圖5可知，環(huán)肋橢圓柱殼的固有頻率相對(duì)于環(huán)肋圓柱殼有明顯的不同，在同一周向模態(tài)階數(shù)n下，殼體的對(duì)稱模態(tài)頻率和反對(duì)稱模態(tài)固有頻率有所不同，且二者差異隨著橢圓度ε的增大而增大；在周向模態(tài)階數(shù)n=1,3,5等奇數(shù)時(shí)，殼體對(duì)稱模態(tài)頻率大于反對(duì)稱模態(tài)頻率，而在n=2,4,6等偶數(shù)時(shí)，殼體的反對(duì)稱模態(tài)頻率大于其對(duì)稱模態(tài)頻率，隨著周向模態(tài)階數(shù)n的增加，環(huán)肋橢圓柱殼的對(duì)稱模態(tài)頻率和反對(duì)稱模態(tài)頻率的差異逐漸減小；n=0對(duì)應(yīng)的呼吸模態(tài)頻率都較高，且基本不受橢圓度ε改變的影響；

對(duì)比圖5(a)～圖5(d)可以得出，當(dāng)殼長(zhǎng)比L/mr0一定時(shí)，隨著殼肋間距比d/mr0的減小也即環(huán)肋數(shù)量逐漸增大，除了n=0,1外，其他周向模態(tài)階數(shù)下環(huán)肋橢圓柱殼的對(duì)稱模態(tài)頻率和反對(duì)稱模態(tài)頻率均有所增大，但二者差異在逐漸減小，在d/mr0≤0.3時(shí)，環(huán)肋橢圓柱殼的高階(n≥4)對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)頻率基本重合；且隨著環(huán)肋數(shù)量的增大，某一橢圓度ε下的環(huán)肋橢圓柱殼自由振動(dòng)基頻對(duì)應(yīng)的周向模態(tài)階數(shù)也會(huì)逐漸降低。

對(duì)比圖5(e)、圖5(c)、圖5(f)可以得出，當(dāng)殼肋間距比d/mr0一定時(shí)，隨著殼長(zhǎng)比L/mr0的增大，環(huán)肋橢圓柱殼低階模態(tài)階數(shù)(n≤3)對(duì)應(yīng)的對(duì)稱模態(tài)和反對(duì)稱模態(tài)頻率值明顯減小，而高階模態(tài)階數(shù)(n≥4)對(duì)應(yīng)的固有頻率值變化不大；任意周向模態(tài)階數(shù)下的對(duì)稱模態(tài)和反對(duì)稱模態(tài)頻率的差異在殼肋間距比d/mr0一定時(shí)均隨著殼長(zhǎng)比L/mr0的增大而減??；且隨著殼長(zhǎng)比L/mr0的增大，環(huán)肋橢圓柱殼自由振動(dòng)基頻對(duì)應(yīng)的周向模態(tài)階數(shù)也在逐漸減小。

3.4 環(huán)肋間距對(duì)殼體固有頻率的影響

相鄰肋骨之間的距離是影響加肋結(jié)構(gòu)固有屬性的重要因素之一，本文采用無(wú)量綱參數(shù)d/mr0，也即殼肋間距比來(lái)討論肋骨間距的影響。圖6給出了環(huán)肋橢圓柱殼前6階周向模態(tài)階數(shù)對(duì)應(yīng)的固有頻率值隨殼肋間距比的變化情況。

(——對(duì)稱模態(tài)；……反對(duì)稱模態(tài))圖6 環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨殼肋間距比的變化Fig.6 The change of the natural frequency of elliptic cylindrical shell with ring stiffeners versus the non-dimensional stiffeners interval d/mr0

圖6(a)是橢圓度ε=0也即環(huán)肋圓柱殼固有頻率隨殼肋間距比d/mr0的變化曲線，圖6(b)～圖6(d)則是不同橢圓度下的環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨殼肋間距比的變化曲線。從圖6可知，環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨環(huán)肋間距的變化規(guī)律與環(huán)肋圓柱殼較為相似，環(huán)肋間距的改變對(duì)周向低階模態(tài)階數(shù)(n≤2)對(duì)應(yīng)的固有頻率影響相對(duì)較小，對(duì)周向中高階模態(tài)階數(shù)(n≥3)對(duì)應(yīng)的固有頻率影響較大；隨著環(huán)肋間距的增大，也即環(huán)肋數(shù)目減少，周向低階模態(tài)階數(shù)(n≤2)對(duì)應(yīng)的固有頻率會(huì)逐漸增大，最終趨于一個(gè)穩(wěn)定值，而周向中高階模態(tài)階數(shù)(n≥3)對(duì)應(yīng)的固有頻率則明顯減小，而且越高的周向模態(tài)階數(shù)對(duì)應(yīng)的固有頻率減小幅度越大，從模態(tài)振型分析，對(duì)于低階模態(tài)，環(huán)肋以整體參與殼體振動(dòng)，其質(zhì)量影響大于其剛度的影響，而對(duì)高階模態(tài)，殼體出現(xiàn)了局部彎曲，其剛度影響更大；在橢圓度較小時(shí)，隨著環(huán)肋間距的增大，環(huán)肋橢圓柱殼基頻對(duì)應(yīng)的周向模態(tài)階數(shù)會(huì)由n=2往高階偏移，如在圖6(b)中，d/mr0=0.1時(shí)，基頻對(duì)應(yīng)的周向模態(tài)為n=2， 當(dāng)d/mr0=0.4時(shí)，基頻對(duì)應(yīng)的周向模態(tài)為n=3。

3.5 環(huán)肋高度對(duì)殼體固有頻率的影響

環(huán)肋尺寸也是殼體固有頻率的因素，本文為討論方便，在保持環(huán)肋寬度不變的情況下，改變環(huán)肋高度。圖7給出了在環(huán)肋寬度b1不變的前提下，環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率值隨高度與寬度的比值a1/b1的變化情況。

(——對(duì)稱模態(tài)；……反對(duì)稱模態(tài))圖7 環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨環(huán)肋高度的變化Fig.7 The change of the natural frequency of elliptic cylindrical shell with ring stiffeners versus the height of ring stiffeners

圖7(a)是橢圓度ε=0也即環(huán)肋圓柱殼固有頻率隨肋骨高度的變化曲線，圖7(b)～圖7(f)則是不同橢圓度下的環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨環(huán)肋高度的變化曲線。從圖7中可以得出，環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨環(huán)肋高度的變化規(guī)律與環(huán)肋圓柱殼較為相似。低階模態(tài)階數(shù)n=0,1對(duì)應(yīng)的環(huán)肋橢圓柱殼對(duì)稱模態(tài)在環(huán)肋高度增大后會(huì)減小，n=1對(duì)應(yīng)的反對(duì)稱模態(tài)頻率則在橢圓度較小(ε<0.6)時(shí)隨著環(huán)肋高度的增加而減小，而在橢圓度較大ε≥0.6時(shí)，n=1對(duì)應(yīng)的反對(duì)稱模態(tài)頻率則在環(huán)肋高度增加到某一值時(shí)呈增大趨勢(shì)，且橢圓度ε越大，該變化對(duì)應(yīng)的高度越小，在ε=1時(shí)，n=1對(duì)應(yīng)的反對(duì)稱模態(tài)頻率則一直呈增大趨勢(shì)，這是因?yàn)樵跈E圓度較小時(shí)，在環(huán)肋高度較低的情況下，環(huán)肋的質(zhì)量影響大于其剛度影響，而隨著環(huán)肋高度的增加，環(huán)肋剛度影響逐漸增大，對(duì)于橢圓度較大如ε=1時(shí)，環(huán)肋剛度影響較其質(zhì)量影響更大；而n≥3等稍高階周向模態(tài)應(yīng)的對(duì)稱模態(tài)和反對(duì)稱頻率則隨著環(huán)肋高度的增大而增大，且越高的周向模態(tài)階數(shù)對(duì)應(yīng)的固有頻率增大越明顯；n≤3時(shí)，環(huán)肋橢圓柱殼的對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)頻率的差異隨著環(huán)肋高度的增大而減小，最終會(huì)趨于一致，而n≥4時(shí)，對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)頻率的差異則隨著環(huán)肋高度的增大而增大；環(huán)肋橢圓柱殼基頻對(duì)應(yīng)的周向模態(tài)階數(shù)也會(huì)隨著環(huán)肋高度的增大而減小。

4 結(jié) 論

本文提出了一種求解環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率的解析解法?；贔lügge殼體理論，并采用“剛度均攤”考慮環(huán)肋，建立了環(huán)肋橢圓柱殼的自由振動(dòng)方程，計(jì)算了不同橢圓度下，兩端簡(jiǎn)支的環(huán)肋橢圓柱殼在真空中的自由振動(dòng)固有頻率。較為細(xì)致的探討了殼體橢圓度ε、殼肋間距比d/mr0以及環(huán)肋高度a1對(duì)環(huán)肋橢圓柱殼自由振動(dòng)的影響，并總結(jié)出以下結(jié)論：

(1) 在同一周向模態(tài)階數(shù)n下，環(huán)肋橢圓柱殼體的對(duì)稱模態(tài)頻率和反對(duì)稱模態(tài)固有頻率值不等，且二者差異隨著橢圓度ε的增大而增大；在周向模態(tài)階數(shù)n=1,3,5等奇數(shù)時(shí)，殼體對(duì)稱模態(tài)頻率大于反對(duì)稱模態(tài)頻率，而在n=2,4,6等偶數(shù)時(shí)，殼體的反對(duì)稱模態(tài)頻率大于其對(duì)稱模態(tài)頻率，隨著周向模態(tài)階數(shù)n的增加，二者差異逐漸減??；而n=0對(duì)應(yīng)的呼吸模態(tài)頻率不隨橢圓度的改變而變化。

(2) 隨著環(huán)肋間距的增大，也即環(huán)肋數(shù)目減少，周向低階模態(tài)階數(shù)(n≤2)對(duì)應(yīng)的固有頻率會(huì)逐漸增大，而周向中高階模態(tài)階數(shù)(n≥3)對(duì)應(yīng)的固有頻率則明顯減小，且越高的周向模態(tài)階數(shù)對(duì)應(yīng)的固有頻率減小幅度越大；在橢圓度較小時(shí)，隨著環(huán)肋間距的增大，環(huán)肋橢圓柱殼基頻對(duì)應(yīng)的周向模態(tài)階數(shù)會(huì)由n=2往高階偏移。

(3) 隨著環(huán)肋高度的增大，低階模態(tài)階數(shù)n=0,1對(duì)應(yīng)的環(huán)肋橢圓柱殼對(duì)稱模態(tài)會(huì)減小，n=1對(duì)應(yīng)的反對(duì)稱模態(tài)頻率則在橢圓度較小(ε<0.6)時(shí)減小，而在橢圓度較大ε≥0.6時(shí)，n=1對(duì)應(yīng)的反對(duì)稱模態(tài)頻率則在環(huán)肋高度增加到某一值時(shí)呈增加趨勢(shì)，且橢圓度ε越大，該變化對(duì)應(yīng)的高度越小，在ε=1時(shí)，n=1對(duì)應(yīng)的反對(duì)稱模態(tài)頻率則一直呈增大趨勢(shì)；而n≥2等稍高階周向模態(tài)應(yīng)的對(duì)稱模態(tài)和反對(duì)稱頻率則隨著環(huán)肋高度的增大而增大，且越高的周向模態(tài)階數(shù)對(duì)應(yīng)的固有頻率增大越明顯；n≤3時(shí)，環(huán)肋橢圓柱殼的對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)頻率的差異隨著環(huán)肋高度的增大而減小，最終會(huì)趨于一致，而n≥4時(shí)，對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)頻率的差異則隨著環(huán)肋高度的增大而增大；環(huán)肋橢圓柱殼基頻對(duì)應(yīng)的周向模態(tài)階數(shù)也會(huì)隨著環(huán)肋高度的增大而減小。

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附錄：